わかる c·t=一定 第 43 回 ／ 第 V 部・道具が壊れる場所
最小長は、共形不変性とそもそも両立しません
プランク長は、
帳簿の列にいた
\(\ell_P\) はウェイト \(+1\) ── ただの長さです。
そして「最小の長さがある」理論は、仮定からして共形不変ではありえません。
第18回で「1 ビット \(\leftrightarrow\) 1.96 fm」を出しました。ではプランク長そのものは、ウェイト表のどこにいるのでしょうか。答えは意外です ── \(\ell_P\) はウェイト \(+1\)、ただの長さ、帳簿の列。そして「長さに最小単位がある」という主張は、共形不変性とそもそも両立しません。第 V 部でいちばんはっきりした、道具の効く範囲の端です。
01プランク長は、ウェイト表のどこにいるか
| 量 | ウェイト | 分類 |
|---|---|---|
| \(\ell_P=1.616\times10^{-35}\) m | \(+1\) | 長さ ＝ 帳簿 |
| \(t_P=5.391\times10^{-44}\) s | \(+1\) | 時間 ＝ 帳簿 |
| \(m_P=2.176\times10^{-8}\) kg | \(-1\) | 質量 ＝ 帳簿 |
| \(E_P=1.221\times10^{19}\) GeV | \(-1\) | エネルギー ＝ 帳簿 |
| \(L/\ell_P\)（長さの比） | \(0\) | 無次元 ＝ 物理 |
01節の結論
プランク量はどれも帳簿の列にいます。 物理の列にいるのは比だけ。
── 「最小の長さは \(\ell_P\)」は、そのままでは第3回の意味でまだ文になっていません。
文にするなら \(L/\ell_P\ge1\)。
02核心 ── ここで、道具が本当に壊れる
問題は「\(G\) は共形変換で動くのか」です ── 第36回の (A)/(B) が、そのまま \(G\) に当たります。
| 読み方 | \(\ell_P\) | \(L/\ell_P\) | 帰結 |
|---|---|---|---|
| (A) \(G\) も動く（\(G\to\Omega^2G\)） | 一緒に動く | ウェイト \(0\) | 最小長は保たれる → 記法 |
| (B) \(G\) は固定 | 動かない | ウェイト \(+1\) | 最小長を割り込ませられる → 主張 |
今回いちばん言いたいこと
「最小の長さがある」理論は、そもそも共形不変ではありえません。
共形不変性はスケールが無いことを要求し、最小長はスケールそのものだからです。
── 第 V 部でここまで「壊れる／届かない」を見てきましたが、ここは違います。
仮定からして排除されている ── 道具の効く範囲の、はっきりした端です。
03では、プランクスケールとは結局何か
| 質量 [kg] | \(\lambda_C\) [m] | \(r_s\) [m] | \(\lambda_C/r_s\) |
|---|---|---|---|
| 電子 \(9.11\times10^{-31}\) | \(3.86\times10^{-13}\) | \(1.35\times10^{-57}\) | \(2.9\times10^{44}\) |
| 陽子 \(1.67\times10^{-27}\) | \(2.10\times10^{-16}\) | \(2.49\times10^{-54}\) | \(8.5\times10^{37}\) |
| \(m_P/\sqrt2=1.54\times10^{-8}\) | \(2.286\times10^{-35}\) | \(2.286\times10^{-35}\) | \(1.000\) |
| 1 g | \(3.52\times10^{-40}\) | \(1.49\times10^{-30}\) | \(2.4\times10^{-10}\) |
| 1 kg | \(3.52\times10^{-43}\) | \(1.49\times10^{-27}\) | \(2.4\times10^{-16}\) |
03節の結論
交点は無次元の言明です。 だからプランクスケールという概念は生き残ります ──
「長さ」としてではなく、「二つの効果が並ぶ場所」として。
図：質量を動かしたときのコンプトン波長とシュヴァルツシルト半径。片方は \(1/m\)、もう片方は \(m\) に比例するので、必ずどこかで交わります。その交点がプランクスケール ── 指させる長さではなく、比が 1 になる場所です
04私たちは、そこからどれだけ遠いか
50 回の倍化ぶん遠い ── 加速器のエネルギーを 2 倍にするたびに 1 歩です。
1 次元の位置をプランク精度で指定するには \(\log_2(R_H/\ell_P)=202.4\) ビット、3 次元なら 607 ビット（第38回④と同じ数）。
05観測は何か言っているか
| 測定 | \(E_{\rm QG}/E_P\) | 意味 |
|---|---|---|
| Fermi GRB 090510（1 次の効果） | \(>7.6\) | プランクエネルギーを超えて排除 |
| 同（2 次の効果） | \(>1.3\times10^{-8}\) | \(E_P\) の \(10^{-8}\) 倍までしか縛れない |
最小長があると、光の速さがエネルギーにわずかに依存しうる（分散）── ガンマ線バーストの到着時間差で縛れます。1 次の効果は排除されました。ローレンツ不変性を素朴に破る形の最小長は苦しい。一方 2 次の効果は 8 桁ぶん手つかずで、ここはまだ空白です。ただし、最小長のあるすべての理論がローレンツ不変性を破るわけではありません（破らない定式化もあります）── この制限が効くのは破る形のものだけです。
06第18回の 1.96 fm との関係
これも帳簿の列でした。物理は \(\ell_P\) との比のほうにあります ── \(1.96\ \text{fm}/\ell_P=1.21\times10^{20}=2^{66.7}\)。つまり「1 ビットの長さ」は、プランク長から 67 倍化ぶん上にあります。
07ウェイト表の総点検 ── 第 V 部を並べる
| 量 | ウェイト | 理由 |
|---|---|---|
| \(\alpha\) の走り（第37回） | \(0\) | 無次元 |
| \((D-1)(D-2)\)（第38回） | \(0\) | ただの数 |
| カーのスピン \(\chi\)（第39回） | \(0\) | 無次元 |
| ホログラフィック限界（第40回） | \(0\) | 面積 ÷ 面積 |
| 初期状態の特別さ（第41回） | \(0\) | ビット数 |
| 事象の地平面（第42回） | \(0\) | 因果構造 |
| 見かけの地平面（第42回） | \(\ne0\) | 局所量 |
| プランク長（第43回） | \(+1\) | ただの長さ |
07節の結論
第 V 部で 0 の列に入らなかったのは二つだけ ── 見かけの地平面とプランク長。
── どちらも「局所的な尺度を持ち込む」量でした。
① 02節の (A)/(B) は、規約の選択の問題です。 「\(G\) を動かすかどうか」は物理が決めることではなく、どういう変換を考えるかの定義です ── (A) を採れば共形変換は単位の取り替えになり、(B) を採れば物理的な主張になります。本稿の主張は「どちらかが正しい」ではなく、「どちらかを言わないと文にならない」という第3回の繰り返しです。
② 「最小長は共形不変性と両立しない」は、大域的な共形不変性についての言い方です。 局所的な Weyl 変換をゲージ対称性として持つ理論（第34回の共形重力など）では、スケールを固定するゲージ選択があってよい ので、話はもう少し込み入ります ── 02節は「スケールを持つ理論はスケール不変ではない」という、ほとんど同語反復に近い言明で、それゆえ強いのです。
③ 「プランク長が最小長である」こと自体、確立した事実ではありません。 プランク長は三つの定数から次元だけで作れる長さであって、そこで何かが起きるという証拠はまだありません ── 03節の交点は「量子と重力が同じ大きさになる」という目安であって、そこに最小単位があるという主張ではありません。
④ 05節の \(E_{\rm QG}\) の制限は、特定の分散関係の形を仮定したものです。 Fermi の値は GRB 090510 の解析によるもので、光子の放出時刻に関する仮定に依存します。また注記のとおり、最小長を持つ理論がすべてローレンツ不変性を破るわけではありません（ループ量子重力や非可換幾何にも破らない定式化があります）。
⑤ 06節の 1.96 fm は第18回の値をそのまま使っており、\(R_H=1.3\times10^{26}\) m を採ったときの数字です（\(1.3725\times10^{26}\) なら 1.99 fm）── 倍化の回数 66.7 はその程度の精度です。
練習問題
- プランク長の共形ウェイトはいくつか。
答えを見る
\(+1\)。\(\ell_P=\sqrt{\hbar G/c^3}\) で \(\hbar,c\) はウェイト 0、\(G\) は \(+2\) なので \((+2)/2=+1\) ── ただの長さ、帳簿の列です。物理の列にいるのは \(L/\ell_P\) のほうだけ。 - 「最小の長さは \(\ell_P\)」は、第3回の意味で文になっているか。
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なっていません ── 次元付きの量に主張を置いているからです。文にするなら \(L/\ell_P\ge1\)。「比較相手を言わなければ、まだ文になっていない」がここでも効きます。 - 最小長のある理論は共形不変でありうるか。
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ありえません。共形不変性はスケールが無いことを要求し、最小長はスケールそのものだからです ── 第 V 部でここまでの「壊れる／届かない」と違って、ここは仮定からして排除されています（ただし②の但し書き）。 - プランクスケールを、無次元の言明として述べよ。
答えを見る
コンプトン波長とシュヴァルツシルト半径の比が 1 になる場所です ── \(\lambda_C/r_s=1\) は \(m=\sqrt{\hbar c/2G}=m_P/\sqrt2\)。「長さ」としてではなく「二つの効果が並ぶ場所」として、概念は生き残ります。 - （やや難）LHC からプランク長まで、倍化で何回か。
答えを見る
約 50 回（\(9.0\times10^{14}=2^{49.7}\)）。13.6 TeV で見えている長さは \(1.45\times10^{-20}\) m です ── 加速器のエネルギーを 2 倍にするたびに 1 歩。ちなみに第2回の「140.24 対数ステップ」は空間で数えても同じ値でした（\(\ln(R_H/\ell_P)=140.29\)）。
まとめ 道具の効く範囲の、はっきりした端
プランク長は \(\sqrt{\hbar G/c^3}\)、\(G\) がウェイト \(+2\) なので \(\ell_P\) はウェイト \(+1\) ── ただの長さ、帳簿の列です。\(t_P\)、\(m_P\)、\(E_P\) も同じ。物理の列にいるのは \(L/\ell_P\) のような比だけで、だから「最小の長さは \(\ell_P\)」は、そのままでは第3回の意味でまだ文になっていません。
そしてここで道具が本当に壊れます。「最小の長さがある」理論は、そもそも共形不変ではありえない ── 共形不変性はスケールが無いことを要求し、最小長はスケールそのものだからです。第 V 部でここまで見てきた「壊れる／届かない」と違って、ここは仮定からして排除されています。
ではプランクスケールという概念は無意味なのか。そうではありません ── コンプトン波長 \(\hbar/mc\) とシュヴァルツシルト半径 \(2Gm/c^2\) の比が 1 になる場所として述べれば、それは無次元の言明です（\(m=m_P/\sqrt2=1.54\times10^{-8}\) kg）。「長さ」としてではなく「二つの効果が並ぶ場所」として、概念は生き残ります。
私たちはそこから 約 50 回の倍化ぶん離れています（LHC の \(1.45\times10^{-20}\) m から \(\ell_P\) まで \(2^{49.7}\)）。観測では、ローレンツ不変性を素朴に破る形の 1 次の効果はプランクエネルギーを超えて排除されましたが、2 次の効果は 8 桁ぶん手つかずです。
第 V 部を並べ直すと、ウェイト 0 の列に入らなかったのは二つだけ ── 見かけの地平面（第42回）とプランク長（今回）。どちらも「局所的な尺度を持ち込む」量でした。
この文書は「わかる c·t=一定」シリーズ第43回（第 V 部の 7 回目）、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。プランク単位、コンプトン波長とシュヴァルツシルト半径の交点、量子重力現象論のローレンツ不変性検証はいずれも標準的な内容で、本稿に新しい主張はありません ── 数値は kenshou/calc47.py で計算しています。02節の (A)/(B) は規約の選択の問題で、「\(G\) を動かすかどうか」は物理が決めることではなく変換の定義です ── 本稿の主張は「どちらかが正しい」ではなく「どちらかを言わないと文にならない」という第3回の繰り返しです。「最小長は共形不変性と両立しない」は大域的な共形不変性についての言い方で、局所的な Weyl 変換をゲージ対称性として持つ理論（第34回の共形重力など）では話はもう少し込み入ります ── 02節は「スケールを持つ理論はスケール不変ではない」というほとんど同語反復に近い言明で、それゆえ強いのです。「プランク長が最小長である」こと自体、確立した事実ではありません ── プランク長は三つの定数から次元だけで作れる長さであって、そこで何かが起きるという証拠はまだなく、03節の交点は「量子と重力が同じ大きさになる」という目安です。05節の \(E_{\rm QG}\) の制限は特定の分散関係の形を仮定したもので、Fermi の値は GRB 090510 の解析により光子の放出時刻に関する仮定に依存します ── また最小長を持つ理論がすべてローレンツ不変性を破るわけではありません。06節の 1.96 fm は第18回の値（\(R_H=1.3\times10^{26}\) m）をそのまま使っており、\(1.3725\times10^{26}\) なら 1.99 fm です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。