第4回の表の中に、ひとつだけ自分で叩けるものがありました
第4回は、実験が何も言ってくれないという話で終わりました。
でも表の中にひとつだけ、自分のパソコンで叩けるものがあります。
c=1 の壁 ── 2次元のユークリッド量子重力に物質を載せていくと、
中心電荷が 1 を超えたところで理論が壊れる。これがユークリッド路線が行き詰まった直接の原因です。
CDT にはこの壁が無いとされている。確かめます。
2次元重力に中心電荷 \(c\) の物質を載せると、物質の臨界指数が「着替え」ます（第3回の KPZ ドレッシング）。 その着替えの量を与える式が
$$\Delta=\frac{\sqrt{1-c+24\Delta_0}-\sqrt{1-c}}{\sqrt{25-c}-\sqrt{1-c}}$$です。\(c>1\) で平方根の中が負になる。式が複素数になってしまう。 そして数値実験では、そこで幾何そのものが枝分かれポリマーに潰れることが知られています ── 面がちぎれて、細い首でつながった木のような構造になる。
これは深刻です。物理的な物質（クォークやレプトン）の中心電荷は 1 よりずっと大きい。 壁の向こうに行けないなら、2次元ユークリッド重力に物理を載せられない。
第3回で作った道具がそのまま使えます。イジング模型1枚が \(c=1/2\) なので、 独立なイジングを \(n\) 枚載せれば \(c=n/2\)。 \(n=2\) で壁ちょうど、\(n=8\) で壁の4倍、\(n=16\) で8倍です。
幾何が壊れたかどうかは平均グラフ距離 \(\langle r\rangle\) で見ます。 体積 \(N\) を揃えておけば、
つまり壁を越えると、同じ体積の宇宙が急に細長くなるはずです。
DT 側では確かに壁が見えました。しかし CDT 側は、第3回の道具では プロファイル固定（各時刻の空間の長さ \(l_t\) が全部同じ）で走らせていました。 それだと体積を時刻のあいだで再配分できない ── もともと \(d_H=2\) に縛られています。
「CDT には免疫がある」と読むには、これでは足りません。 プロファイルが自由に動く CDT を作らないと、この問いは裁けない。
必要なのは、葉層を壊さずに三角形の数を変える手です。
時刻 \(t\) の空間的な辺 \(ab\) を選ぶ。この辺は上の帯の U 三角形 \(A=(a,b,c)\) と 下の帯の D 三角形 \(B=(b,a,d)\) で共有されている。中点に頂点 \(m\) を入れると
$$A\to A_1=(a,m,c),\;A_2=(m,b,c)\quad\text{どちらも U のまま}$$ $$B\to B_1=(b,m,d),\;B_2=(m,a,d)\quad\text{どちらも D のまま}$$三角形は +2、\(l_t\) は +1、葉層は保たれる。オイラーは \(V{+}1,\,E{+}3,\,F{+}2\) で不変。
CDT ではスライス \(t\) の頂点の次数は \(2+2+u+d\)（\(u,d\) は「その頂点を尖端とする三角形」の数）。 したがって
$$\textbf{次数が 4}\iff u=d=0\iff\textbf{挿入で作られた頂点}$$挿入は半辺を一様に1本引いて空間的なら実行（1辺＝半辺2本）、 削除は半辺を引いてその根元の次数が4なら実行（次数4の頂点＝半辺4本）。よって
$$\text{挿入}:\min\!\Big(1,e^{-2\lambda}\frac{2N}{N'}\Big),\qquad \text{削除}:\min\!\Big(1,e^{+2\lambda}\frac{N'}{2N}\Big)$$ここが今回いちばん時間を使ったところなので、全部書きます。
| 罠 | 症状 | 直し方 |
|---|---|---|
| ① ループ境界 | for(i=0;i<N;++i) の中で挿入が \(N\) を増やす。ループが終わらない | 境界を先に確定させる |
| ② U/D の入れ替え | フリップには2つの場合がある。U 三角形は時間的な辺を2本持つので、どちらを共有しているかで結果が違い、片方では三角形の U/D が入れ替わる。更新漏れで、空間的な辺が U-U をつなぐ配位が生まれ、以降が全部狂った | 不変量（空間的半辺の数＝\(N\)、U の枚数＝\(N/2\)、空間的辺は必ず U と D をつなぐ）を毎回監査して発見 |
| ③ 削除の条件 | 次数4だけでは足りない。まわりの4頂点が全部別で、しかも4枚の並び方まで見ないと、マージで頂点が同一視されトポロジーが変わる（\(V\) が 1 でなく 3 減った） | 頂点にIDが無いので「φ巡回の最小半辺番号」を代表元にして判定 |
| ④ 詳細釣合い | 削除にだけ余分な棄却条件があった。体積が一方的に発散し、平衡が \(\lambda\approx2\)（\(\ln2\) のはず）にずれた | 削除の条件を挿入側にも同じだけ置く。直したら挿入の通過率が 0.3350 ≒ 1/3 と予測どおりに |
直したあと、20万手打っても曲面が保たれる（トーラスなら常に \(V=N/2\)）ことを確認しました。 さらに \(\langle N\rangle\) を第2回の厳密解と突き合わせます。私の手は退化した配位 （\(l_t\) が 1〜2 の短いスライス）を作れないので、答えは厳密解の 「制限なし」と「\(l\ge3\)」のあいだに挟まるはずです。
| \(\delta,\,T\) | 厳密（\(l\ge1\)） | モンテカルロ | 厳密（\(l\ge3\)） | 挟まったか |
|---|---|---|---|---|
| 0.05, 20 | 130 | 182 | 239 | ○ |
| 0.02, 40 | 404 | 509 | 646 | ○ |
| 0.01, 60 | 853 | 1114 | 1244 | ○ |
3つとも挟まりました。道具として信用できます。
体積を \(N\approx2000\) に揃え、同じ温度（\(\beta=0.85\)）、同じ物質。 違うのは因果律を課すかどうかだけです。
| \(c\) | 0 | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 8.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| DT \(\langle r\rangle\) | 25.0 | 28.2 | 29.9 | 30.5 | 30.8 | 39.9 | 61.7 | — |
| CDT \(\langle r\rangle\) | 25.8 | 25.2 | 25.8 | 25.7 | 26.0 | — | 26.6 | 26.2 |
| CDT \(\langle r\rangle/\sqrt N\) | .578 | .562 | .576 | .571 | .579 | — | .587 | .573 |
CDT に c=1 の壁は無い。ユークリッド DT にはある。
DT は \(c\approx1.5\sim2\) で折れ、そこから伸びて \(c=4\) で 2.5倍。
有限サイズスケーリングでも \(d_H\) が \(2.76\to1.78\)（枝分かれポリマーの 2 に近い）と落ちます。
CDT はイジング16枚（\(c=8\)、壁の8倍）まで、まったく動きません ──
\(\langle r\rangle/\sqrt N\) は ±2% の散らばりで、傾向すらありません。
第3回で見た仕掛けと同じです。因果律を外した幾何は、細い首を作れます。 向きの違う2つのスピン領域を首でつなげば、ドメイン壁のコストがほとんどタダになる。 物質が増えるほど、幾何は「自分をちぎって物質に合わせる」ほうが得になり、 ついには面が木のように枝分かれしてしまう。
因果律は、その首を禁じます。空間的な辺をフリップできないので、時空はちぎれない。 だから物質をいくら載せても、幾何は幾何のままでいられる。
第1回：測度が運動項の符号を決める。
第3回：測度が次元と物質の臨界指数を決める。
今回：測度がどれだけ物質を載せられるかを決める。
4つとも、作用は一文字も変えていません。動かしたのは 「空間的な辺をフリップしてはいけない」の一行だけです。
ここまでの測定は \(\beta=0.85\) に固定していました。でも壁の主張は臨界理論についてのものです。 厳密には、各 \(c\) で比熱のピーク（＝物質の臨界点 \(\beta_c\)）を先に探してから測るべきです。 やり直しました。
| \(c\) | 0（物質なし） | 0.5 | 1.0 | 1.5 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 6.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| DT の \(\beta_c\) | — | 0.85 | 0.80 | 0.85 | 0.90 | 0.85 | 0.80 | 0.80 |
| その \(\beta_c\) での \(\langle r\rangle\) | 25.0 | 25.2 | 31.6 | 31.5 | 36.6 | 55.4 | 54.6 | 72.7 |
臨界点で測ると、DT の応答が始まる場所が \(c\approx1\) に寄りました。 固定 \(\beta\) では 1.5〜2 に見えていたものが、\(c=0.5\to1.0\) のところで 25.2 → 31.6 と最初の段差を作ります。既知の壁の位置と、ずっと近い。
CDT 側については、そもそも心配が要りませんでした。\(c=4\) で \(\beta\) を振っても：
| \(\beta\) | 0.50 | 0.65 | 0.75 | 0.85 | 0.95 | 1.10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| CDT の \(\langle r\rangle\)（\(c=4\)） | 26.34 | 26.54 | 26.27 | 26.04 | 26.05 | 26.18 |
±1% で平ら。CDT の幾何は、温度のどこにいても物質に反応しません ── 臨界点かどうかは、そもそも関係なかった。
壁の向こうが本当に枝分かれポリマーなのかを、別の量でも確かめました。 スペクトル次元 \(d_s\)（第3回で使った、拡散の戻り確率から出る次元）です。 枝分かれポリマーの既知の値は \(4/3\approx1.33\)（\(d_H=2,\,d_w=3\) から）。
| N=16,200 | \(c=0\) | \(c=4\) |
|---|---|---|
| DT の \(d_s\) | 1.42 → 1.81（2 へ上昇中） | 1.16 → 1.03 |
| CDT の \(d_s\) | 1.48 → 1.71 | 1.43 → 1.72（動かない） |
DT だけ落ちて、CDT は動かない ── 壁は \(d_s\) でも見えます。 ところが値が合いません。1.03 は 4/3 ではない。\(d_H\) のほうは 1.78 で 2 に近いのに。
一様ランダム木を使いました（Prüfer 列から復元）。これは臨界 Galton–Watson 木を 頂点数で条件付けたものに等しく、\(d_H=2,\;d_s=4/3\) が既知です。同じ拡散コードで測ると：
| 測定値 | 真の値 | |
|---|---|---|
| ランダム木の \(d_H\) | 1.770 | 2 |
| ランダム木の \(d_s\)（N=32000, σ≤205） | 1.02〜1.25 | 4/3 |
| DT の \(c=4\)（N=16200, σ≤349） | \(d_H\)=1.78, \(d_s\)=1.03〜1.16 | —— |
ぴったり同じ値でした。私の測り方は、答えの分かっている枝分かれポリマーに対しても \(d_H=1.77\)、\(d_s\approx1.0\) と低く出る。つまり
DT の \(c=4\) 相は、ちゃんと枝分かれポリマーだった。
ずれていたのは相ではなく、私の物差しのほう。
大きい木で確かめると収束します ── \(N=400{,}000\)、\(\sigma=256\sim1024\) で \(d_s=1.345,\,1.445,\,1.325\)。4/3 です。 枝分かれポリマーは \(d_w=3\) で拡散が遅いので、\(d_s\) を出すには \(\sigma\) を桁で 大きく取らないといけなかった。
（第3回の「\(d_s\) は CDT と DT を区別できない」はこの影響を受けません。 あちらは \(N=124{,}287\)、\(\sigma\le709\) でプラトーが 2.04〜2.07 と上から来ており、 低くバイアスされる領域ではないからです。）
臨界点で測り直したことで「\(\beta\) を固定していた」という留保は消えました。 それでも残るものを書いておきます。
閾値の位置は精密には決まっていません。臨界点で測ると \(c\approx1\) 付近から 応答が始まりますが、\(N\approx2000\) という小さい系では壁がぼやけ、\(\beta_c\) の決定自体も 15点スキャンで ±0.05 の粗さです。主張しているのは 「壁がある／無い」という定性的な差までです。
それから、私の CDT のモンテカルロは退化した配位を作れないぶん、厳密な CDT アンサンブルより わずかに狭い ── これは上のブラケットで定量化してあります。
2次元ユークリッド重力は中心電荷 \(c>1\) で壊れます（KPZ の式が複素数になり、 幾何が枝分かれポリマーに潰れる）。これがユークリッド路線が物理的な物質量を扱えない直接の原因です。
確かめるために体積が変わる CDT を書きました。葉層を保つ頂点の挿入・削除で、 逆手の判定は「頂点の次数が 4」に落ちます。詳細釣合いも、両側とも半辺を一様に引く形にすれば グローバルな数え上げ無しで書けます。 4つの罠を踏み、不変量（トーラスなら \(V=N/2\)）の検算で全部見つけました。 \(\langle N\rangle\) が第2回の厳密解にブラケットされることも確認しています。
結果：同じ体積・同じ温度・同じ物質で、DT は \(c\approx1.5\sim2\) で折れて 2.5倍に伸び、 CDT は \(c=8\) まで動かない。
因果律は「細い首」を禁じます。時空がちぎれないから、物質は幾何を着替えさせられない。 ── 第1回から数えて4つ目の帰結が、またあの一行から出てきました。
印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面では c のツマミで、2つの宇宙の運命が分かれるのが見えます。