わかる質量第 2 回 ／ ゼロには、見張り番がいた
なぜ光は "床ゼロ" でいられるのか ── 質量を禁じているものの正体
質量ゼロは、
対称性が守っている
第1回で「質量＝消せないエネルギーの床」。放っておくと床は湧いてしまう。
ゼロは特別で、対称性が能動的に守っている ── 3人の見張り番の話。
必要な道具：第1回の「質量＝床」、掛け算、対称の感覚
合言葉：質量²＝ポテンシャルの底の曲がり
第1回で、質量とは「運動量を抜いても残るエネルギーの床」でした。光はその床がゼロだから止まれない。では ── なぜ光の床は、厳密にゼロでいられるのか。 素朴には「ゼロ＝何もない＝当たり前」と思いがちですが、物理はむしろ逆。放っておくと質量は湧いてしまう。 ゼロは特別な状態で、対称性が能動的に守っているのです。今回は、ゼロを守る3人の見張り番を紹介します。
01まず「質量が湧く」のが普通、と知る
問いをひっくり返します。ふつう「なぜ重いのか」を問いますが、正しくはこうです ── 何が、質量が湧くのを禁じているのか。 場の理論では、禁じる理由がなければ質量項はふつうに現れてしまう。だからゼロを保つには"理由"が要る。その理由が対称性です。
今回の見取り図
質量ゼロ ＝ 対称性が「質量項」を禁じている状態。
質量が点く ＝ その見張り番が外れる／破れる。
02見張り番① ゲージ対称性 ── 光子・グルーオンがゼロ
光子（電磁場 \(A_\mu\)）の質量項は、書くとこうなります。
光子に質量を与える"はず"の項
$$m^2 A_\mu A^\mu$$
ところがこれは、ゲージ変換 \(A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu\lambda\) をすると形が変わってしまう＝ゲージ不変でない。電磁気の理論はこのゲージ変換で不変でなければならないので、そもそもこの質量項を書き込めない。だから光子は質量ゼロ。
- 光子（電磁気の U(1)）・グルーオン（強い力の SU(3)）── 対称性が破れていない → 質量ゼロ。
- W・Z が重いのは、電弱の対称性がヒッグスで自発的に破れ、縦波モードを食べたから（→ 第3回）。破れずに残った組み合わせが、質量ゼロの光子。
つなぐ声（第1回の回収）
第1回で「止まれる粒子は縦波が1つ生える（偏光が2→3に増える）」と言いました。ゲージ対称性は、実は記述の"冗長さ"で、その余分な縦波を消しています。だからゲージ対称性がある＝縦波がない＝止まれない＝質量ゼロ。「対称性が質量を禁じる」と「静止系がない」は、同じことの表と裏だったのです。
03見張り番② カイラル対称性 ── フェルミオンがゼロ
電子のようなフェルミオンの質量項（ディラック質量）は、左巻きと右巻きを混ぜ合わせる形をしています。
フェルミオンに質量を与える項（左右を混ぜる）
$$m\,\bar\psi\psi = m(\bar\psi_L\psi_R + \bar\psi_R\psi_L)$$
もし左巻きと右巻きが違う対称性を背負っているなら（＝カイラル対称性）、この混合項は禁じられます。標準模型はまさにこれで、電弱対称性が破れる前は、すべてのフェルミオンが質量ゼロ。質量が入るのは、ヒッグスと結合してから ── \(m_f = y_f\,v/\sqrt2\)（→ 第3回でくわしく）。
つなぐ声（第5回への布石）
湯川結合 \(y_f\) が小さければ質量は小さい。しかも「小さいことがカイラル対称性で守られている」ので、技術的には自然です。電子が軽く、ニュートリノが桁外れに軽い（→ 第5回）のは、この見張り番のおかげで許されている。
04見張り番③ ゴールドストンの定理 ── 質量ゼロのスカラー
3人目は独立した機構です。連続的な"大域"対称性が自発的に破れると、破れた向きひとつにつき、厳密に質量ゼロの粒子（南部＝ゴールドストン粒子）が1つ現れる。
- 物性のフォノンやマグノンは、厳密に質量ゼロのゴールドストン粒子。
- パイ中間子は、強い力のカイラル対称性が"近似的に"破れた擬ゴールドストンで、だから他のハドロン（〜1 GeV）より桁違いに軽い（約140 MeV）。「軽さ」まで対称性で説明できる実例です。
◇ ◇ ◇
05質量²は「ポテンシャルの底の曲がり」だった
3人の見張り番に共通する正体を、一枚の絵で。場のエネルギー（ポテンシャル \(V\)）の谷底で、質量² ＝ 底の"曲がり具合"（曲率）です。急な谷は強い復元力＝重い。平らな谷は復元力ゼロ＝質量ゼロ。ゴールドストン粒子とは、まさにこの"平らな方向"のこと。
質量の、もう一つの顔
$$m^2 \propto \left.\frac{d^2V}{d\phi^2}\right|_{\text{谷底}}\qquad(\text{平らな方向}\ \Rightarrow\ m=0)$$
図：ポテンシャル \(V(\phi)\) の谷底の"曲がり" k が質量²。スライダーで k を下げていくと、底が平らになり、復元力が消えて質量ゼロ（＝対称な方向＝ゴールドストン）に近づく
谷の曲がり k を動かすと、質量が変わります。
ポテンシャル V(φ)
平らな基準線（k=0＝質量ゼロ）
k を 0 にすると、谷は真っ平ら。ボール（場）は左右どちらへ動いても戻される力を受けない ── これが「止まれない・エネルギーの床がゼロ」の、ポテンシャル側の姿です。対称性は、この"平らな方向"を作り出すことで質量ゼロを守っているのです。
06だから、ゼロは自明ではない ── そして質量が"点く"とき
まとめると、質量ゼロは3人の見張り番の帰結でした。
①ゲージ対称性質量項 \(m^2A_\mu A^\mu\) がゲージ不変でない → 光子・グルーオンがゼロ。
②カイラル対称性左右を混ぜる質量項が禁じられる → フェルミオンがゼロ（ヒッグス前）。
③大域対称性の破れ（ゴールドストン）破れた"平らな方向"に質量ゼロのスカラーが現れる。
そして質量が"点く"とは、見張り番が外れる／破れること。次回のヒッグス機構は、①の対称性をわざと自発的に破って、W・Z に縦波を食べさせ、フェルミオンには湯川で床を与える手口です。第1回の「消せない床」で言えば ── ゼロの床は対称性が守り、有限の床は対称性が破れて湧く。これがこのシリーズの背骨の、二枚目のカードです。
正直な線
今回も合言葉 \(c\cdot t=\text{一定}\) はあえて前面に出していません。対称性が質量を禁じる／許すのは、\(c\cdot t\) と無関係の標準物理だからです。無理に効かせないのが姉妹シリーズ番外③の教訓。このレンズが正当に効くのは、スケールが創発する第4回以降。
「光子は厳密にゼロ」は理論上の帰結で、実験は上限を押し下げているだけ（光子質量 \(<\) およそ \(10^{-18}\) eV）。またグルーオンは閉じ込めで自由には飛べず、「質量ゼロ」はあくまでラグランジアン上の話 ── 束ねると質量スケールが湧きます。これは第4回「質量ギャップ」への布石です。図は \(V=\tfrac12 k\phi^2\) の模式図で、k を質量²に見立てています。
練習問題（今回の内容で解けます）
- 光子に質量項 \(m^2A_\mu A^\mu\) を書けない理由を一言で。
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この項がゲージ変換 \(A_\mu\to A_\mu+\partial_\mu\lambda\) で形を変えてしまい、ゲージ不変でないから。電磁気の理論はゲージ不変でなければならないので、質量項は許されず、光子は質量ゼロになる。
- 「質量² ＝ ポテンシャルの底の曲がり」を使って、ゴールドストン粒子が質量ゼロである理由を説明せよ。
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対称性が自発的に破れると、ポテンシャルに"平らな方向"（回すだけでエネルギーが変わらない方向）ができる。平らな方向は曲率ゼロ、つまり質量²＝0。その方向の揺れがゴールドストン粒子で、だから厳密に質量ゼロ。
- パイ中間子が他のハドロンより「軽い」のはなぜか、対称性の言葉で。
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強い力のカイラル対称性が"近似的に"破れているため、パイ中間子はほぼゴールドストン粒子（擬ゴールドストン）。完全に平らなら質量ゼロ、少しだけ傾いているので少しだけ質量を持つ ── だから約140 MeV と、他のハドロン（〜1 GeV）より桁違いに軽い。
第2回まとめゼロは、対称性が守る特別な状態
質量ゼロは自明ではなく、3人の見張り番の帰結だった ── ①ゲージ対称性（光子・グルーオン）、②カイラル対称性（フェルミオン）、③大域対称性の破れ（ゴールドストン）。共通の正体は「質量²＝ポテンシャルの底の曲がり」で、対称性が作る平らな方向が質量ゼロを守っている。
第1回の「消せない床」に、二枚目のカードが加わりました ── ゼロの床は対称性が守り、有限の床は対称性が破れて湧く。では、その"破れ"はどう起き、床はどう湧くのか。次回、いよいよ質量の湧き方を見ます。
次回予告 ── 第3回
「質量は、二通りに湧く」。見張り番が外れると、床が湧く。電子はヒッグスから直接もらい（\(m_f=y_f v/\sqrt2\)）、陽子は閉じ込めのエネルギーから生まれる（99%！）。同じ「質量」でも、湧き方はまったく違う。二つの起源を見分けます。