γ ── 動く時計は、β だけ遅れる速く動く時計は、ゆっくり進む。その遅れ具合は、β だけで決まるたった一つの関数 γ＝1/√(1−β²)。
種は一つ ── 「光速 c は、誰から見ても同じ」。あとはピタゴラスの定理だけで出ます。

必要な道具：ピタゴラスの定理、第1回の β、そして「c は全員同じ」この回の関数：γ = 1/√(1−β²)

第1回で、速さを単位のない $\beta=v/c$ に畳みました。この回で動くのは、時間そのもの。速く動く時計は、止まっている時計よりゆっくり進む ── 有名な「時間の遅れ」です。魔法のようですが、種はたった一つの原理しかありません ── 光速 $c$ は、どの観測者から見ても同じ値（第1回の正直な線で「ここが核心」と言ったあれ）。この一点さえ認めれば、あとは中学のピタゴラスの定理だけで、遅れ具合を表すたった一つの関数 ── ローレンツ因子 $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ ── が転がり出てきます。時間の遅れも、長さの縮みも、次回以降の $E=mc^2$ も、ぜんぶこの $\gamma$ が引き受ける。手を動かして導きましょう。

01動く時計は遅れる ── でも、なぜ?

「動くと時間が遅れる」と聞くと、時計の機械が揺れで狂うのかと思うかもしれません。違います。どんな仕組みの時計でも、時間そのものが遅れる。理由を最短で掴むために、いちばん単純な時計 ── 光時計を使います。仕組みが光速 $c$ だけで決まるので、「c は全員同じ」という原理が直接効くからです。

02光時計 ── 「c は全員同じ」から出発する

光時計はこうです。距離 $L$ だけ離した2枚の鏡の間を、光が上下に往復する。1往復（正確には片道）を「1チクタク」と数える。止まっている光時計なら、光はまっすぐ上下するだけ ── 片道の時間は $\Delta t_0=L/c$。これがこの時計の固有の刻みです。

さて、この光時計を横向きに速さ $v$ で走らせる。すると、地上で見ている私たちには、光は上へ進む間に時計ごと横にもずれるので、斜めの経路を通って見える。斜めは、まっすぐ上下より長い。ところが ── 光の速さは、走っていようがいまいが同じ $c$（これが原理）。長い道のりを同じ速さで進むなら、より長い時間がかかる。だから地上から見た1チクタク $\Delta t$ は、時計自身の $\Delta t_0$ より長くなる ── これが「動く時計は遅れる」の正体です。

03ピタゴラスで、γ が出る

三角形を描くだけです。地上から見た1チクタクの時間 $\Delta t$ の間に ── 光は斜めに $c\,\Delta t$ 進み（斜辺）、時計は横に $v\,\Delta t$ 進み（底辺）、鏡の間隔は変わらず $L=c\,\Delta t_0$（高さ）。直角三角形なので、ピタゴラス：

やってみよう ── 斜辺² ＝底辺² ＋高さ² $$(c\,\Delta t)^2=(v\,\Delta t)^2+(c\,\Delta t_0)^2$$

両辺を整理して $\Delta t$ について解く（$\beta=v/c$）

$$(c^2-v^2)\Delta t^2=c^2\Delta t_0^2\ \Rightarrow\ \Delta t=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

出ました。地上時間 $\Delta t$ は、時計の固有時間 $\Delta t_0$ の $1/\sqrt{1-\beta^2}$ 倍。この倍率にこそ名前がついています。

この回の関数 ── ローレンツ因子 γ

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\qquad\Rightarrow\qquad \Delta t=\gamma\,\Delta t_0$$

$\gamma$ は、単位のない $\beta$ だけで決まる純粋な関数。動く時計の固有の1チクタク $\Delta t_0$ は、地上では $\gamma$ 倍に引き伸ばされて見える ── つまり動く時計は $1/\gamma$ 倍にゆっくり進む。$\gamma\ge1$ で、$\beta\to1$ で無限大。

04動かしてみる ── 光時計を走らせる

下の図は、走る光時計です。2枚の鏡（琥珀の横線）の間を、光の点が往復します。スライダーで $\beta$ を上げると時計は速く右へ動き、光の経路は斜めに伸びていく（軌跡を薄く残しています）。光の速さは一定なので、斜めが長くなるぶん、上下の往復＝チクタクが目に見えて遅くなる。$\beta\to1$ では光がほとんど横に寝てしまい、いつまでも天井に着かない ── 時間がほぼ止まる。右下に、地上の時間と時計の時間の進みぐあいを並べています。

図：走る光時計。2枚の鏡の間を光が往復＝チクタク。β を上げると光の経路が斜めに伸び、c 一定ゆえチクタクが遅れる（β→1 で光が寝て時間が止まる）。地上の時間 vs 時計の時間＝1:1/γ

β = v/c 0.60

光時計（鏡＋往復する光）光の斜めの軌跡

05γ の顔 ── 日常は 1、μ粒子と GPS では効く

$\gamma$ がどれだけ大きいか、いくつか値を見ます。日常の $\beta$ では、$\gamma$ は 1 とほとんど区別がつきません。

γ の値と、日常近似

小さい β では（テイラー展開）

$$\gamma\approx 1+\tfrac12\beta^2$$

・新幹線 $\beta\approx3\times10^{-7}$：$\gamma-1\approx5\times10^{-14}$（無視できる）
・$\beta=0.87$：$\gamma\approx2$（時間が半分の速さ）
・$\beta=0.99$：$\gamma\approx7.1$／$\beta=0.999$：$\gamma\approx22$

遅れは $\beta^2$ で効くので、日常（$\beta\approx0$）ではまったく見えない。だから何千年も誰も気づかなかった ── 第1回の「ニュートンは β→0」と同じ理由です。

効いている実例 ── μ粒子と GPS 宇宙線で大気上空に生まれるミューオンは、寿命が短く本来なら地上に届く前に崩壊するはず。でも $\beta\approx0.999$（$\gamma\approx22$）で飛ぶので、地上から見ると寿命が $\gamma$ 倍に延び、ちゃんと地表に到達する ── 毎秒あなたの手のひらを貫いています。 GPS 衛星の原子時計も、動きによる特殊相対論の遅れ（＋重力による一般相対論のずれ）を補正しないと、1日で約 38 μs ずれ、位置が 10 km も狂う。$\gamma$ は、教科書の数式ではなく動いている工学です。

そして同じ $\gamma$ は、長さの縮みも引き受けます。動く物体は、進行方向に $1/\gamma$ 倍に縮んで見える（ローレンツ収縮）。時間が $\gamma$ 倍に伸び、長さが $1/\gamma$ 倍に縮む ── 時間と空間が逆向きに、同じ $\gamma$ で変わる。この「時間と空間がセットで変わる」感じが、次回の時空間隔の伏線です。単位のある時間や長さは観測者ごとにバラバラ（舞台装置）に変わるのに、その裏で一つの $\gamma$ が全部を仕切っている。

◇ ◇ ◇

正直な線 ── 「どちらが遅れる?」の落とし穴

光時計からの $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ の導出、$\Delta t=\gamma\Delta t_0$（時間の遅れ）、長さの $1/\gamma$ 収縮、ミューオンの寿命延長や GPS の補正（約38μs/日）は、いずれも確立した物理で、実験・実用で確認済みです。導出が使った唯一の仮定は「$c$ が全観測者で同じ」── これは単位の話ではなく、相対論の原理（実験事実）です。

ただし核心的な注意 ── 「遅れる」は相対的です。「私から見てあなたの時計が遅れる」なら、対称に「あなたから見て私の時計が遅れる」も成り立つ（どちらも等速で動くだけなら、絶対的にどちらが遅い、はない）。矛盾に見えるこの相互性は、「同時」が観測者ごとに違うこと（第5回）でほどけます。有名な双子のパラドックスで本当に差がつくのは、片方が加速して戻ってくるから ── 加速が対称性を破ります。そして、観測者によらず本当に不変なのは、その人自身の時計が刻む固有時間 τで、これが次回の時空間隔の主役です。

練習問題（この回の式だけで解けます）

$\beta=0.6$ のとき $\gamma$ はいくつか。動く時計は地上時計の何倍の速さで進むか。
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$\gamma=1/\sqrt{1-0.36}=1/\sqrt{0.64}=1/0.8=1.25$。動く時計は $1/\gamma=0.8$ 倍の速さ（地上で1秒経つ間に0.8秒しか進まない）。
$\gamma=2$ にするには $\beta$ をいくつにすればよいか。
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$2=1/\sqrt{1-\beta^2}\Rightarrow\sqrt{1-\beta^2}=1/2\Rightarrow1-\beta^2=1/4\Rightarrow\beta=\sqrt{3}/2\approx0.87$。光速の約87%。
新幹線（$\beta\approx3\times10^{-7}$）で $\gamma-1\approx\tfrac12\beta^2$ を概算せよ。時間の遅れは体感できるか。
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$\tfrac12(3\times10^{-7})^2\approx4.5\times10^{-14}$。1日(約9万秒)でも $4\times10^{-9}$ 秒＝4ナノ秒。まったく体感できない。日常が β→0 だから。
光時計の導出で使った「唯一の仮定」は何か。もし光速が観測者ごとに違ったら、γ は出るか。
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唯一の仮定は「光速 c が全観測者で同じ」。もし走る時計で光が速くなれば、斜めの長い経路を速く進めてしまい、遅れは出ない。c 不変が時間の遅れの源。

第2回まとめ時間の遅れは、β だけの関数 γ

速く動く時計は、$1/\gamma$ 倍にゆっくり進む。その $\gamma$ は、たった一つの原理「$c$ は全員同じ」とピタゴラスの定理だけから出る。光時計を横に走らせると、光は斜めの長い経路を通るが速さは同じ $c$ ── だから地上の1チクタク $\Delta t$ は固有の $\Delta t_0$ より長く、$(c\Delta t)^2=(v\Delta t)^2+(c\Delta t_0)^2$ を解いて $\Delta t=\gamma\Delta t_0,\ \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$。

$\gamma$ は単位のない $\beta$ だけの純粋な関数で、日常（$\beta\approx0$）では $\gamma\approx1$、光速近くで無限大。時間は $\gamma$ 倍に伸び、長さは $1/\gamma$ 倍に縮む ── 時間と空間がセットで、一つの $\gamma$ に仕切られる。ミューオンや GPS で実証済みの、動く工学。ただし「遅れる」は相対的で、本当に不変なのは各自の固有時間 τ ── それが次回の時空間隔へつながります。単位のある時間・長さは観測者ごとの舞台装置、束ねるのは β の関数 γ。

次回予告 ── 第3回「時空間隔 ── 観測者で割れない、たった一つの不変量」。時間は $\gamma$ 倍に伸び、長さは $1/\gamma$ 倍に縮む ── 観測者ごとにバラバラ。では、誰が測っても同じものは何もないのか? あります。時間と空間を、あの引き算で組み合わせた $s^2=(c t)^2-x^2$ ── 時空間隔だけは、すべての観測者で一致する。ピタゴラスの「＋」でなく「−」で結ぶこの量こそ、時空の本当の幾何。単位のある $t$ も $x$ も舞台装置で、不変なのは $s$ だけ ── 相対論の背骨が見えてきます。

この文書は「わかる相対論」シリーズ第2回、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。光速度不変の原理と光時計から導かれる時間の遅れ $\Delta t=\gamma\Delta t_0$、ローレンツ因子 $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$、進行方向の長さ収縮 $1/\gamma$、小 $\beta$ 展開 $\gamma\approx1+\beta^2/2$、大気ミューオンの寿命延長、GPS の相対論補正（特殊＋一般で正味約38μs/日）は、いずれも確立した標準物理です。時間の遅れは慣性系間で相互的（対称）であり「絶対的にどちらが遅い」は存在しないこと、双子のパラドックスの非対称性は加速に由来すること、観測者不変の量は固有時間 $\tau$（第3回の時空間隔）であることは本文「正直な線」に明記しました。図は走る光時計の光路と時間の遅れの模式で、光路の見かけの速さは画面表示上の演出（実際の光速は不変）です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではアニメと解答は静止・非表示になります）。前後の回：第1回 β／目次。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面では β スライダーで光時計を走らせると、光路が斜めに伸びチクタクが遅れます。「答えを見る」で解答が開きます。