計算道具としての格子は完璧に動く ── でも「時空そのものが格子」と言った瞬間、18桁が発生する

時空は、格子にできない 宇宙をシミュレートしたいなら、空間を格子に切るのが自然です。実際、格子QCD はそれで動いている。
ところが「時空そのものが格子でできている」と主張した途端、まったく別の病気が出ます ──
輻射補正が抑制を食い破り、実験より18桁大きいローレンツ破れを低エネルギーに降ろしてくる。
そして最後に残る三択が、計算機で宇宙を書くという発想に、正面から刃を向けます。

プログラムを書く人にとって、宇宙を離散化するのはごく自然な発想です。空間をセルに切り、各セルの状態を持ち、局所的な規則で更新する。セルオートマトンそのもの。実際、素粒子物理の最前線である格子QCD は、まさにそれをやって成功しています。
だから「時空も本当は格子なんじゃないか」と思いたくなる。プランク長という自然な刻み幅まで用意されている。
この回は、その道がどこまで正しくて、どこで壊れるかを追いかけます。結論を先に言うと ── 計算道具としては完璧に正しく、時空の基本構造としては致命的に壊れます。しかも壊れ方が面白い。壊しているのは離散性そのものではありません。

01まず、三つの別問題を分ける

この話題は、混ぜると必ず空回りします。結論が正反対の3つの問題が同じ言葉で語られているからです。

(a) と (b) は答えが逆です。区別せずに議論すると矛盾して見える。そして (c) は、実は格子屋が本当に苦労してきた場所で、ローレンツ不変性ではありません。順に見ていきます。

02何が壊れているのか ── 実はローレンツではない

用語から正確にしておきます。標準的な格子QCD はユークリッド署名です。ウィック回転して計算し、あとで解析接続して戻す。ですから格子の上で壊れているのは、ブーストを含むローレンツ群ではなく ──

連続群が有限群になる。これは近似ではなく、明白な（explicit）破れです。格子の軸方向と対角方向は、はっきり別物になる。

03道具としては、勝手に戻ってくる

ここが (a) の核心で、しかも「たぶん大丈夫だろう」という期待ではなく構成的に示せます。

Symanzik の有効作用の考え方です。格子間隔 \(a\) の理論を、長距離で連続理論として書き直す:

\(\mathcal{L}^{(n)}\) は次元 \(n\) の演算子。回転対称性を破る項は、すべて正のべきの \(a\) を伴います。だから \(a\to0\) で死ぬ。

効いているのは、次の群論的な事実です。

言い換えると、\(H(4)\) は「十分に大きい」有限群なので、次元5以下では回転対称性を破りようがない。連続対称性を捨てたのに、低次元では違いが表現できない。

04本当に難しいのは、カイラル対称性のほう

対比として、これは知っておく価値があります。格子上で本当に人を苦しめてきたのは、ローレンツ不変性ではありません。

これは本物の no-go 定理です。回避策（Ginsparg–Wilson 関係式、overlap／domain-wall フェルミオン）はありますが、それは「格子上の変形されたカイラル対称性を厳密に持たせる」という、かなり深い構成になります。

ここに決定的な非対称性があります。

だから「格子はローレンツ不変性を保てない」という言い方は、道具としての格子については正しくありません。保てないのはカイラル対称性のほうです。

05ところが「格子が基本」だと、話が180度変わる

ここからが (b)、そしてこの回の本題です。

素朴に考えるとこう思えます ── 基本スケールが \(a\sim\ell_P\) なら、破れは次元6以上でしか入らず、低エネルギーでは \((E/M_P)^2\) で抑制される。\(E\) が TeV でも \(10^{-32}\)。絶対に見えない。

これが間違っています。 壊すのはループ積分のカットオフです。

つまり、出発点で次元5・6の破れしか入れなくても、繰り込みが次元3・4の破れを生成して低エネルギーに降ろしてくる。次元4の破れとは、たとえば「電子の最高速度と光子の最高速度が違う」（\(c_e\ne c_\gamma\)）という、いちばん直接的な形です。

0618桁

では実験はどこまで締め付けているか。かに星雲のシンクロトロン放射です。ローレンツ因子 \(\gamma\sim3\times10^9\) の電子が出す放射のスペクトルから ──

輻射補正が予言する破れ   ~ 10^-2     （α/π 程度）
かに星雲が許す上限       ~ 6 × 10^-20  （SME の c 係数）
                       ──────────────
食い違い                18 桁

これを消すには、裸のパラメータを18桁 fine-tune するしかない。これが「量子重力の、もう一つのファインチューニング問題」です。ヒッグス質量の階層問題と同じ種類の病気で、深刻さは同程度かそれ以上。

07本質 ── 守る対称性が無い

なぜこんなことが起きるのか。物理には「小さいまま安定でいられる量」と「そうでない量」があります。

\(m_e\) が小さいままでいられるのは、ゼロにするとカイラル対称性が回復するからです。対称性が「戻ってくるな」と押さえている。ローレンツ破れには、これに相当する押さえがありません。

だから問いは、こう言い換わります。

08逃げ道は、4つ

09三択 ── これは幾何学から出ます

逃げ道③ が示しているものを、一般的な形にします。理由は幾何学的で、しかも単純です。

構造が Nielsen–Ninomiya とそっくりなのが面白いところです。そして各アプローチは、どれを捨てたかで分類できます。

下の図で、なぜ規則格子だけが優先系を作るのかを、直接見てください。

左の格子は、ブーストすると目に見えて歪みます。斜めに潰れ、軸の向きが変わる。つまり「格子が真っ直ぐに見える速度」が存在する ── それが優先系です。

右の散布は、ブーストしても見た目が変わりません。個々の点は動いていますが、統計的な性質は同一。ローレンツ変換が面積を保つ（行列式 1）ので、点の密度が変わらないからです。「散布が真っ直ぐに見える速度」というものが無い。

10で、計算可能性に格子は要るのか

この三択は、「宇宙は計算できる」という立場に正面から刃を向けます。セルオートマトンは定義上、離散かつ局所だからです。表の一行目そのもの。't Hooft が本気で追求しているセルオートマトン解釈も、最大の攻撃点はここです。

でも、ここで一段だけ丁寧に考える価値があります。「宇宙は計算できる」に本当に必要なのは何か。

そして有限性なら、格子を使わずに手に入ります。ホログラフィック境界です。

有限の領域に入る情報は有限。でもこれは空間を格子に切っていません。 有限性が住んでいるのは共変エントロピー境界であって、空間の刻みではない。共変に定式化されているので、優先系を作りません。

つまり ── 有限の情報量を、格子なしで、優先系なしで実現する方法が存在します。 有限状態機械であることと、その状態が格子の上に並んでいることは、別の主張だった。前者だけを取れば、\(6\times10^{-20}\) の制限にも18桁の問題にも、まったく触れずに済みます。