わかる相対論番外編／無次元なら一行、単位を入れると悪夢

シリーズを貫く一言「効くのは無次元の比、単位は舞台装置」── その一番わかりやすい実演を、二つの式で

無次元なら一行、単位を入れると悪夢速度の合成は、ラピディティで見ればただの足し算。水素の基底エネルギーは、無次元なら α²/2。
── 単位を入れた瞬間に湧いて出る $c^2$ や $\varepsilon_0^2$ は、物理ではなく物差しの持ち運びコストだった。

必要な道具：割り算、tanh（双曲線関数・雰囲気でOK）、第1回の β＝v/c この回の比：β の合成と α²/2

このシリーズでは、何度も同じことを言ってきました ── 物理を決めているのは単位のない比だけ。$c$ や $\hbar$ や $\varepsilon_0$ は「どの物差しで測るか」という舞台装置。でも「単位を入れると式が複雑になる」って、具体的にはどのくらい? この番外編は、その落差を二つの例で目に見せます。片方は速度の合成 ── 無次元で見ると、なんと「ただの足し算」に戻る。もう片方は水素原子のエネルギー ── 無次元なら $\alpha^2/2$ の一行なのに、単位を入れると定数が雪だるま式に湧いて出る。落差の正体まで、最後に種明かしします。

01おさらい ── なぜ「単位を入れると複雑」に見えるのか

第1回で、$c$ は「速い乗り物」ではなく時間と空間の両替レートだと見ました。秒とメートルというちぐはぐな単位で測るから $c=3\times10^8$ という大きな数が現れるだけで、両方を同じ単位で測れば $c=1$、式から消える。物理の中身は無次元の比 $\beta=v/c$ が握っている ── これがシリーズの出発点でした。

だとすると、逆のことも起きるはずです。単位を明示すると、消せたはずの $c$ や $\hbar$ を式のあちこちに書き込む羽目になる。中身は同じなのに、見かけだけ複雑になる。それを二つ、実際に並べてみましょう。

02例その1 ── 速度の合成は、無次元だと「足し算」に戻る

電車（速さ $v_1$）の中で、進行方向にボール（速さ $v_2$）を投げる。地面から見たボールの速さは? ニュートンなら答えは単純 ── ただ足す、$v_1+v_2$。ところが光速に近づくと、この素朴な足し算は破綻します（そのままだと光速を超えてしまう）。相対論の正しい合成則は、単位を入れて書くとこうです。

単位を入れた合成則（v は m/s、c ≈ 3×10⁸ m/s）

$$v=\frac{v_1+v_2}{\,1+\dfrac{v_1 v_2}{c^{2}}\,}$$

分母に $c^2$（＝ $9\times10^{16}$）が居座る。日常では $v_1v_2/c^2\approx0$ なので $v\approx v_1+v_2$（ニュートンに戻る）。でも光速近くでは、この $c^2$ が効いて、和は $c$ を超えられない。式の形は、正直、あまり美しくありません。

ところが、すべてを $c$ で割って無次元にしてやると（$\beta=v/c$）、$c$ が消えて、少しだけすっきりします。

無次元の合成則 ── c が消える

$$\beta=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}$$

$c^2$ が消えた。でも「足し算」にはまだ見えない ── 分母の $1+\beta_1\beta_2$ が残っている。もう一歩、物差しそのものを取り替えると、ここが劇的に変わります。

その物差しがラピディティ $\theta$（速度パラメータ）です。速さ $\beta$ の代わりに、$\beta=\tanh\theta$ で決まる $\theta$ を使う。$\theta$ は無次元で、じつは第3回の時空間隔で見た時空の"回転角"そのもの（空間の回転で角度が足せるのと同じ)。この $\theta$ で速度の合成を書くと ──

究極形 ── ラピディティなら、ただの足し算

$$\boxed{\;\theta=\theta_1+\theta_2\;}\qquad(\beta=\tanh\theta)$$

相対論のあの複雑な合成則が、ただの足し算になった。ガリレイの $v=v_1+v_2$ と同じ形。実際、双曲線関数の加法定理 $\tanh(\theta_1+\theta_2)=\dfrac{\tanh\theta_1+\tanh\theta_2}{1+\tanh\theta_1\tanh\theta_2}$ を戻せば、上の $\beta$ の式にちゃんと一致します。相対論の"難しさ"は、間違った物差し（$v$ や $\beta$）で見ていただけだったのです。

やってみよう ── 光速の半分どうしを足す

素朴な足し算（ニュートン）

$$\beta_1+\beta_2=0.5+0.5=1.0\quad(\text{＝光速。あり得ない})$$

相対論の和（無次元）

$$\beta=\frac{0.5+0.5}{1+0.5\times0.5}=\frac{1.0}{1.25}=0.8$$

ラピディティ（足すだけ）

$$\theta=\operatorname{artanh}(0.5)+\operatorname{artanh}(0.5)=0.549+0.549=1.098,\quad \tanh(1.098)=0.8\ \checkmark$$

同じ 0.8 に、三つの道で到達します。素朴な足し算は光速を破るが、ラピディティの足し算は決して $\beta=1$ を超えない（$\theta$ をいくら足しても $\tanh$ は 1 未満）。「越えられない壁」が、足し算の世界では無限遠として自然に現れるわけです。

03動かしてみる ── β の物差し vs ラピディティの物差し

二つの速度 $\beta_1,\beta_2$ をスライダーで決めてください。上段はβ の物差し（速度そのもの、0〜1）。素朴な和は光速の壁を突き抜けてしまう（✗）のに、相対論の和は壁の手前で止まる（✓）。下段はラピディティの物差し。$\theta_1$ と $\theta_2$ を頭からしっぽへ継ぎ足すだけで合成が終わる ── そして $\tanh$ で上段へ戻すと、ちゃんと相対論の和に一致します。

図：上＝β の物差し（速度 0〜1、右端が光速の壁）。素朴な和 β₁+β₂ は壁を超える（✗）が、相対論の和 ✓ は壁の手前。下＝ラピディティ θ の物差し。θ₁ と θ₂ を継ぎ足すだけ（＝足し算）。破線が「tanh で戻すと同じ速度」を結ぶ

β₁ = v₁/c 0.50 β₂ = v₂/c 0.50

β₁ / θ₁ β₂ / θ₂ 相対論の和 ✓ 素朴な和 ✗

04例その2 ── 定数の雪だるま（水素原子のエネルギー）

もう一つ、別の顔の「複雑さ」を。水素原子の電子が持つエネルギー準位です。無次元で書くと、電子の静止エネルギー $m_e c^2$ を単位にして、たったこれだけ ──

無次元（m_e c² を単位に、α＝1/137 で書く）

$$E_n=-\frac{1}{2}\,\frac{\alpha^{2}}{n^{2}}$$

基底状態（$n=1$）は実質 「$\alpha^2$ の半分」。微細構造定数 $\alpha$ ひとつしか出てきません。第2回で電子の軌道速度が $v/c=\alpha$ だった、あの $\alpha$ です。

ところが、これを SI 単位で「全部」書き下すと、隠れていた定数がいっせいに湧いて出ます。

単位を入れる（SI で全部書き下す）

$$E_n=-\frac{m_e\,e^{4}}{8\,\varepsilon_0^{2}\,h^{2}\,n^{2}}$$

$m_e$・$e^4$・$\varepsilon_0^2$・$h^2$ と、定数が四種類。中身は同じ 13.6 eV なのに、無次元版では $\alpha^2$ の中に畳まれていたものが、単位を入れた途端に表へあふれ出す。ちなみに $\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}$ なので、この四つはぜんぶ $\alpha$ の中身です。

おまけ ── ボーア半径でも同じことが起きる

無次元（コンプトン波長 ℏ/m_e c を単位に）

$$a_0=\frac{1}{\alpha}\,\frac{\hbar}{m_e c}$$

SI で全部書くと

$$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^{2}}{m_e e^{2}}$$

無次元なら「コンプトン波長の $1/\alpha$（＝137倍）」の一言。単位を入れると、また $\varepsilon_0$ と $e^2$ が顔を出す。同じ物理、違う見かけ ── 落差の出どころは、いつも同じです。

05種明かし ── 複雑さは「物差しの持ち運びコスト」

二つの例に共通する落差の正体は、こうです。物理の中身を決めているのは無次元の比だけ ── 速度合成なら $\beta$（さらに畳めば $\theta$）、水素なら $\alpha$。$c$・$\hbar$・$\varepsilon_0$ といった次元をもつ定数は、「秒・メートル・キログラム・クーロンという、人間が勝手に決めた物差し」を式の中で持ち運ぶための荷札にすぎません。

落差の正体

・比だけで語る → 荷札（$c^2,\varepsilon_0^2,h^2$…）が相殺して消え、構造（足し算・$\alpha^2$）が裸で見える。
・単位を明示する → 物差し一式を式に書き込む羽目になり、見かけが複雑化する。
複雑さは物理の深さではなく、物差しの持ち運びコスト。だから物理学者は $c=\hbar=1$ と置く（自然単位）── 荷札を降ろせば、式は本来の一行に戻る。

これは、このシリーズと全集を貫く視点そのものです。単位のある量は舞台装置、効くのは無次元の比。相対論が難しく見えたのも、$v$ や秒やメートルという舞台装置を握ったまま考えていたから。物差しを $\beta$、さらに $\theta$ に取り替えた瞬間、あの合成則が「ただの足し算」に戻ったように ── 正しい無次元の物差しを選ぶことが、理解そのものなのです。

◇ ◇ ◇

正直な線 ── どこまでが「単位のせい」か

$v=(v_1+v_2)/(1+v_1v_2/c^2)$ が無次元化で $\beta=(\beta_1+\beta_2)/(1+\beta_1\beta_2)$ になり、ラピディティ $\theta=\operatorname{artanh}\beta$ で $\theta=\theta_1+\theta_2$ と加法的になること、$\theta$ がローレンツ変換（時空の双曲的回転）の"角度"であること、水素の $E_n=-\tfrac12\alpha^2 m_e c^2/n^2=-m_e e^4/(8\varepsilon_0^2 h^2 n^2)$、ボーア半径 $a_0=\hbar/(\alpha m_e c)=4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)$ は、いずれも確立した標準物理です。

ただし。 ① ラピディティの加法性 $\theta=\theta_1+\theta_2$ は同一直線上（1次元）の速度合成での話。向きが違う速度を合成すると、余分な回転（トーマス歳差）が現れ、単純な足し算では済みません。 ② 「複雑さは単位のせい」は見かけの複雑さのこと。速度が単純に足せず光速で頭打ちになる、という中身は物理の事実で、物差しを変えても消えません（第1回で「$c$ の普遍性は単位の話ではない」と断ったのと同じ）。ラピディティは難しさを"足し算に畳んで見せる"のであって、無くすのではない。 ③ $\alpha\approx1/137$ が無次元でも、その値がなぜ 1/137 かは未解決 ── 単位を消しても残る、正真正銘の謎です（姉妹編「わかる宇宙論」）。

練習問題（この回の式だけで解けます）

$\beta_1=0.8,\ \beta_2=0.8$ を相対論の合成則で足すと? 素朴な和 1.6 と比べよ。
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$\beta=(0.8+0.8)/(1+0.64)=1.6/1.64\approx0.976$。素朴な和 1.6 は光速の 1.6 倍で不可能。相対論の和は 0.976 で、ちゃんと壁（1）の手前。
ラピディティで $\theta_1=\theta_2=1$ のとき、合成後の $\beta$ は? （$\tanh1\approx0.762$、$\tanh2\approx0.964$）
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$\theta=\theta_1+\theta_2=2$ なので $\beta=\tanh2\approx0.964$。各々は $\tanh1\approx0.762$。足し算 1+1=2 の一手で終わる。
水素の基底エネルギーを無次元式 $-\tfrac12\alpha^2$（単位 $m_ec^2$）から eV で概算せよ。$m_ec^2=511{,}000$ eV、$\alpha=1/137$。
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$-\tfrac12(1/137)^2\times511000\approx-\tfrac12\times5.3\times10^{-5}\times511000\approx-13.6$ eV。SI の $m_e e^4/(8\varepsilon_0^2h^2)$ と同じ値に、定数を一切書かずに到達できる。
なぜ「単位を入れると式が複雑になる」のか、この回の言葉で一文で説明せよ。
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物理を決めるのは無次元の比だけで、次元をもつ定数（c, ℏ, ε₀…）は物差しを式で持ち運ぶための荷札にすぎない。単位を明示するとその荷札を全部書く羽目になり、見かけだけ複雑になる（＝物差しの持ち運びコスト）。

番外編まとめ無次元なら一行、単位を入れると悪夢

「単位を入れると複雑」を、二つの式で実演した。速度の合成は、単位つきなら $v=(v_1+v_2)/(1+v_1v_2/c^2)$ と $c^2$ を抱えるが、無次元にすると $c$ が消え、ラピディティ $\theta=\operatorname{artanh}\beta$ に取り替えると $\theta=\theta_1+\theta_2$ ── ガリレイと同じただの足し算に戻る。水素のエネルギーは、無次元なら $-\tfrac12\alpha^2/n^2$ の一行なのに、SI で書くと $m_e e^4/(8\varepsilon_0^2h^2n^2)$ と定数が雪だるま。

落差の正体は物差しの持ち運びコスト。物理を握るのは無次元の比（$\beta,\theta,\alpha$）だけで、$c$・$\hbar$・$\varepsilon_0$ は物差しの荷札。比だけで語れば荷札は相殺して消え、構造が裸で見える。正しい無次元の物差しを選ぶことが、理解そのもの ── これがシリーズを貫く「効くのは無次元の比」の、いちばん素直な実演です。

この番外編は第1回「β＝v/c」と第3回「時空間隔」の応用編です。ラピディティ $\theta$ は、第3回で見た時空の不変量 $s^2=(ct)^2-x^2$ を保つ"双曲的回転"の角度そのもの ── 空間の回転で角度が素直に足せるのと同じ理由で、速度も $\theta$ では足せます。本編に戻る → 目次。姉妹編「わかる宇宙論」では、消えない無次元の謎 $\alpha=1/137$ そのものを追います。

この文書は「わかる相対論」シリーズ番外編、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。相対論的速度合成 $v=(v_1+v_2)/(1+v_1v_2/c^2)$、その無次元形 $\beta=(\beta_1+\beta_2)/(1+\beta_1\beta_2)$、ラピディティ $\theta=\operatorname{artanh}\beta$ による加法性 $\theta=\theta_1+\theta_2$（$\theta$ はローレンツブーストの双曲的回転角）、水素のエネルギー準位 $E_n=-\tfrac12\alpha^2 m_ec^2/n^2=-m_e e^4/(8\varepsilon_0^2h^2n^2)$、ボーア半径 $a_0=\hbar/(\alpha m_ec)=4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)$ は、いずれも確立した標準物理です。ラピディティの加法性は同一直線上（1+1次元）の合成に限られ、非共線の合成ではトーマス歳差（ウィグナー回転）が加わる点、無次元化が消すのは見かけの複雑さであって「速度が単純に足せず c で頭打ちになる」物理的中身は不変である点、$\alpha$ の数値 1/137 の起源は単位を消しても残る未解決問題である点は、本文「正直な線」に明記しました。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。関連：目次／第1回 β／第3回時空間隔／姉妹編わかる宇宙論。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面では β₁・β₂ スライダーで、上段（速度の物差し）の「素朴な和 ✗／相対論の和 ✓」と、下段（ラピディティの物差し）の「継ぎ足すだけの足し算」が連動します。「答えを見る」で解答が開きます。