シュレディンガー方程式と量子化 ψ が時々刻々どう変わるかを与える波の規則が、シュレディンガー方程式。
波を箱に閉じ込めると、両端が節の定常波しか許されず ── 弦の倍音のように、エネルギーがとびとびになる。

必要な道具：第1回 p=h/λ、第2回 ψ と位相、弦の定常波この回：iℏ ∂ψ/∂t = Ĥψ、E_n ∝ n²

第2・3回で、波動関数 $\psi$ と、その位相 $S/\hbar$ の足し合わせを見ました。では実際に、$\psi$ は時々刻々どう形を変えるのか ── それを直接与える"波の運動方程式"が、シュレディンガー方程式 $i\hbar\,\partial\psi/\partial t=\hat H\psi$ です。そして、この波を箱に閉じ込めると、量子論のいちばん有名な顔 ── エネルギーが「とびとび」になる（量子化）── が現れます。でも、ここで強調したいことがあります。とびとびになるのは、世界が離散的だからではありません。ギターの弦が特定の高さの音（倍音）しか出さないのと、まったく同じ ── 連続な波を、両端を固定して閉じ込めると、"はまる"波だけが選ばれ、その結果としてとびとびになる。量子化は、波であることの、しごく当たり前の帰結なのです。

01波の運動方程式が要る ── シュレディンガー

$\psi$ が波なら、波の広がり方を決める方程式があるはず。それを、エネルギーの関係「運動エネルギー＋位置エネルギー＝全エネルギー」を波の言葉に翻訳して書いたのが、シュレディンガー方程式です。

シュレディンガー方程式 ── ψ の時間発展

$$i\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi$$

左辺の $i\hbar\,\partial_t$ が「エネルギー」を、右辺の $\hat H$（ハミルトニアン）が運動＋位置のエネルギーを表す。$i$ と $\hbar$ がいるのが肝 ── $i$ のおかげで解が振動する波になり、位相が $E/\hbar$ の速さで回る（第1回 $E=\hbar\omega$ そのもの）。「わかる宇宙論」第3回で残った $i$ は、この $i$ です。

02定常状態 ── 位相だけ回る波

特別な解として、形が変わらず位相だけが回る波があります。エネルギーが確定した状態（$\hat H\psi=E\psi$）で、時間変化は $\psi(t)=\psi\,e^{-iEt/\hbar}$ ── 大きさ $|\psi|^2$ は時間によらず一定なので定常状態と呼びます。位相の回る速さが $E/\hbar=\omega$。エネルギーが高い状態ほど、速く位相が回る。原子の中の電子の"軌道"は、この定常状態です。では、そのエネルギー $E$ は、どんな値でも取れるのか? ── 閉じ込めると、取れない。

03箱に閉じ込めると、とびとびになる

いちばん簡単な閉じ込め ── 幅 $L$ の箱（両側が壁）に電子を入れる。壁の外に出られないので、$\psi$ は両端でゼロでなければならない。これは、両端を固定した弦とまったく同じ条件。だから許されるのは、両端が節になる定常波だけ ── 半波長がちょうど整数個ぴったり収まる波です。

やってみよう ── はまる波長 → とびとびのエネルギー

半波長が n 個ぴったり：波長は

$$\lambda_n=\frac{2L}{n}\quad(n=1,2,3,\dots)$$

ド・ブロイ p=h/λ（第1回）と E=p²/2m を使うと

$$E_n=\frac{p_n^2}{2m}=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}$$

エネルギーは、$n=1,2,3\dots$ のとびとびの値（$E_n\propto n^2$）しか取れない。連続な波なのに、閉じ込めの境界条件が、許される波を整数 $n$ で選び出す ── それが量子化。ギターの弦が基音・2倍音・3倍音…しか鳴らないのと、寸分違わず同じ理屈です。

この回の量子数 ── 整数 n

とびとびを数える $n$（量子数）は、単位のない整数。第5回の逆二乗のべき $d-1$（わかる場）や、質量の湯川結合のように、物理の"個数"はいつも無次元の整数・比で現れる。$n$ は「箱に半波長が何個はまるか」そのものです。

04動かしてみる ── 箱の中の波

下の図。幅 $L$ の箱に、波 $\psi=\sin(n\pi x/L)$ を描きます。スライダーで $n$ を連続的に動かしてみてください。$n$ が整数のときだけ、波の右端がちょうど壁で節（ゼロ）になり、"はまる"（緑＝許される）。整数からずれると、右端が壁からはみ出してはまらない（赤＝許されない）。右のはしごは、許されるエネルギー $E_n\propto n^2$。

連続に $n$ を回しても、物理的に許されるのは、はしごの段（整数 $n$）だけ。連続な波の世界の上に、境界条件が"とびとびのふるい"をかけている ── これが量子化の正体です。箱を小さく（$L$ 小）すると段の間隔（$\propto1/L^2$）が広がり、量子化がはっきりする。原子ほど小さく閉じ込めると、エネルギー準位のとびとびが際立ち、原子ごとの決まった色の光（スペクトル線）になる。

図：幅 L の箱の中の波 sin(nπx/L)。n を連続で動かすと、整数のときだけ右端が壁で節になり"はまる"（緑＝許される／赤＝許されない）。右のはしご＝許されるエネルギー E_n∝n²

n（箱にはまる半波長の数） 2.00

はまる波（許される・整数 n）はまらない波（許されない）

05量子化は「離散な世界」ではない ── 連続な波が、境界で選ばれる

ここが、この回でいちばん伝えたいことです。「量子＝世界がとびとび（デジタル）」という印象は、正確ではありません。シュレディンガー方程式は、なめらかで連続な波の方程式。空間も時間も連続で、$\psi$ は連続に変化する。とびとびになるのは、波を閉じ込めたとき、はまるモードだけが選ばれるからで ── 連続な基盤の上に、境界条件がとびとびを生む。閉じ込めのない自由な電子は、エネルギーを連続にとれる（とびとびにならない）。とびとびは、世界の離散性ではなく、波＋閉じ込めの帰結です。

連続か離散か ── レコードとCDは、同じ曲「量子は離散、相対論は連続」と対比されがちですが、この回が示すのはもっと機微な話です。量子の基盤（波 $\psi$）は連続で、とびとびは閉じ込めからemergent（現れ出る）もの。連続な波と、そのとびとびのモード（倍音）は、同じ一つの弦の、二つの見方 ── レコード（連続波形）とCD（とびとびの数値）が同じ曲を運ぶのと同じで、どちらが"本当"でもない。じつは、なめらかな波形とそのとびとびの成分（スペクトル）を行き来する数学がフーリエ変換で、量子論はその上に立っています（位置と運動量、時間とエネルギーが、$\hbar$ を介したフーリエの表・裏）。第5回の不確定性は、まさにこの「連続 ↔ とびとび／広がり ↔ 波長」の裏表から出ます。「わかる宇宙論」第5回のサンプリングとも地続きの主題です。

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正直な線 ── シュレディンガー方程式の射程

シュレディンガー方程式 $i\hbar\partial_t\psi=\hat H\psi$、定常状態 $\psi e^{-iEt/\hbar}$、箱の中の粒子の量子化 $E_n=n^2h^2/8mL^2$・$\lambda_n=2L/n$、自由粒子の連続スペクトル、原子のエネルギー準位と輝線スペクトル、量子化が定常波の境界条件（弦の倍音との同型）から出ることは、いずれも確立した物理です。

ただし。 ① シュレディンガー方程式は非相対論的（$\beta\ll1$、第1回の"c の物語"を含まない）。相対論と量子を両立させるには場の量子論（ディラック方程式など、SR＋QM＝「わかる場」）が要ります ── 相対論と量子は"対立"ではなく、ここで合流します。 ② 実際の原子は箱でなく、原子核のクーロン引力（3次元）で閉じ込められ、量子数は $n$ だけでなく角運動量なども加わる。「箱」はいちばん簡単な模型です。 ③ 「量子化＝波＋閉じ込め」は束縛状態の話で、スピンのような"空間の波"に還元しにくい離散性もあります。 ④ プランクスケールで時空自体が離散的か連続かは、未解決（量子重力）── それはこの回の話ではありません。

練習問題（この回の式だけで解けます）

箱の中の粒子で、n=1 と n=2 のエネルギーの比は? （E_n∝n²）
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$E_2/E_1=2^2/1^2=4$。基底状態(n=1)の4倍。とびとびの間隔は n² で広がる。
箱の幅 L を半分にすると、エネルギー準位 E_n∝1/L² はどうなるか。閉じ込めが強いほど?
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$1/(1/2)^2=4$ 倍。強く閉じ込める（L 小）ほどエネルギーもとびとびの間隔も大きく、量子化がはっきりする。原子サイズで顕著になる理由。
なぜ整数 n のときだけ波が許されるのか。弦の倍音との共通点で。
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両端が壁（節）なので、半波長が整数個ぴったり収まる波（両端が節）しか許されない。両端を固定した弦が基音・倍音しか鳴らないのと同じ。境界条件が整数 n を選ぶ。
「量子＝世界は離散的」は、なぜ正確でないのか。
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シュレディンガー方程式は連続な波の方程式で、空間・時間・ψ は連続。とびとびは波を閉じ込めたとき、はまるモードだけが選ばれる emergent な結果。自由粒子は連続スペクトル。離散は"波＋閉じ込め"の帰結で、世界の離散性ではない。

第4回まとめ量子化は、連続な波を箱に閉じ込めた影

波動関数 $\psi$ の運動方程式がシュレディンガー方程式 $i\hbar\partial_t\psi=\hat H\psi$。$i$ のおかげで解は振動する波で、定常状態は位相が $E/\hbar=\omega$ で回る（第1回 $E=\hbar\omega$）。この波を幅 $L$ の箱に閉じ込めると、両端が節の定常波しか許されず、半波長が整数 $n$ 個はまる波だけが選ばれて、エネルギーがとびとび $E_n=n^2h^2/8mL^2$ になる ── ギターの倍音と同じ。量子数 $n$ は、単位のない整数。

肝心なのは、とびとび（量子化）は"世界が離散的"だからではないこと。シュレディンガー方程式は連続な波の方程式で、離散性は波を閉じ込めたときに、はまるモードが選ばれるemergent な帰結（自由粒子は連続）。連続な波形と、そのとびとびのモードは、レコードとCDのように同じものの二つの見方で、両者を結ぶのがフーリエ変換 ── 次回の不確定性の舞台です。「連続か離散か」は基盤でなく記述の問題、効くのはやはり $\hbar$。

次回予告 ── 第5回「不確定性 ── ℏ が張る最小の面積」。位置と運動量は、同時にはきっちり決まらない：$\Delta x\cdot\Delta p\ge\hbar/2$。これは測定の下手さではなく、波は「狭い場所に集まる」ことと「決まった波長（＝運動量）を持つ」ことを両立できないという、波の一般的な性質（フーリエの表・裏）から出ます ── 短い音は音程が曖昧、長く澄んだ音は位置（時刻）が曖昧、と同じ。位置と運動量の空間に、$\hbar$ という最小の面積の粒がある。連続と離散を結ぶ話の、核心へ。

この文書は「わかる量子」シリーズ第4回、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。シュレディンガー方程式 $i\hbar\partial_t\psi=\hat H\psi$、定常状態 $\psi(t)=\psi\,e^{-iEt/\hbar}$（$\hat H\psi=E\psi$）、無限井戸（箱）の固有エネルギー $E_n=n^2h^2/8mL^2$・波長 $\lambda_n=2L/n$、自由粒子の連続スペクトル、境界条件（定常波）による量子化と弦の倍音との同型、原子の離散準位と輝線は、いずれも標準物理です。シュレディンガー方程式が非相対論的でありSRとの両立には場の量子論（ディラック方程式等）が必要なこと（相対論と量子は対立でなく QFT で合流）、現実の原子はクーロン束縛の3次元問題で量子数が複数あること、スピン等の還元しにくい離散性があること、プランクスケールの時空の離散性/連続性は未解決（量子重力）であることは本文「正直な線」に明記しました。図は無限井戸の定常波と離散準位の模式です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。前後の回：第3回全経路を足す／目次／姉妹編わかる宇宙論（サンプリング）。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面では n を動かすと、整数のときだけ波が箱に"はまり"ます（緑）。「答えを見る」で解答が開きます。