時間は γ 倍に伸び、長さは 1/γ 倍に縮む ── では、誰が測っても同じものは、何もないのか?

時空間隔 ── 観測者で割れない、たった一つの不変量 時間も距離も、観測者ごとにバラバラ（舞台装置）。でも両者を「−」で結んだ s²＝(ct)²−x² だけは、
誰が測っても同じ。この引き算こそ、時空の本当の幾何 ── 相対論の背骨です。

第2回で、動くと時間は \(\gamma\) 倍に伸び、長さは \(1/\gamma\) 倍に縮むと見ました。時間も距離も、観測者ごとにバラバラ ── まさに「単位のある量は舞台装置」。だとすると不安になります。誰が測っても同じ、という確かなものは、もう何もないのか? あります。たった一つ。時間と空間を、ピタゴラスの「＋」ではなく「−」で結んだ量 ── 時空間隔 \(s^2=(ct)^2-x^2\) ── だけは、どの観測者から見ても寸分違わず同じ。バラバラに見えた時間の伸びと長さの縮みは、じつはこの一つの不変量を保つように、たがいに帳尻を合わせていたのです。この回で、相対論の幾何的な背骨が見えます。

01ユークリッドの「距離」を思い出す

ふつうの平面幾何。棒を回転させると、その端点の座標 \((x,y)\) は変わります。横に寝かせれば \(x\) が伸び \(y\) が減る。でも棒の長さは変わらない ── 長さ² \(=x^2+y^2\) は、回転しても不変。座標 \(x,y\) は「どう置いたか」で変わる舞台装置、長さこそが物理。回転で保たれる \(x^2+y^2\)、これがユークリッド幾何の不変量です。

相対論も、これとそっくりの構造を持ちます。ただ一箇所 ── 符号が違う。

02時空の「距離」は、「−」で結ぶ

時空図（第1回）では、縦が時間 \(ct\)、横が空間 \(x\)。観測者を変える（別の速さで動く人に乗り換える）と、同じ出来事の \(ct\) と \(x\) は、第2回の \(\gamma\) にしたがってバラバラに変わる。ところが ──

確かめてみましょう。第2回の光時計は、時計自身にとっては同じ場所で時間 \(\Delta t_0\) 経つだけ（\(x=0\)）だから \(s^2=(c\Delta t_0)^2\)。地上から見ると時間は \(\gamma\Delta t_0\) に伸び、場所も \(v\gamma\Delta t_0\) 動く。地上での \(s^2\) は ──

03動かしてみる ── 観測者を変えると、点は双曲線を滑る

下の時空図に、一つの出来事（緑の点）を置きます。スライダーは、あなたが乗る観測者の速さ \(\beta\)。観測者を変えると、その出来事の座標 \((ct,\,x)\) は動きます ── でも、でたらめには動かない。不変双曲線 \((ct)^2-x^2=s^2\) の上を、滑るだけ。時間 \(ct\) が増えれば空間 \(x\) も増え、\(s^2\) はきっちり一定。45°の光線（第1回の壁）は、この双曲線が近づいていく漸近線です。

ユークリッドなら、点は原点中心の円（\(x^2+y^2\) 一定）の上を回ります。時空では「−」のせいで、円が双曲線に化ける。観測者の乗り換えは、円の回転ではなく双曲線に沿ったすべり（双曲回転）。これがローレンツ変換の正体です。点がどこへ滑っても、原点からの"時空の隔たり" \(s\) は変わりません。

04固有時間 τ ── 不変量が、時計になる

この \(s^2\) には、うれしい意味があります。出来事が原点から時間的に離れている（\(s^2>0\)、光線より内側）とき、\(s/c\) は ── その出来事まで実際に旅する時計が刻む時間。これを固有時間 \(\tau\) といいます。

これで双子のパラドックスもほどけます。地球に残る双子と、宇宙を旅して戻る双子。二人の世界線は、時空図の同じ2点（出発と再会）を結ぶ別々の道。ユークリッドなら「まっすぐが最短」ですが、時空は「−」の幾何なので逆 ── まっすぐ（慣性）＝固有時間が最長、遠回り（加速して旅する）＝固有時間が短い。だから旅した双子のほうが若い。これは相対的な錯覚ではなく、二本の道に沿った \(s\)（不変量）の差そのもの。加速して道を曲げた側が、確定的に若く戻る。