手順1の答えが出ました ── そして理由は、超並進の重みが「半分」だったから

中心電荷は、無い 前回まで、問いを一つに絞ってきました ── BMS₄ の超並進セクターに \(c_M\) の類似物はあるか。
答えを出します。無い。「まだ見つかっていない」ではなく、構造的に入りようがない。
中心項を未知数に置いて Jacobi 恒等式を線形方程式として解くと、解が消えます。
そして理由まで出ました ── 4次元の超並進の重みが \(1/2\) という半端な数だからです。

前回の記事に、読者からまっとうな指摘をもらいました ── 「いつもの問題のすげ替えループ？」。半分そのとおりでした。第12回は第11回の壁に別の方向から着いただけで、前進ではありません。
抜ける道は二つしかない。計算するか、否定を取りに行くか。この回でその両方をやります。前回の末尾に置いた手順表の 手順0（陽性対照）と手順1（分岐点）を、実際に走らせました。
結果を先に書きます。手順0は一度落ちて、こちらの式のバグを一つ吐き出しました。そして手順1の答えは NO です。
これは言い換えではありません。扉が一枚、閉まりました。

01まず、道具が壊れていないことを確かめる

第11回で証明の型を書きました ── 漸近対称性 → 中心電荷 → Cardy。4次元でこれを使うつもりなら、3次元で答えが分かっている場合に道具が正しく動くことを先に見ておかなければなりません。手順0です。

これを実際にやったところ、落ちました。第11回に書いた BMS-Cardy 公式が、規約を混ぜていたのです ── 代数を \(\frac{c}{12}m^3\) で書きながら、公式は中心項を裸で書く別規約の形を使っていた。エントロピーが \(\sqrt{12}=2\sqrt3\approx3.46\) 倍過大になっていました。

訂正して走らせ直すと、\(GM\) を6桁動かしても幾何側と相対偏差 \(2.2\times10^{-16}\) で一致します。詳細と訂正後の式は第11回 03 節に載せました。

道具は通りました。手順1に進む資格ができたので、進みます。

02中心項を、未知数にする

問いはこうでした ── BMS₄ の超回転と超並進をまたぐ括弧に、中心項は入るか。

「探して見つからない」では答えになりません。入りうる形を全部書き下して、方程式を解けばいい。中心項は数（中心元 \(Z\) の係数）なので、有限個ではなく無限個の未知数ですが、モードごとに区切れば連立一次方程式です。

まず代数を、3次元も4次元もまとめて書ける形にします。超回転を \(L_m\)、超並進を \(T_r\) として ──

ここで \(a\) は、超並進が超回転の下で持つ重みです。この一つの数で3次元と4次元が区別されます。

4次元の \(1/2\) は、超並進が天球面上で重み \((-\tfrac12,-\tfrac12)\) を持つことから来ます ── これは確立した事実で、\(\mathfrak{bms}_4\) を \(W(-\tfrac12,-\tfrac12,-\tfrac12,-\tfrac12)\) と表記する流儀があるほどです。この半端な数が、この回の主役になります。

さて \(C(m,r)\) は中心元の係数なので、モードの和がゼロのときしか立てません（そうでないと \(Z\) がモードを持ってしまう）。だから未知数は一列に並びます ──

未知数は \(\{c_m\}\)。これで舞台が整いました。

03Jacobi 恒等式が、方程式になる

勝手な \(c_m\) を入れてよいわけではありません。リー代数は Jacobi 恒等式を満たさなければならないからです。\(L_m,\,L_n,\,T_r\) の三つで書くと ──

中心元は他のすべてと可換なので、中心部分だけ拾えます。\(r=-(m+n)\) のときだけ残って ──

\(c_m\) について完全に線形です。つまりこれは、ただの連立一次方程式です。解空間の次元を数えればいい。

ただし一つ引き算が要ります。見かけだけの解があるからです。生成子を \(T_0\to T_0+\beta Z\) と定義し直すと、何もしていないのに中心項が現れます ──

これは座標の取り替えでしかないので、物理的な中心電荷ではありません。数学ではコバウンダリと呼びます。求めたいのは、

これが \(0\) なら「中心電荷は無い」、\(1\) 以上なら「ある」。答えは整数で、二値です。

04陽性対照 ── bms₃ で \(m^3-m\) は出るか

また同じ規律です。答えが分かっている場合で先に試す。3次元には \(c_M=3/G\) が実在するので、\(a=1,\,b=0\) を入れて \(\dim H^2=1\) が出なければ、この計算は信用できません。

モードを \(|m|\le8\) で切ると未知数は17個、方程式は217本。有理数で厳密に解きました（浮動小数点を使うと、ランクの判定が閾値の問題になってしまうので）。

# [L_m, T_r] = (m - r) T_{m+r} + c_m delta_{m+r,0}
# 未知数 17 個（|m| <= 8）、Jacobi から来る方程式 217 本、有理数で厳密に

  コサイクル空間        dim = 2
  コバウンダリ          dim = 1     c_m = 2m
  ------------------------------------------
  dim H^2 = 1

  余分な解を多項式で同定すると:
    c_m = m^3        Jacobi を満たす : YES
    c_m = m^3 - m    Jacobi を満たす : YES
    c_m = m          Jacobi を満たす : YES  (← コバウンダリ。自明)

  → 出た。これが c_M = 3/G の正体。
     文献の中心項 (c_M/12)(m^3 - m) と、形が一致している。

出ました。\(m^3-m\) が Jacobi を満たし、しかもそれはコバウンダリではない。これが第11回でエントロピーを丸ごと運んでいた \(c_M\) です。3次元の成功が、こちらの計算の中で再現されました。

道具は動きます。本番へ。

05bms₄ ── 出ない

同じコードに \(a=1/2,\,b=-1/2\) を入れます。

# [L_m, T_r] = ((m-1)/2 - r) T_{m+r} + c_m delta_{m+r,0}

  コサイクル空間        dim = 1
  コバウンダリ          dim = 1     c_m = (3m - 1)/2
  ------------------------------------------
  dim H^2 = 0

  唯一のコサイクルを見ると（|m| <= 12、m = -3..3）:
    -2/7  -1/5  -4/35  -1/35  2/35  1/7  8/35
     = (3m - 1) / 35     ← コバウンダリそのもの

  3次元で効いた形を入れてみると:
    c_m = m^3 - m    Jacobi を満たす : NO（388 箇所で破れる）

  モード打ち切りを変えても動かない:
    |m| <= 4   dim H^2 = 0
    |m| <= 6   dim H^2 = 0
    |m| <= 8   dim H^2 = 0
    |m| <= 12  dim H^2 = 0

  符号規約は文献で (m+1)/2 とも (m-1)/2 とも書かれるので両方:
    a=1/2, b=+1/2   dim H^2 = 0
    a=1/2, b=-1/2   dim H^2 = 0

解空間に残ったのはコバウンダリ一本だけ。しかもそれは、生成子の定義をずらしただけの見かけです。差し引くと、ゼロ。

06では、どんな代数なら持てるのか

ここで止めると「4次元はダメでした」で終わります。同じコードで \(a\) を掃けば、条件そのものが見えるはずです。重みを連続的に動かして、\(\dim H^2\) を数えました。

スライダーを動かすと、ほとんどの場所で棒は低いままです。そして整数のところだけ、跳ね上がります。掃いた結果を表にすると ──

これは、このシリーズが何度も踏んできた形です。第2回のアノマリー相殺、第6回の代数の閉じ方、第8回のツイスター的持ち上げ、第11回の中心電荷 ── 連続的に調整できない、二値の的。今回それは整数性という顔をしていました。

そして4次元は、外していた。惜しくもなんともなく、きっちり \(1/2\) だけ。

074次元の「半分」は、どこから来るのか

ここは推論込みで書きます。数値の事実（\(a=1/2\) で \(H^2=0\)）は上の計算のとおりですが、なぜ4次元だけ半端になるのかの読みは、著者のものです。

超並進は「時刻をずらす自由」でした。ずらし幅の関数 \(T\) が、境界の上で座標変換に対してどう変換するか ── その重みが \(a\) です。

合計はどちらも \(-1\) です。違うのは、4次元にはカイラリティが二つあるので、その \(-1\) を二人で分け合うところ。分け合った結果が \(1/2\) で、整数の的から落ちる。

言い換えると ── 4次元の天球面が2次元だったせいで、重みが割れた。3次元では境界が1次元なので割る相手がおらず、整数のまま残った。

08文献と突き合わせる

自分の計算だけで「無い」と言うのは危ういので、確認しました。三つの独立な筋から、同じ答えが出ています。

代数の側からも、電荷の側からも、ゼロ。この \(1/2\) は、たまたま今の技術で見つからないという類の壁ではありません。

09閉じた扉と、残った扉

第11回の末尾に置いた手順表を、埋め直します。

第11回で「答えが『無い』でありうることも含めて、問いは well-posed だ」と書きました。その「無い」を引いたわけです。

負けたようですが、そうでもありません。閉じた扉は、二度と叩かなくていい扉です。第1回で \(p=0.67\) を成果として扱ったのと、同じ扱いをします ── 否定は情報です。

残ったのは 2b。第11回 05 節で挙げたルートB ── モジュラー不変性を使わず、熱的な円周が小さい極限で次元還元して Cardy 型の式を作る道（Di Pietro–Komargodski が \(d=4,6\) でやった路線）です。こちらは そもそも \(c_M\) を必要としません。中心電荷が無いことは、この道にとっては打撃ではない。