強結合からの創発的ローレンツ不変性 ── 物質には効く。そして重力で、第2回に戻される

物質は守れた。重力が漏れる 第2回の逃げ道②を、最後まで掘ります。
強結合なら破れが冪で抑えられる ── これは本物で、しかも美しい。
カイラルフェルミオンが、ローレンツ不変でない UV から出てきます。SO(3) スピノルの成分数が、たまたま Weyl スピノルと同じだから。
ところが著者たちは全員、重力を固定した背景に置いています。そして重力の破れは、輻射補正で物質に漏れます。

第2回は逃げ道②（ローレンツ不変性が RG の赤外固定点）を「対数だから足りない」と退けていました。あれは弱結合の話で、強結合では冪になる ── そこを直したのが前回の作業です。
この回はその中身を見に行きます。結論は二つに割れます。
物質セクターについては、本当に効きます。しかも仕掛けが気持ちいい。ところが重力については、誰もやっていません。やっていないのではなく、やると壊れる ── そして壊れ方が、第2回 06 節とまったく同じでした。

01なぜ冪になるのか

弱結合のとき、ローレンツ破れの結合は RG で対数的に流れます。だから何桁走らせても足りない ── 20桁で \(1/\log(10^{20})=1/46\) 倍。

強結合だと事情が変わります。演算子にアノマラス次元が付くので、流れが冪になる。Bednik–Pujolàs–Sibiryakov がホログラフィーで具体例を作りました。

危ないのは特定の演算子だけです。BPS は次元が \(d-1\le\dim\mathcal{O}_\mu\le d\) のベクトル演算子を「危険」と特定しています ── 周辺的か、わずかに非相関的なもの。これらが最もゆっくりゼロに流れる。最も非相関でないローレンツ破れ演算子（LILVO）が、抑制の速さを決めます。

Kharuk–Sibiryakov は同じ抑制を \((l/L)^{1-2Ml}\) の形で出し、達成できる最大の抑制が \((l/L)^2\) だと述べています。二つの論文で上限が一致します ── \(\epsilon\) は 2 を超えられない。この 2 が、あとで効きます。

02いちばん気持ちのいいところ ── カイラルフェルミオン

ここは本筋から少し外れますが、書いておきたい。

標準模型はカイラルフェルミオンでできています。ところが「カイラル」の定義そのものが、ローレンツ群の Weyl 表現に依っている。ローレンツ不変でない UV から、どうやってカイラルフェルミオンが出てくるのか。これは素朴には不可能に見えます。

Kharuk–Sibiryakov の答えは、数を数えるだけでした。

第2回で Nielsen–Ninomiya の no-go（格子上でカイラル対称性が保てない）を扱いました。あれは正則な格子の話です。強結合からの創発では、そもそもカイラリティが赤外で生成されるので、no-go の前提から外れます。

このシリーズが繰り返してきた「二値の的だけが情報を持つ」が、ここでは成分数の一致という顔で出ています。2 と 2。ずれていたら成立しません。

03窓を測る

効くと分かったので、どれくらいの範囲で効くのかを出します。条件は二つです。

# (Lambda_conf/M_P)^eps <= 6e-20 を解く。M_P = 1.2209e19 GeV

  Lambda_conf     log10(比)     必要な eps    対応する nu
 --------------------------------------------------------
  1 TeV           -16.09        1.19          0.40
  10 TeV          -15.09        1.27          0.36
  100 TeV         -14.09        1.36          0.32
  1e9 GeV         -10.09        1.91          0.05
  3e9 GeV          -9.61        2.00          0.00  <- 上限に到達
  1e10 GeV         -9.09        2.11          負 ── 不可能

  # 逆に eps を下げると
  eps = 1.0  ->  Lambda_conf <= 0.73 GeV   サブ GeV。複合性で排除
  eps = 0.5  ->  Lambda_conf <= 4.4e-20 GeV 論外

  => 使える窓：  10 TeV <= Lambda_conf <= 3e9 GeV
                 1.27 <= eps <= 2       （全域 (0,2] の上から 36%）

窓はあります。ただし狭い。前回、第2回に「\(\epsilon\simeq1\) で足りる」と書きましたが、複合性の下限を入れると \(\epsilon\gtrsim1.27\) まで押し上げられます。冪をほぼ最大まで使わないといけない。

スライダーを動かすと、緑から出るのが意外に簡単なことが分かります。それでも窓は空いている ── ここまでは、逃げ道②の勝ちです。

04ところが、重力が入っていない

ここで話が変わります。論文を読み直すと、著者たちは全員、重力を対象外にしています。しかも隠していません。

これは弱点の告白ではなく、設計です。強結合を物質だけに閉じ込めれば、重力の面倒を避けられる ── 賢い。

ただし、その代償があります。重力が弱結合のままなら、重力自身のローレンツ破れには冪抑制がかかりません。対数だけ。つまり第2回 06 節の 18 桁が、重力セクターにそのまま残ります。

「重力の破れなら上限がゆるいのでは」と思いたくなります。実際ゆるい ──

重力のほうが約5桁ゆるい。それでも足りません。対数抑制では 20 桁走らせて \(1/46\) 倍しか稼げないので、5桁ゆるかろうと届かない。

05そして、漏れる

ここが決め手です。「重力に破れが残っても、物質は守られているのだからいいじゃないか」── それが成り立ちません。

さらに悪い知らせがあります。Hořava 重力を精査した仕事（arXiv:1805.10299）が、種のあいだの微調整を指摘しています ── U(1) ゲージ場とスカラー場の音速二乗の微調整の度合いは、次元が上がるほどきつくなる。そして結論として、重力セクターだけでなく物質セクターも、あるスケールより上で Lifshitz スケーリングに移行しなければならず、しかも二つの移行スケールを大きく離すことができない。

つまり「物質は低いスケールで強結合、重力は高いスケールでずっと弱結合」という都合のいい分離が、構造的に許されません。

06逃げ場を潰しているもう一つの定理

では重力そのものを Lorentz 破れにして、そこにも強結合の創発を仕込めばいいのか。ここに一般的な障害があります。

自発的な破れを選ぶと、破る主体が要ります。真空期待値を持って優先系を決める場 ── エーテル場です。それはまさに BPS が「動的な重力に行くには優先系を定義する追加の自由度が必要になる」と書いたものです。

ここで円が閉じます。優先系を作らないために創発を使ったのに、重力まで持っていくと優先系を持ち込むことになる。

07決算

「時空そのものが格子か」という第2回の問いにとって、本番は重力です。そこは埋まっていません。

②が単独で足りないなら、残るのは①か、①＋②です。第2回の時点で①が本命だったのは、結果として正しかった。