E=mc² ── 質量は、静止のエネルギーエネルギーと運動量にも、時空間隔と同じ「−」で結ばれた不変量 (mc²)²＝E²−(pc)²。
止まっている物では E＝mc² ── 質量とは、静止した物が抱えているエネルギーの別名だった。

必要な道具：第3回の不変量 s²、第2回の γ この回の不変量：(mc²)² = E² − (pc)²

世界で一番有名な式 $E=mc^2$ を、暗記でなく導いてみます。第3回で、時空には観測者によらない不変量 $s^2=(ct)^2-x^2$ がありました。じつはエネルギー $E$ と運動量 $p$ も、時間と空間のようにペアで、観測者ごとにバラバラに変わる。そして時空とまったく同じ「−」の組み合わせ ── $(mc^2)^2=E^2-(pc)^2$ ── だけが、誰から見ても同じ不変量になる。その不変量の正体が質量です。止まっている物（運動量 $p=0$）に対してこの式を読むと、$E=mc^2$ ── 質量とは、静止した物が抱えているエネルギーそのもの。この回は、第3回の幾何をエネルギーの言葉に翻訳するだけで、$E=mc^2$ と「なぜ光速が壁なのか」（第1回の宿題）が同時に落ちます。

01質量とエネルギーは、別々のものだった?

ニュートンの世界では、質量とエネルギーは無関係な別物でした。質量は物質の量、エネルギーは運動や熱の勢い。それぞれ別々に保存する、と。相対論は、この壁を壊します ── 質量とエネルギーは、同じものの二つの顔。その橋渡しをするのが、第3回で見た「−」の不変量の構造です。

02エネルギーと運動量にも、時空間隔がある

時空で位置が $(ct,\,x)$ というペアだったように、粒子の運動は $(E,\,pc)$ というペアで表せます（エネルギーと運動量）。観測者を変えると、この $E$ と $pc$ は、第2回の $\gamma$ にしたがってバラバラに変わる ── 時間と空間がそうだったのと、まったく同じ。そして、同じ「−」で組めば、不変量が現れます。

この回の不変量 ── エネルギー・運動量の「時空間隔」

$$(mc^2)^2=E^2-(pc)^2\qquad(\text{どの観測者でも同じ})$$

第3回の $s^2=(ct)^2-x^2$ と、字面までそっくり。$ct\to E$、$x\to pc$ と置き換えただけ。観測者を変えると $E$ も $pc$ も動くが、この組み合わせ ── $mc^2$ ── だけは不変。その不変量が、質量 $m$ の正体です。

03止まると、E＝mc²

この不変量を、いちばん簡単な場合 ── 止まっている物（運動量 $p=0$）── で読みます。

やってみよう ── p=0 を入れる $$(mc^2)^2=E^2-0\quad\Rightarrow\quad E=mc^2$$

止まっていて、運動エネルギーがゼロのはずなのに、エネルギーはゼロではない。$mc^2$ だけ残る。これが静止エネルギー ── 質量そのものが、莫大なエネルギーの塊だという意味です。$c^2$ が巨大（$9\times10^{16}$）なので、わずかな質量が途方もないエネルギーになる。1 g の質量は、$9\times10^{13}$ J ＝約 20 キロトン、広島型原爆に匹敵します。

動いている場合は、$E=\gamma mc^2$（第2回の $\gamma$）。無次元にすれば、$E/mc^2=\gamma$ ── エネルギーは静止エネルギーの $\gamma$ 倍。低速では $\gamma\approx1+\tfrac12\beta^2$ なので ──

低速で、ニュートンの運動エネルギーが顔を出す $$E=\gamma mc^2\approx mc^2+\tfrac12 mv^2$$

$mc^2$（静止エネルギー）＋ $\tfrac12mv^2$（おなじみの運動エネルギー）。ニュートンの $\tfrac12mv^2$ は、相対論のエネルギーから静止ぶんを引いたおつりだった。ここでも「ニュートンは β→0 の極限」です。

04動かしてみる ── エネルギー・運動量の双曲線

下の図は、第3回の時空図の双子です。横軸が運動量 $pc$、縦軸がエネルギー $E$（静止エネルギー $mc^2$ を単位にとってあります）。スライダーで $\beta$ を上げると、その粒子の $(pc,\,E)$ は ── やはり不変双曲線 $E^2-(pc)^2=(mc^2)^2$ の上を滑る。$pc$ も $E$ も増えるのに、$mc^2$（双曲線の下端）は不動。

右側のバーは、エネルギーの内訳です。下の静止エネルギー $mc^2$ は動かず、上に積み上がる運動エネルギーが $\beta$ とともに膨らむ。$\beta\to1$ にすると、双曲線は 45°の漸近線（$E=pc$）に近づき、エネルギー $E$ は青天井に発散する。ここが第1回で残した宿題の答え ── 物質を光速にするには無限のエネルギーが要る。だから $\beta=1$ は越えられない壁なのです。

図：エネルギー・運動量の双曲線 E²−(pc)²=(mc²)²（第3回の時空図の双子）。β を上げると点が双曲線を滑り、pc も E も増えるが mc² は不変。右バー＝E の内訳（静止 mc² ＋運動）。β→1 で E→∞＝光速の壁

β = v/c 0.60

粒子の (pc, E)／不変双曲線静止エネルギー mc²（不変）光 E=pc（45°・漸近線）

05質量ゼロと、光速の壁

不変量の式に $m=0$ を入れると、全部がつながります。

質量ゼロ ── 全エネルギーが運動、そして c

$$m=0\ \Rightarrow\ E^2=(pc)^2\ \Rightarrow\ E=pc,\quad \beta=\frac{pc}{E}=1$$

質量ゼロの粒子（光子）は、静止エネルギーがゼロで、エネルギーはすべて運動 $pc$。そして $\beta=pc/E=1$ ── 必ず光速で走る。「わかる場」第2回「質量ゼロの場は c」・第3回「質量ゼロは無限射程」と、ここで完全に握手します。質量ゼロは止まれず c、質量ありは c に届かない ── 質量とは「静止できる資格」でもあった。

そして $E=mc^2$ の本当の破壊力は、質量とエネルギーが行き来することです。質量は "凍ったエネルギー" で、条件が揃えば解け出す。太陽は毎秒 400 万トンの質量を光エネルギーに変えて輝き、原子核の核融合・核分裂は結合エネルギーの差を質量差として放出し、電子と陽電子は出会うと質量をまるごと光（エネルギー）に変えて消える（対消滅）。逆に「わかる場」第6回で見たとおり、陽子の質量の 99% は、閉じ込められたクォークとグルオンのエネルギーが $E=mc^2$ で質量に化けたもの ── あなたの体重は、ほとんどが凍ったエネルギー。質量とエネルギーは、同じものの二つの顔だったのです。

◇ ◇ ◇

正直な線 ── 「質量」はどの質量か

不変量 $(mc^2)^2=E^2-(pc)^2$、静止エネルギー $E=mc^2$、$E=\gamma mc^2$（低速で $mc^2+\tfrac12mv^2$）、質量ゼロで $E=pc$・$\beta=1$、核反応や対消滅での質量⇄エネルギー変換、核子質量の大半が束縛エネルギー由来（「わかる場」第6回）であることは、いずれも確立した物理です。

ここでの $m$ は静止質量（不変質量）── 全観測者で同じ、粒子固有の量です。古い教科書の「速度とともに増える相対論的質量 $\gamma m$」は、いまは使わない流儀（増えるのはエネルギー $E=\gamma mc^2$ であって質量ではない、と考える）。本稿の $m$ は動いても変わりません。また $E=mc^2$ は静止した物のエネルギーで、動く物は $E=\gamma mc^2$、一般には $E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ が正しい形です。「1 g ≈ 20 kt」は理想的な完全変換の数字で、現実の核反応は質量のごく一部しか解放しません。

練習問題（この回の式だけで解けます）

$\beta=0.6$（$\gamma=1.25$）の粒子のエネルギーは、静止エネルギーの何倍か。運動エネルギーは静止エネルギーの何割か。
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$E=\gamma mc^2=1.25\,mc^2$。静止の1.25倍。運動エネルギー $=E-mc^2=0.25\,mc^2$、静止の25%。
なぜ物質は光速 $\beta=1$ に達せないのか。エネルギーの言葉で。
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$E=\gamma mc^2$ で $\beta\to1$ だと $\gamma\to\infty$、つまり $E\to\infty$。光速にするには無限のエネルギーが要るので、有限のエネルギーでは決して届かない。第1回の"壁"の正体。
質量ゼロの光子に不変量の式を使うと、E と p の関係は? β は?
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$m=0$ で $E^2=(pc)^2\Rightarrow E=pc$。$\beta=pc/E=1$。質量ゼロは必ず光速で走る（止まれない）。
「あなたの体重の大半は凍ったエネルギー」とはどういう意味か。「わかる場」第6回と結びつけて。
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体重の主成分は陽子・中性子で、その質量の約99%は、閉じ込められたクォーク・グルオンの結合エネルギーが $E=mc^2$ で質量になったもの。質量は"凍ったエネルギー"で、ヒッグス由来の素の質量はごく一部。

第4回まとめ質量は静止エネルギー ── (mc²)²＝E²−(pc)²

エネルギー $E$ と運動量 $p$ は、時間と空間のようにペアで、観測者ごとにバラバラに変わる。でも第3回とまったく同じ「−」で組んだ $(mc^2)^2=E^2-(pc)^2$ だけは不変 ── その不変量が質量 $m$。止まっている物（$p=0$）では $E=mc^2$、質量は静止した物が抱えるエネルギーの別名。動けば $E=\gamma mc^2$（$E/mc^2=\gamma$）、低速では $mc^2+\tfrac12mv^2$ とニュートンの運動エネルギーが顔を出す。

双曲線図では、$\beta$ を上げると点が滑り $pc,E$ は増えるが $mc^2$ は不動、$\beta\to1$ で $E\to\infty$ ── 光速が壁な理由（第1回の宿題）。質量ゼロなら $E=pc,\ \beta=1$（必ず光速、「わかる場」と握手）。そして質量とエネルギーは行き来する ── 太陽・核反応・対消滅、そして体重の99%は凍ったエネルギー。質量という不変量が、単位のある E・p の舞台裏で全部を仕切っている。

次回予告 ── 第5回「同時は、観測者しだい ── でも因果は不変」。ここまで、時間の遅れも E=mc² も、静かに受け入れてきました。次はいよいよ、相対論でいちばん直感に反する核心 ── 「同時」という概念が、観測者ごとに違う。ある人には同時の二つの出来事が、別の人には順番が付いて見える。では原因と結果までひっくり返るのか? いいえ ── 第3回の時空間隔 $s^2$ の符号（時間的か空間的か）が、因果の順序だけは誰から見ても不変に守る。その見張り役が「何ものも c を超えない」。光円錐で一望します。

この文書は「わかる相対論」シリーズ第4回、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。4元運動量の不変量 $(mc^2)^2=E^2-(pc)^2$、静止エネルギー $E=mc^2$、$E=\gamma mc^2$ と低速展開 $E\approx mc^2+\tfrac12mv^2$、$\beta=pc/E$、質量ゼロで $E=pc$・$\beta=1$、$\beta\to1$ で $E\to\infty$ ゆえ有質量粒子が光速に到達不可能なこと、核反応・対消滅での質量エネルギー変換、核子質量の大半が結合エネルギー由来であることは、いずれも確立した標準物理です。本稿の $m$ は不変質量（静止質量）であり、速度依存の「相対論的質量 $\gamma m$」は現代では用いない流儀であること（増えるのはエネルギーであって質量ではない）、$E=mc^2$ は静止時の関係で一般には $E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ が正しいこと、「1 g ≈ 20 kt」は完全変換の理想値であることは本文「正直な線」に明記しました。図はエネルギー・運動量双曲線 $E^2-(pc)^2=(mc^2)^2$（$mc^2$ を単位に規格化）の模式です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。前後の回：第3回時空間隔／目次／姉妹編わかる場第6回。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面では β スライダーで、点が E²−(pc)²=(mc²)² の双曲線を滑り、β→1 で E が発散します。「答えを見る」で解答が開きます。

E=mc² ── 質量は、静止のエネルギー エネルギーと運動量にも、時空間隔と同じ「−」で結ばれた不変量 (mc²)²＝E²−(pc)²。止まっている物では E＝mc² ── 質量とは、静止した物が抱えているエネルギーの別名だった。

01質量とエネルギーは、別々のものだった?

02エネルギーと運動量にも、時空間隔がある

03止まると、E＝mc²

04動かしてみる ── エネルギー・運動量の双曲線

05質量ゼロと、光速の壁

第4回まとめ質量は静止エネルギー ── (mc²)²＝E²−(pc)²

E=mc² ── 質量は、静止のエネルギーエネルギーと運動量にも、時空間隔と同じ「−」で結ばれた不変量 (mc²)²＝E²−(pc)²。
止まっている物では E＝mc² ── 質量とは、静止した物が抱えているエネルギーの別名だった。