わかる c·t=一定 第 26 回 ／ 第 III 部・完
八つの物差しで測った数は、いくつあったのか
同じ数を、
八つの言語で
\(1.5\times10^{-18}\) が三度、\(140\) が四度。
第19回の手続きを、シリーズ自身に当てます。
第 III 部では八つの物差しで宇宙を測りました ── 分散合意、アドレス、驚き、光シート、時間の矢、命令セット、符号、帯域、そして記述長。並べてみると、同じ数が何度も出てきます。 \(1.5\times10^{-18}\) が三度、\(140\) が四度、\(0.035\) が二度。物差しが違うのに同じ数が出るとき、それは発見なのか、それとも最初から同じものを測っていたのか。 第19回の手続きを、シリーズ自身に当てます。
01\(1.5\times10^{-18}\) は三度出てきた
| 出どころ | 式 | 値 |
|---|---|---|
| 第6回・使用率 | \((S/\ln2)/N\) | \(1.5132\times10^{-18}\) |
| 第6回・占有率 | \(\sum A_{BH}/A_H\) | \(1.5132\times10^{-18}\) |
| 第21回・時間の矢 | \(10^{-0.127\times140.24}\) | \(1.55\times10^{-18}\) |
ホログラフィーの定義そのものから
$$N=\frac{A}{4\ell_P^2\ln2}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{S/\ln2}{N}=\frac{4\ell_P^2 S}{A}=\frac{\sum A_{BH}}{A_H}$$比は 1.000000。ブラックホールが \(S\) を支配する限り、これは恒等式
三つ目も独立ではありません ── 第21回の \(0.127\) decade/step は、そもそも \(1.5\times10^{-18}\) に合うように差を取って出した数でした。三度出てきた \(1.5\times10^{-18}\) は、一つの数です。
02\(140\) は四度出てきた
03第 III 部の見出し数字を、全部並べる
| 量 | 値 | 由来 |
|---|---|---|
| 地平面の容量 \(N\) | \(2.956\times10^{122}\) bit | \(t_0,\ \ell_P\) |
| 容量が増える速さ \(dN/dt\) | \(1.358\times10^{105}\) bit/s | \(t_0,\ \ell_P\) |
| 1ビットあたり演算数 \(\Omega/N\) | 0.0351 | \(p\) |
| 使用率 | \(1.513\times10^{-18}\) | \(t_0,\ \ell_P,\ S\) |
| 占有率 | \(1.513\times10^{-18}\) | ＝使用率 |
| 時間の矢 | \(1.55\times10^{-18}\) | ＝使用率 |
| 冗長度 \(n/k\) | \(6.61\times10^{17}\) | ＝1/使用率 |
| 対数ステップ数 | 140.24 | \(t_0,\ \ell_P\) |
| 温度ステップ数 \(N_T\) | 73.03 | \(T_0\) |
| 通信路容量 \(C\) | \(6.789\times10^{104}\) bit/s | \(t_0,\ \ell_P\) |
| \(C\cdot t/N\) | 1.000000 | 恒等式 |
| \((dN/dt)/C\) | 2.000000 | 恒等式 |
| パラメータ 1 個の値段 | 5.37 bit | \(N_{\rm data}\) |
| 当てはまりの損 | 153.6 bit | \(\Delta\chi^2\) |
| CMB モード数 | \(6.255\times10^{6}\) | \(l_{\max}\) |
| 1 ビット ↔ 長さ | 1.96 fm | \(t_0,\ \ell_P\) |
| 何もしない成分の取り分 | 95.0 % | \(\Omega_\Lambda,\ \Omega_{\rm dm}\) |
| 地平線問題の情報量 | 20 KB | CMB パッチ数 |
| 20 KB の送信時間 | \(8.55\times10^{-96}\) s | \(t_{\rm rec},\ \ell_P\) |
今回いちばん言いたいこと
見出し数字 24 個。独立な入力 12 個（\(t_0,\ \ell_P,\ S,\ p,\ T_0,\ N_{\rm data},\ \Delta\chi^2,\ l_{\max},\ \Omega_\Lambda{+}\Omega_{\rm dm}\), CMB パッチ数, \(t_{\rm rec}\), ネット総量）。
第 III 部自身の圧縮率は 2.0 倍。第25回の物差しを自分に当てると、桁ではありませんでした。
図：見出し数字と、その独立な入力。同じ色の点は、同じ入力から出た数です。ツマミで「恒等式で結ばれた数を畳む」と、24 個が何個まで縮むかが見えます
04第19回の手続きを、シリーズ自身に当てる
| 一致 | 正体 | 驚き |
|---|---|---|
| 使用率 ＝ 占有率 | 恒等式（\(N=A/4\ell_P^2\ln2\) から） | 0.0 bit |
| \(C\cdot t=N\) | 恒等式（\(E=c^4R/2G\) とホログラフィー） | 0.0 bit |
| \(dN/dt=2C\) | 恒等式（\(N\propto t^2\)） | 0.0 bit |
| 140 が四度 | 全て \(\ln(t_0/t_P)\) | 0.0 bit |
| \(\Omega/N=p\ln2/2\pi^2\) | 状態方程式だけで決まる（導出） | 0.0 bit |
| \(N_T/N_t\approx1/2\) | 輻射期が対数レンジを支配 | 1.0 bit |
| 1 ビット ↔ 1.96 fm | 偶然（第18回で判定済み） | 7.4 bit |
合計 8.4 ビット ── そのうち 7.4 は第18回で「偶然」と判定済みの一件です。第 III 部で出てきた一致のほとんどは、驚き 0 ビット、つまり恒等式でした。
05種明かし ── では第 III 部は何をしたのか
05節の結論
発見したのではありません。同じ数を、八つの言語で言い直しました。
これは自己批判ではなく、シリーズの主題そのものです。第25回の言葉で書き直すとこうなります ── やっていたのは L(法則) を短くする作業であり、記述言語に依存するから判定には使えない。ではなぜやるのか。
地図を描く前は、24 個の数字が並んでいるように見えました。描いたあとは、12 個の入力と、1 個の説明できない一致です。これが情報理論で物理を読むということの、正直な収穫です。
① 「独立な入力 12 個」の数え方は一意ではありません。 \(\ell_P\) を \(\hbar,G,c\) の三つと数えれば 14 個、\(N_{\rm data}\) と \(\Delta\chi^2\) を「Planck のデータ 1 個」とまとめれば 11 個になります。圧縮率 2.0 倍という数字も、第25回で崩したのと同じ理由で数え方に依存します ── だから桁の話としてだけ読んでください。
② 「使用率＝占有率」が恒等式なのは、\(S\) をブラックホールが支配する限りです。 実際 CMB 光子の寄与は \(10^{-15}\) 倍以下ですが、これは観測に基づく事実であって恒等式ではありません。恒等式なのは \((S/\ln2)/N=4\ell_P^2S/A\) の部分だけです。
③ 第21回の \(0.127\) は逆算された数です。 本文でもそう書きましたが、あらためて ── あれは独立な確認ではなく、同じ \(1.5\times10^{-18}\) を対数ステップの言葉で書き直したものです。
④ 「驚き 0.0 bit」は第19回の手続きによる分類で、主観的な事前範囲に依存します。 恒等式に 0 を割り当てるのは定義に近く、7.4 bit のほうは事前範囲の取り方次第で数ビット動きます。
⑤ 第3回の判定は動かしていません。 05節は「第 III 部は判定をしていない」と言っているのであって、判定を撤回しているのではありません。
練習問題（今回の式だけで解けます）
- 使用率と占有率が同じ数になることを示せ。
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\(N=A/(4\ell_P^2\ln2)\) を使うと \((S/\ln2)/N=(S/\ln2)\cdot4\ell_P^2\ln2/A=4\ell_P^2S/A\)。ブラックホールなら \(S=A_{BH}/(4\ell_P^2)\) なので、これは \(\sum A_{BH}/A_H\)。ホログラフィーの定義から一行です。 - \(N_T/N_t=0.52\) が \(1/2\) に近い理由を述べよ。
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対数レンジの大半（プランク期から等密度期まで）が輻射優勢で、そこでは \(T\propto t^{-1/2}\)。つまり \(d\ln T/d\ln t=-1/2\) が 140 ステップのうち大部分を占めます。これは説明のある一致なので、驚きは 1 ビット程度です。 - 第 III 部の圧縮率を、\(\ell_P\) を \(\hbar,G,c\) の三つと数えて計算せよ。
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入力が 14 個になるので \(24/14=1.7\) 倍。数え方で変わることが分かります ── 第25回で L(法則) について見たのと同じ現象です。 - 第 III 部で \(c\cdot t=\)一定 が本当に効いた数はどれか。
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\(\Omega/N=p\ln2/2\pi^2\) の \(p=1\)、すなわち 0.0351 の一つだけ。残りは \(R_H=ct_0\) という記法だけを使っており、膨張則そのものには依存しません。 - （やや難）「同じ数を八つの言語で言い直した」ことに価値はあるか。
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あります。言い直さなければ、どの二つが恒等式で結ばれているかが見えないからです。地図を描く前は 24 個の独立な発見に見えたものが、描いたあとは 12 個の入力と 1 個の説明できない一致になりました。「説明できていない場所が 1 か所だけ」と分かることが収穫です ── ただしこれは新しい物理ではなく、構造の地図です。
まとめ 同じ数を、八つの言語で
第 III 部で繰り返し出てきた数を追いかけました。\(1.5\times10^{-18}\) は三度出てきましたが、使用率と占有率は \(N=A/(4\ell_P^2\ln2)\) から一行で導ける恒等式で、第21回の時間の矢はその逆算でした ── 三度出てきた \(1.5\times10^{-18}\) は、一つの数です。140 も四度出てきて、全て \(\ln(t_0/t_P)\) でした。独立なのは温度の \(N_T=73.03\) だけで、比 0.52 は輻射期が対数レンジを支配することの反映です。
見出し数字 24 個に対して独立な入力は 12 個。第 III 部自身の圧縮率は 2.0 倍 ── 第25回の物差しを自分に当てると、桁ではありませんでした。第19回の手続きで一致を仕分けると、7 件のうち 5 件が驚き 0 ビット（恒等式）、1 件が 1 ビット（説明あり）、残る 1 件が 7.4 ビット ── 第18回の 1.96 fm です。
だから第 III 部がしたのは発見ではなく、同じ数を八つの言語で言い直すことでした。それでも価値はあります ── 言い直さなければ、どの二つが恒等式で結ばれているかは見えないからです。恒等式が 5 本見つかり、説明できていない場所が 1 か所だけだと分かりました。地図を描く前は 24 個の独立な数字に見えたものが、描いたあとは 12 個の入力と 1 個の謎です。
そして \(c\cdot t=\)一定 が本当に効いた数は、24 個のうち 1 個だけ（\(\Omega/N=0.0351\)）でした。第 III 部はモデルの検証ではなく、記法の検証だったということです ── このシリーズの主題は判定ではなく圧縮なので、それでよいのです。
この文書は「わかる c·t=一定」シリーズ第26回（第 III 部・完）、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。ホログラフィック境界 \(N=A/(4\ell_P^2\ln2)\)、ベケンシュタイン＝ホーキングのエントロピー \(S_{BH}=A/(4\ell_P^2)\)、輻射優勢期の \(T\propto t^{-1/2}\) はいずれも標準的です。本稿の主張（使用率＝占有率が恒等式であること、第 III 部の見出し数字 24 個が独立な入力 12 個に帰着すること、驚きの合計 8.4 ビット）は本稿での集計です（kenshou/calc30.py）。「独立な入力 12 個」の数え方は一意ではなく、\(\ell_P\) を \(\hbar,G,c\) の三つと数えれば 14 個、Planck のデータをまとめれば 11 個になります ── 圧縮率 2.0 倍という数字自体が、第25回で崩したのと同じ理由で数え方に依存します。「使用率＝占有率」が恒等式なのは \(S\) をブラックホールが支配する限りで、その支配は観測に基づく事実であって恒等式ではありません。「驚き 0.0 bit」は第19回の手続きによる分類で、主観的な事前範囲に依存します。線形膨張（\(c\cdot t=\)一定）は検証途上の少数派モデルで、その判定は第3回で扱いました ── 本稿は判定を撤回するものではなく、第 III 部が判定ではなく記法を扱っていたことの確認です。\(R_H=ct_0\) はその記法上の規約です（\(\Lambda\)CDM では \(R_H=c/H_0\) と粒子的地平線が異なります）。学術的な標準はインフレーションを含む \(\Lambda\)CDM モデルです。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。