わかる c·t=一定 第 27 回 ／ 第 IV 部・同じ手術を、ほかの理論にもかける
いちばん有名な動機づけが、いちばん弱い論拠でした
インフレーションを、
同じ手術にかける
「地平線問題を解く」の中にも、二つの別物が同じ名前で入っています。
切り分けると、残るのは \(n_s\) のほうでした。
第3回でやった手術を覚えていますか ── ひとつの名前の中に、別物が二つ入っていないか調べる。合言葉には「等価な書き換え」と「観測が判定する主張」が同じ名前で入っていました。第 IV 部では、この手術を他の理論に当てます。最初の患者はインフレーションです。
01「インフレーションは地平線問題を解く」を切り分ける
第3回とまったく同じ構図です。では (A) はどれだけ「安い」のか ── そこから数えます。
02(A) は、\(a\propto t\) なら 0 e-folds で済む
\(a\propto t^p\) のとき
$$d_p=a(t)\int_0^t\frac{c\,dt'}{a(t')}=\frac{ct}{1-p}$$\(p=1\) では \(\int dt'/t'\) が対数発散するので
$$d_p=\infty$$| 膨張則 | \(d_p\) | 地平線問題 |
|---|---|---|
| \(p=1/2\)（輻射） | \(2ct\) | ある |
| \(p=2/3\)（物質） | \(3ct\) | ある |
| \(p=0.99\) | \(100\,ct\) | ある |
| \(p=1\)（c·t=一定） | \(\infty\) | ない |
02節の結論
c·t=一定 は、地平線問題を e-folds 0・パラメータ 0 で消します。
つまり (A) はインフレーション固有の成果ではありません ── 地平線問題は「宇宙の問題」ではなく「減速する宇宙の問題」でした。
第17回では、この問題に必要な情報を数えました ── 再結合時に因果的に切れたパッチが約 \(10^4\) 個、合意に必要な情報は 20 KB。\(p=1\) ならパッチは 1 個なので、必要な情報は 0 ビットです。
03(A) がインフレーションに要求する e-folds
今日の共動ハッブル半径が、インフレーション開始時のそれの内側にあること
$$e^N\ \ge\ \frac{a_e}{a_0}\cdot\frac{H_{\rm inf}}{H_0}$$| \(V^{1/4}\) | \(H_{\rm inf}\) [1/s] | \(T_{\rm reh}\) [GeV] | \(N_{\min}\) |
|---|---|---|---|
| \(10^{16}\) GeV（GUT） | \(3.6\times10^{37}\) | \(4.1\times10^{15}\) | 62.1 |
| \(10^{13}\) GeV | \(3.6\times10^{31}\) | \(4.1\times10^{12}\) | 55.2 |
| \(10^{10}\) GeV | \(3.6\times10^{25}\) | \(4.1\times10^{9}\) | 48.3 |
| \(10^{6}\) GeV | \(3.6\times10^{17}\) | \(4.1\times10^{5}\) | 39.1 |
よく言われる「\(N\approx60\)」は GUT スケールでの値です。ここが手術の勘所です ── \(N\) は自由パラメータではなく、(A) の要求から決まっています。
04そして、同じ \(N\) が \(n_s\) を予言する
(A) が決めた \(N=62.1\) を入れると
$$n_s=0.9678$$観測（Planck 2018）
$$n_s=0.9649\pm0.0042\qquad\Longrightarrow\qquad N=57.0\pm6.8$$ずれ
$$0.75\sigma$$今回いちばん言いたいこと
まったく別の要求から決めた二つの \(N\) が、\(1\sigma\) 以内で一致しました。
一方は「今日の宇宙が一つの因果パッチに入ること」、もう一方は「CMB のゆらぎの傾き」。この二つが繋がっている理由は、インフレーションを仮定して初めて出てきます。
図：横軸は e-folds \(N\)。青＝(A) が要求する \(N_{\min}\)（再加熱スケールで動く）、橙＝(B) の \(n_s\) から決まる \(N\)。ツマミで再加熱スケールを動かすと、二つが重なる場所が見えます
05第19回の手続きで、一致の驚きを測る
| 測り方 | 中身 | 驚き |
|---|---|---|
| A：\(n_s\) の相対幅 | \(\sigma_N/N=0.120\)、事前 \(\ln\) レンジ 4.61 | 5.3 bit |
| B：帯に入る確率 | \(N\in[55,70]\) の確率 0.052 | 4.3 bit |
およそ 4〜5 ビット。第19回の目盛りでは偶然の帯（4.7〜7.4 ビット）に入りますが、こちらには説明があります ── 同じ \(N\) が両方を決めるという構造です。第19回の分類では、説明がある一致は物理に移ります。第18回の 1.96 fm（7.4 ビット、説明なし）とはそこが違います。
06種明かし ── 同じ手術、違う結果
| 払う | 買う | 差し引き | |
|---|---|---|---|
| インフレーション | \(N\)＋\(V\) の形 ≈ 2 個 （\(-10.7\) bit） | \(n_s\) を 4.3 bit で当てる | \(-6.5\) bit （過小評価） |
| c·t=一定 | パラメータ \(-1\) 個 （\(+5.4\) bit） | 地平線問題が消える | \(-148.3\) bit （第25回） |
インフレーション側の \(-6.5\) は過小評価です ── ここでは \(n_s\) ひとつしか計上していませんが、同じ 2 パラメータが \(r\) の上限、断熱性、ガウス性、地平線を越えた TE 反相関、平坦性、モノポール問題まで買っています。いっぽう c·t=一定 の \(-148.3\) は当てはまりの損そのものなので、過小評価ではありません。
06節の結論
同じ手術をしても、残るものが違いました。
インフレーションは (A) を捨てても (B) が残ります。
c·t=一定 は (A) を無料で解きますが、(B) に対応するものを持ちません。
① \(N=60\) は再加熱スケールに強く依存します。 表のとおり \(V^{1/4}=10^6\) GeV なら \(N_{\min}=39\)、GUT スケールなら 62 ── 幅 23 です。\(n_s\) との一致は GUT スケールを仮定したときの話で、低スケール模型では 04節の一致は成立しません。
② \(n_s\approx1-2/N\) は模型依存です。 \(R^2\)（スタロビンスキー）型や α-attractor では成り立ちますが、あらゆるインフレーション模型で成り立つわけではありません。ここは「インフレーションの予言」ではなく「よく使われる一群の模型の予言」です。
③ 瞬間再加熱を仮定しています。 再加熱が長引けば \(N_{\min}\) はさらに数〜十ほど動きます。
④ 06節の帳簿は、単位を揃えるための粗い計算です。 パラメータの値段は第5回の \(N_{\rm data}=1701\) に基づき、インフレーション側の credit は \(n_s\) ひとつだけ。「\(-6.5\) 対 \(-148\)」は桁の比較としてだけ読んでください。
⑤ \(p=1\) で地平線問題が消えることは、この膨張則を支持しません。 第3回の判定（BBN でのヘリウム量）は変わっていません。02節が言っているのは「(A) は安い」という一点だけです。
⑥ この回はインフレーションを否定していません。 むしろ逆で、手術に耐えて (B) が残ることを確認しています。
練習問題（今回の式だけで解けます）
- \(a\propto t^p\) の粒子的地平線を求め、\(p=1\) で発散することを示せ。
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\(d_p=a\int_0^t c\,dt'/a=ct^p\int_0^t t'^{-p}dt'=ct^p\cdot t^{1-p}/(1-p)=ct/(1-p)\)。\(p\to1\) で \(\int dt'/t'=[\ln t']_0^t\) となり、下端で対数発散します。 - \(n_s=0.9649\) から \(N\) と誤差を出せ。
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\(N=2/(1-n_s)=2/0.0351=57.0\)。誤差は \(dN/dn_s=2/(1-n_s)^2=1623\) に \(0.0042\) を掛けて \(\pm6.8\)。\(N=57.0\pm6.8\)。 - GUT スケールの \(N_{\min}=62.1\) との一致は何 \(\sigma\) か。
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\((62.1-57.0)/6.8=0.75\sigma\)。1σ 以内です。 - この一致の驚きを、第19回の手続きでビットに直せ。
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事前を \(N\in[10,1000]\) の対数一様とすると \(\ln\) レンジは 4.61。\(N\) が \([55,70]\) に入る確率は \(\ln(70/55)/4.61=0.052\) なので \(-\log_2 0.052=\) 4.3 ビット。相対幅で測れば 5.3 ビット。説明があるので「偶然」ではなく「物理」に分類されます。 - （やや難）「インフレーションは地平線問題を解く」という説明は、なぜ弱い論拠なのか。
答えを見る
同じことが \(a\propto t\) では e-folds 0・パラメータ 0 でできるからです。つまり (A) はインフレーションを他の可能性から区別しません。インフレーションを支えているのは (B)、すなわち \(n_s\)・断熱性・ガウス性・地平線を越えた相関のほうです。手術の目的は、どちらが本当に払っている論拠かを名指しすることでした。
まとめ (A) は安い。残るのは (B)
「インフレーションは地平線問題を解く」を、第3回と同じ手術で二つに切りました ── (A) 因果的に繋げること、(B) ゆらぎのスペクトルを出すこと。
(A) は安いことが分かりました。\(a\propto t^p\) の粒子的地平線は \(ct/(1-p)\) で、\(p=1\) では対数発散して無限大になります。つまり c·t=一定 は地平線問題を e-folds 0・パラメータ 0 で消します ── 第17回の 20 KB も、パッチが 1 個なら 0 ビットです。地平線問題は「宇宙の問題」ではなく「減速する宇宙の問題」でした。
いっぽうインフレーションでは、(A) が \(N\) を決めます ── GUT スケールで \(N_{\min}=62.1\)。そして同じ \(N\) が \(n_s\approx1-2/N=0.968\) を予言し、観測は \(0.9649\pm0.0042\)、逆算すると \(N=57.0\pm6.8\) で 0.75σ の一致です。第19回の手続きで測ると 4〜5 ビットの驚き ── ただし説明がある一致なので、分類は「偶然」ではなく「物理」です。
帳簿にすると、インフレーションは \(-6.5\) ビット（\(n_s\) ひとつしか計上していない過小評価）、c·t=一定 は \(-148.3\) ビット。同じ手術をしても、残るものが違いました ── インフレーションは (A) を捨てても (B) が残り、c·t=一定 は (A) を無料で解くが (B) に対応するものを持たない。そして「地平線問題を解く」という最も有名な動機づけが、実は最も弱い論拠だったというのが、この手術の収穫です。
この文書は「わかる c·t=一定」シリーズ第27回、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。粒子的地平線 \(d_p=ct/(1-p)\)、e-folds の要求条件 \(e^N\ge(a_e/a_0)(H_{\rm inf}/H_0)\)、スローロールの \(n_s\approx1-2/N\)、Planck 2018 の \(n_s=0.9649\pm0.0042\) はいずれも標準的です。本稿での計算は、再加熱スケールごとの \(N_{\min}\)（GUT スケールで 62.1、\(10^6\) GeV で 39.1）、\(n_s\) からの逆算 \(N=57.0\pm6.8\)、そのずれ 0.75σ、および第19回の手続きによる驚き 4.3〜5.3 ビットです（kenshou/calc31.py）。\(N=60\) は再加熱スケールに強く依存し（幅 23）、\(n_s\approx1-2/N\) は \(R^2\) 型・α-attractor など一群の模型での結果であって、あらゆるインフレーション模型の予言ではありません。 瞬間再加熱を仮定しており、再加熱が長引けば \(N_{\min}\) はさらに動きます。06節の帳簿は単位を揃えるための粗い計算で、パラメータの値段は第5回の \(N_{\rm data}=1701\) に基づき、インフレーション側は \(n_s\) ひとつしか計上していない過小評価です ── 桁の比較としてのみ読んでください。\(p=1\) で地平線問題が消えることは、その膨張則を支持するものではありません（第3回の判定は変わっていません）。線形膨張（\(c\cdot t=\)一定）は検証途上の少数派モデルで、学術的な標準はインフレーションを含む \(\Lambda\)CDM モデルです。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。