量子重力自由研究第 6 回／三次元

曲率が効きはじめる、最初の次元

三次元へ運動項を運んでいたのは、誰か

因果的動的三角形分割を、四面体から組む2026-08-17

ここまで二次元でやってきたことには、はっきりした天井がありました。二次元では曲率項 $\int\!\sqrt{g}\,R$ が位相不変量です。動かしても値が変わらない。だから素の作用は体積項だけで、そもそも直すべき逆符号が存在しなかった。第1回で見た「エントロピーが運動項を作る」という話は、 ゼロから作る話であって、間違った符号を直す話ではなかったのです。

共形因子問題の本体は「逆符号の運動項」でした（「わかる共形変換」第9回）。それを試せる最初の次元が三次元です。三次元では曲率項が力学に効く。共形モードは本当に逆符号の運動項を持つ。そのうえで、測度がそれを直すのかどうかを見られる。

そして三次元には厳密解がありません。第2回で書いた「本当にシミュレータの出番になるのはそこから」の、そこです。

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01四面体は、三種類しかない

作り方は二次元と同じ発想です。時刻 $t$ の空間スライスは二次元の三角形分割。 $t$ と $t+1$ のあいだ（サンドイッチ）を四面体で埋める。因果的に許される四面体は、下の時刻に何個の頂点があるかで三種類だけです。

型	下(時刻 t)	上(時刻 t+1)	何をしているか
(3,1)	3	1	下のスライスの三角形に、上から錐をかぶせる
(2,2)	2	2	両側に脚をかけて、スライスとスライスを結ぶ
(1,3)	1	3	上のスライスの三角形に、下から錐をかぶせる

この表をよく見てください。(3,1) と (1,3) は片側の空間三角形に貼り付いているだけです。上と下を実際に結んでいるのは (2,2) だけ。ここが今日の話の伏線になります。

初期配位

空間はトーラス（$L\times L$ の格子を各セル2枚の三角形に割る）、時間も周期。各サンドイッチは「三角柱＝空間三角形×区間」を三つの四面体に割ります。頂点に大域的な番号をつけて \(a

プリズム分解 $$(a,b,c,c')=(3,1),\qquad (a,b,b',c')=(2,2),\qquad (a,a',b',c')=(1,3)$$

隣のプリズムと共有する四角形の面は、どちらから見ても対角線 $a\text{–}b'$ （小さい下の頂点から大きい上の頂点へ）で割れます。だから整合する。大域順序を使う理由はこれ一点です。

組んだら、まず疑う三次元の三角形分割は、目で見て正しさを確かめられません。だから不変量で検算します。

三角形の面はちょうど2つの四面体で共有されているか
面の総数 $F=2N$、辺 $E=V+N$、オイラー標数 $\chi=V-E+F-N=0$
四面体は隣り合う2時刻だけにまたがるか（3時刻はダメ、4頂点同時刻もダメ）
空間スライスがトーラスなので $N_{31}=N_{13}=2V$

これを走行の前後で毎回通します。今日はこの監査に何度も救われました。

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02因果律は、また一手の禁止だった

第3回で、二次元の因果律が if 一行に落ちる話を書きました。三次元でも同じことが起きます。しかも、もっときれいな形で。

手は Pachner 移動を因果的に制限したもので、五つあります。

手	中身	$\Delta N$	$\Delta V$
(2,3)/(3,2)	時間的な面を共有する2つ ⇄ 時間的な辺を共有する3つ	±1	0
(2,6)/(6,2)	空間三角形に頂点を挿す ⇄ 次数6の頂点を潰す	±4	±1
(4,4)	空間的な辺 AB を CD に張り替える	0	0

このうち (4,4) を見てください。空間的な辺 $AB$ がちょうど4つの四面体に囲まれているとき、その4つは頂点 $A,B,C,D$（時刻 $t$）と $U$（$t+1$）と $W$（$t-1$）からなる 八面体をなします。八面体を四面体4つに割る方法は、 どの対角線を使うかで三通りあります。対角線の候補は $AB$、$CD$、$UW$ の三本。

三次元の因果律

$UW$ は 時刻 $t+1$ と $t-1$ を直接つなぐ辺です。それを許すと四面体が3時刻にまたがってしまう。だから禁止。

三本のうち一本を禁じると、
残る二本の取り替えが、そのまま (4,4) という手になる。

二次元では「時間的かつ U-D のフリップだけ」でした。三次元では「八面体の対角線三本のうち一本を禁じる」。次元は上がったのに、因果律の入り方は同じ形をしています。

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03頂点を増やさないと、エントロピーが無い

最初は (2,3)/(3,2) だけを実装して回しました。この手はサンドイッチの中だけで働き、空間スライスを変えません。だから (2,2) 四面体の数だけが動きます。実際、走らせると $N_{31}$ が 576 のまま一歩も動きませんでした。予測どおりで気持ちがいい。

ところが、体積の結合 $k_3$ をいくら下げても $N$ が発散しない。臨界点が見つからない。掃引数を 1000 → 27000 と増やすと値がじりじり上がり続ける。

理由 (2,3)/(3,2) は頂点を増やしません。 頂点の集合が凍っていると、四面体をいくら増やしてもエントロピーが指数的に伸びない（頂点 $V$ 個の上に置ける四面体は $\binom{V}{4}$ 通りで打ち止め）。 熱力学極限そのものが存在しない。

つまり (2,6) が本体です。頂点を増やす手がないと、エントロピーの話が始まらない。 ── これは二次元の体積可変 CDT（第5回）で学んだのと同じ教訓でした。

五手そろえてから、体積を固定して $k_0$（頂点にかかる結合）を振ると、こうなります。

$k_0$	0	2	4	5	6	7	8
$q=N_{22}/N$	.473	.403	.299	.225	.107	.054	.034
$V/N$	.132	.149	.175	.194	.223	.237	.241

$k_0$ を上げると (2,2) 四面体が消えていきます。上下を結んでいた四面体が居なくなる。これが次の節の道具になります。

言わないことこれを相転移とは呼びません。感受率（$q$ の分散×$N$）には $k_0\approx6$ にピークの気配がありますが、統計が薄く、有限サイズスケーリングもしていません。 $N\approx4000$ は三次元 CDT としては小さすぎます（文献は $10^5$ 四面体の規模）。ここで言えるのは「$k_0$ を上げると (2,2) が減る」という事実だけです。

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04本命 ── 運動項の符号を測る

さて本題です。各スライスの空間体積 $n_t = N_{31}(t)$ を毎掃引記録して、ゆらぎの共分散 $C(d)=\langle \delta n_t\,\delta n_{t+d}\rangle$ を測ります。

空間トーラス＋周期時間なので、系は時間並進で不変です。ということは共分散行列はフーリエで対角化できる。有効作用の二次形式は、その逆数です。

測り方有効作用を $S_{\rm eff}=\tfrac12\sum_{t,t'}\delta n_t\,M_{tt'}\,\delta n_{t'}$ と書くと $M=C^{-1}$。運動項が $+\dfrac{(\Delta n)^2}{2\Gamma\bar n}$ の形（正しい符号）なら $$\tilde M(k) \;=\; A\,(1-\cos k) + B,\qquad A=\frac{1}{\Gamma\bar n}>0$$

ここが判定

$A>0$ なら正符号の運動項。$A<0$ なら共形モードの逆符号がそのまま残っている。 $A$ は「隣どうしのスライスが正に相関しているか」と同じことです。

$T=32$、$N\approx16{,}000$、40000掃引で測りました。結果：

測定結果

$A = +1.04\times10^{-3}$

正符号でした。曲率項が力学に効く三次元で、共形モードの逆符号は測度に直されている。 ── 二次元では原理的に試せなかった検査が、ここで通りました。

整合のしるし $\tilde C(0)$ だけが極端に小さく出ます（他のモードの 1/100 以下）。これは総体積を固定しているのでゼロモードが殺されているから。予定どおりです。

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05予測を立ててから、殺しにいく

ここで、01 節の伏線を回収します。 スライスとスライスを結んでいるのは (2,2) 四面体だけでした。そして 03 節で、$k_0$ を上げれば (2,2) を消せることが分かっています。

立てた予測

$k_0$ を上げて (2,2) を殺せば、運動項 $A$ も消えるはずだ。 上下を結ぶ四面体が居なくなれば、隣のスライスとの相関が無くなるから。

下の図は、実際に測った $\tilde M(k)$ を $1-\cos k$ に対して並べたものです。傾きが $A$ です。ツマミで $k_0$ を動かしてください。

図：有効作用の運動項。横軸 $1-\cos k$、縦軸 $\tilde M(k)=1/\tilde C(k)$。直線の傾きが $A$。（$T=32$、$N\approx16{,}000$ の実測値）

頂点の結合 $k_0$ ＝ 0.0

選んだ $k_0$ 他の $k_0$ 最小二乗の直線

$k_0$	$q=N_{22}/N$	$C(1)/C(0)$	$A$
0	0.473	+0.479	$3.03\times10^{-3}$
1	0.440	+0.460	$2.35\times10^{-3}$
2	0.402	+0.473	$1.62\times10^{-3}$
3	0.357	+0.469	$9.66\times10^{-4}$
4	0.299	+0.431	$5.95\times10^{-4}$
5	0.221	+0.233	$1.87\times10^{-4}$
9	0.031	−0.031	≈ 0

予測は当たりました。(2,2) が減るにつれて $A$ は 16分の1 まで落ち、 $k_0=9$ では消えます。同時にゆらぎ自体 $C(0)$ は 403 → 84207 と爆発する。スライスが独立にさまよい出すのです。

消えたことの、決定的な裏取り

「$A$ が小さい」だけでは弱い。そこで完全に分離した場合の予言を用意しました。スライスが独立で、総体積だけが固定されているなら、残る相関は 体積固定による自明なもの一つだけで、すべての $d\ge1$ について

$$\frac{C(d)}{C(0)} \;=\; -\frac{1}{T-1} \;=\; -0.0323 \qquad (T=32)$$

$k_0=9$ での実測（$d=1\ldots16$ の平均）

$-0.0307 \pm 0.0721$

結論

三次元 CDT で共形モードの運動項を運んでいるのは、(2,2) 四面体である。

消すと、隣のスライスとの相関に自明なもの以外は何も残らない。時間方向が幾何として成立しなくなります。

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06ついでに出てきた、きれいな数字

$A$ が (2,2) とともに落ちるのは分かりました。ではどう落ちるのか。ミニ超空間の形 $A=1/(\Gamma\bar n)$ を思い出して、$A\cdot\bar n$ を $q$ の関数として見ます。

$k_0$	$q$	$\bar n$	$A\cdot\bar n$	$A\bar n / q^3$
0	0.473	132.5	0.4011	3.80
1	0.440	142.7	0.3353	3.94
2	0.402	154.7	0.2503	3.86
3	0.357	168.9	0.1632	3.59
4	0.299	187.1	0.1113	4.15
5	0.221	211.7	0.0396	3.66

$A\cdot\bar n$ は10倍変わっているのに、$q^3$ で割るとほぼ動きません。

実測から出た関係　※ 2026-08-29 に取り下げました ── この節の末尾の追記を読んでください

$$A\cdot\bar n \;=\; C\,q^3, \qquad C \approx 3.9$$

$A\bar n = 1/\Gamma$ なので、言い換えると $\Gamma \propto q^{-3}$。 (2,2) が減ると運動項の結合が発散する ── スライス同士が固くなるのではなく、 柔らかくなりすぎて繋がらなくなる。

体積を変えても同じ定数になるかを確かめました。ここが「偶然でないこと」の検査です。

体積	点の数	$C = A\bar n/q^3$
$N\approx8{,}000$	3	3.905 ± 0.108
$N\approx16{,}000$	6	3.834 ± 0.075
$N\approx32{,}000$	2	4.252 ± 0.306

これは、どこまで言えるか体積を4倍まで振って定数は動いていません。ただし

$N=32{,}000$ は掃引が相対的に足りず、統計が弱い（上に出ている）
$T$ を変えた対照実験をやっていない。全部 $T=32$ で取っている
$q$ の範囲が 0.22〜0.47 しかない。指数 3 はこの範囲での話
空間トポロジーはトーラス固定。球面で同じかは見ていない

だから「$A\bar n\propto q^3$ という経験則が、この設定で ±5% で成り立つ」までが今日の線です。法則と呼ぶには、$T$ の対照と指数の理論的な導出が要ります。

2026-08-29 追記 ── この経験則は、取り下げます

上の「次にやること①②」を、そのあと実際にやりました。答えはこうです ── 指数がちょうど 3 に見えたのは、$q$ の窓が狭かったからでした。 $k_0$ をさらに上げて $q$ を 0.06 付近まで広げて測り直すと、当てはまるのは冪ではなく しきい値つきの冪です。

$$A\cdot\bar n \;=\; C\,(q-q_c)^{\theta},\qquad q_c=0.06\pm0.03,\quad \theta=2.55\pm0.30$$

$A$ は $q\approx0.09$ でゼロになります（分離相）。つまり「(2,2) が減ると $\Gamma$ が発散する」という描像は残りますが、発散するのは $q\to0$ ではなく $q\to q_c$ です。窓を $0.30\le q\le0.48$ に狭く取ると $A\bar n=(4.16\pm0.20)\,q^3$ に見え、 $T$（4倍）・$N$（4倍）・$\bar n$（5倍）で不変（$\chi^2/\mathrm{dof}=1.02$）── だからこの節の検査は全部通ってしまったのです。体積を4倍振っても、窓が同じなら見かけは崩れません。

上の表だけからでも、実は読めた

この節の 6 点だけを使って、指数を固定せずに当て直してみます（kenkyu/recheck_q3.py）。

$A\bar n=Cq^\theta$ を当てると $\theta=3.02\pm0.09$ ── たしかに 3 に見えます。
ところがしきい値を許すと $q_c=0.051$、$\theta=2.53\pm0.07$ で、残差はむしろ小さくなります （対数残差 0.0123 対 0.0138）。後から広い窓で測った $q_c=0.06\pm0.03,\ \theta=2.55\pm0.30$ と、 この 6 点だけでほぼ一致していました。
つまり手元のデータは最初から「$\theta=3$ か、しきい値つきの $\theta\approx2.5$ か」を 区別できていなかった。区別できないことに気づかず、片方を選んで書いてしまいました。

もう一つ、書いていなかった前提 ── $q$ と $\bar n$ は独立ではない

空間トーラスでは $N=4V+N_{22}$ が厳密に成り立つので、$q$ と $\bar n$ は恒等式 $q=1-2T\bar n/N$ で結ばれています。上の表で $N=2T\bar n/(1-q)$ を計算すると 16,091 → 17,393 と 8% しか動きません ── つまりこの $k_0$ スキャンの中で、 $\bar n$ は $q$ のほぼ一意な関数です。

その帰結として、$A=C'q^a\bar n^{\,b}$ を当てても $(a,b)$ は一本の縮退線しか決まりません。実際に同じ 6 点で当てると：

$b$ を決め打つと	$a$	対数残差二乗和
$b=-2$	2.42	0.0222
$b=-1$（＝記事の $A\bar n=Cq^3$）	3.02	0.0138
$b=-0.5$	3.33	0.0132（最小）
$b=0$（$\bar n$ を掛けない）	3.63	0.0150

残差はどれもほぼ同じで、データは $b$ を選べません。 $\bar n$ を掛けたのはミニ超空間の形 $A=1/(\Gamma\bar n)$ という理論側の理由であって、この測定が $\bar n$ の指数を決めたわけではありません ── そう書くべきでした。指数「3」は、$b=-1$ を選んだうえで、狭い窓で見たときの値です。

誤差棒についてこの節の $\pm0.108$ などはジャックナイフです。その後もっと統計を増やしたところ、 ジャックナイフの誤差は 1.5〜2 倍に膨らみました（自己相関時間 $\tau_{\rm int}$ が 800〜3200 掃引あり、試料数が少ないと自動窓が早く閉じて $\tau$ が短く推定されるため）。 このシリーズに出てくる誤差棒は、系統的に過小だと思って読んでください。

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07正直な線

今日の限界

1. $M$ が正定値なのは自明。 $C$ は共分散行列なので、その逆は必ず正定値です。非自明なのは $A>0$（隣どうしが正に相関している）ほうであって、正定値性そのものではありません。ここを混同すると何も測っていないことになります。

2. これは既知の範囲の話です。 (2,2) が「時間方向に張る」四面体だというのは CDT の文献では定性的に知られています。今日やったのは自分で組んで自分で測って確かめたということ。人類が気づいていない法則ではありません。

3. $k_0=6,8$ の $A$ は符号が決まっていません。 分離相は緩和が非常に遅く、20000掃引では共分散が暴れます（個々の $C(d)$ が桁で振れる）。「消える」までは言えても「負になる」とは言えない。 $k_0=9$ の平均が自明な予言 $-1/(T-1)$ に乗ったことだけが、確かな足場です。

4. 系が小さい。 $N\le32{,}000$、$T=32$、空間 6×6。三次元 CDT の文献規模には遠く、連続極限の話は一切していません。

記録今日、手で確かめたこと

三次元 CDT を四面体から組み、手を五つ全部（(2,3)/(3,2)、(2,6)/(6,2)、(4,4)）実装した
初期配位・走行後とも不変量が全部通る（$F=2N$、$E=V+N$、$\chi=0$、面はちょうど2枚共有、$N_{31}=N_{13}=2V$）
(2,3)/(3,2) だけを回すと $N_{31}$ が厳密に不動 ── 予測どおり
(2,6) と (6,2) の受理率が一致（0.0257 / 0.0257）── 詳細釣合いのしるし
因果律は八面体の対角線一本の禁止として現れる（三次元でも「一手の禁止」）
(2,3)/(3,2) だけでは熱力学極限が存在しない（頂点が凍るから）
体積プロファイルの有効作用の運動項は正符号（$A=+1.04\times10^{-3}$）
その運動項を運んでいるのは (2,2) 四面体。消すと自明な相関しか残らない（$-0.0307$ vs 予言 $-0.0323$）
~~経験則 $A\bar n \approx 3.9\,q^3$（体積4倍まで一致、$T$ の対照は未実施）~~ ── 2026-08-29 に取り下げ。窓を広げると $A\bar n=C(q-q_c)^\theta$（$q_c=0.06\pm0.03,\ \theta=2.55\pm0.30$）。06節の追記を参照

次にやること（2026-08-29 に更新） ~~① $T$ を変えて $A\bar n = Cq^3$ の対照を取る~~ → やった。$T$ 4倍でも窓の中では不変。つまり $T$ の対照は通ったが、通ったことが「指数 3」の証拠にはならなかった／ ~~② 指数 3 が出る理由を考える~~ → 理由は無かった。3 は窓が作った見かけで、本当の形はしきい値つきの $\theta\approx2.55$。導出はまだできていない／ ③ 空間を球面 $S^2$ にして、de Sitter 的な「こぶ」が出るかを見る（未着手）／ ④ $k_0\approx6$ の転移らしきものを、有限サイズスケーリングで詰める（未着手）／ ⑤ 新規：$q$ を固定して $\bar n$ だけを振る系列を作り、 $A=C'q^a\bar n^{\,b}$ の $b$ を初めて決める（$k_0$ スキャンでは原理的に決まらない）

量子重力自由研究第6回。厳密解の無いところに来たので、ここから先は全部シミュレータが根拠です。だからこそ不変量の監査を毎回通しています。
コードと計算の記録はすべて手元にあります。数値はこのページに書いたものがそのまま実測値です。

ツマミを動かすと、実測した $k_0$ ごとの運動項が切り替わります。

\(k_0\)	0	2	4	5	6	7	8
\(q=N_{22}/N\)	.473	.403	.299	.225	.107	.054	.034
\(V/N\)	.132	.149	.175	.194	.223	.237	.241

\(k_0\)	\(q=N_{22}/N\)	\(C(1)/C(0)\)	\(A\)
0	0.473	+0.479	\(3.03\times10^{-3}\)
1	0.440	+0.460	\(2.35\times10^{-3}\)
2	0.402	+0.473	\(1.62\times10^{-3}\)
3	0.357	+0.469	\(9.66\times10^{-4}\)
4	0.299	+0.431	\(5.95\times10^{-4}\)
5	0.221	+0.233	\(1.87\times10^{-4}\)
9	0.031	−0.031	≈ 0

体積	点の数	\(C = A\bar n/q^3\)
\(N\approx8{,}000\)	3	3.905 ± 0.108
\(N\approx16{,}000\)	6	3.834 ± 0.075
\(N\approx32{,}000\)	2	4.252 ± 0.306

\(b\) を決め打つと	\(a\)	対数残差二乗和
\(b=-2\)	2.42	0.0222
\(b=-1\)（＝記事の \(A\bar n=Cq^3\)）	3.02	0.0138
\(b=-0.5\)	3.33	0.0132（最小）
\(b=0\)（\(\bar n\) を掛けない）	3.63	0.0150