考える波 第 62 回 ／ 第 XX 部・トンネルするものたち
核融合も 超伝導も、同じ一本の積分だった
トンネルするものたち ──
桁数 \(=G/\ln 10\) で 全部 数える
\(G=\frac{2}{\hbar}\int\sqrt{2m(V-E)}\,dr\) ── この一行で、核融合・常温核融合・超伝導接合・STM・\(\alpha\) 崩壊が 全部 計算できます。違うのは \(V(r)\) の形だけ。
★★ 本シリーズの癖どおり、「何桁 抑えられるか」で 数えます ── STM は 5 桁、炉は 3 桁、常温の \(\mathrm{D_2}\) は 83 桁。
★★★ そして 「波だからコヒーレントに足せる」という 常温核融合の救済は、数を数えるだけで 否定できました ── 地球の海の重水素 全部でも 9 桁 足りない。
「超伝導も核融合もみんなトンネル効果じゃん」── そのとおりでした。
★ 第 XIX 部で「測定の限界は どこで切ったか で決まる」と分かりました。今回は切る場所ではなく障壁です。
★★ そして本回は、シリーズで初めて読者が動かせる計算機を置きます。
01たった一本の積分から、有名な公式が 3 つ 出る
| 障壁 | \(V\) | \(G\) | 効くつまみ | 現れる場所 |
|---|---|---|---|---|
| クーロン | \(kZ_1Z_2/r\) | \(\sqrt{E_G/E}\) | \(E^{-1/2}\) | 核融合・\(\alpha\) 崩壊 |
| 角形 | \(V_0\)（幅 \(d\)） | \(\frac{2d}{\hbar}\sqrt{2m(V_0-E)}\) | \(d\) に比例 | STM・ジョセフソン |
| 三角 | \(\phi-eFx\) | \(\frac{4\sqrt{2m}}{3\hbar eF}\phi^{3/2}\) | \(F^{-1}\) | 電界放出 |
★ 数値エンジンと解析解を突き合わせると、クーロンは \(10^{-7}\)、角形と三角は \(10^{-9}\) で一致しました。ガモフ因子・角形障壁・ファウラー＝ノルドハイム則が、同じ積分の三つの顔です。
★★ そしてガモフエネルギー \(E_G=2\mu c^2(\pi\alpha Z_1Z_2)^2\) は 質量と電荷だけで決まります ── 核物理の中身は一切 要りません。
| 反応 | \(\mu c^2\)［MeV］ | \(E_G\)［keV］ | 本稿の \(B_G\) | 文献 \(B_G\) |
|---|---|---|---|---|
| p + p | 469.14 | 493.1 | 22.2065 | 22.20 |
| d + d | 937.81 | 985.8 | 31.3969 | 31.3970 |
| d + t | 1124.65 | 1182.2 | 34.3826 | 34.3827 |
| d + ³He | 1124.56 | 4728.3 | 68.7626 | 68.7508 |
★★★ 4 桁 まで一致（文献は Bosch–Hale 1992）。核融合の「むずかしさ」は、この一つの数に全部 入っています。
02熱核融合 ── 動かしてみてください
熱核融合 計算機
02節の中心
★ 反応しているのは 平均の粒子ではありません。マクスウェル分布の尾（\(e^{-E/kT}\)）と、\(E\) が上がると急に増えるトンネル確率（\(e^{-\sqrt{E_G/E}}\)）の積が作るガモフピークだけが燃えています。
★★ 太陽の中心（1.35 keV ＝ 1570 万 K）でもピークは 6.1 keV ── 平均の 4.5 倍 の尾 だけ。
★★★ 反応率は文献と 1 % 以内で一致しました：\(\langle\sigma v\rangle_{dt}\) が 10 keV で \(1.089\times10^{-22}\)（文献 \(1.1\times10^{-22}\)）、20 keV で \(4.244\times10^{-22}\)（文献 \(4.3\times10^{-22}\)）m³/s。ピークは 66.5 keV（文献 約 64）。
03同じクーロン障壁で、\(\alpha\) 崩壊も出る
アルファ崩壊 計算機
03節の中心 ── 指数の中の \(E^{-1/2}\) が すべてを決める
★ ²³⁸U（4.27 MeV）と ²¹²Po（8.95 MeV）はエネルギーが 2.1 倍 違うだけ。
★★★ それで寿命は 24 桁 変わります ── 44.7 億年 と 0.3 マイクロ秒。
★★ 本稿の計算では ²³⁸U が \(\log_{10}(T/\mathrm{s})=17.16\)、実測 17.15。試行頻度も核半径も 雑な見積もりなのに当たるのは、指数が全部を支配しているから ── 第 53 回の「対数でしか動かない量」の、いちばん極端な例です。
04固体のトンネル ── STM と 超伝導接合
角形障壁 計算機
04節の中心 ── なぜ 原子が 見えるのか
★ \(\phi=4.5\) eV（金属の仕事関数）で探針を 1 Å 近づけると電流は 8.8 倍 ── ちょうど 0.94 桁。
★★★ STM の経験則「1 Å で 1 桁」は この式そのもので、原子 1 個 の凹凸が見える理由です。
★★ ジョセフソン接合（AlOx, \(\phi\approx2\) eV）は 1 nm で 6.3 桁。厚さを 0.5 nm 増やすと さらに 3 桁 落ちる ── 超伝導量子ビットの製造が オングストローム精度を要求されるのは これが理由です。
★ クーロン障壁が \(E^{-1/2}\) なのに対し、角形は \(d\) に比例 ── だから STM は「距離を買えば 桁が線形に買える」。第 54 回の「範囲の買い方」でいえば、いちばん良心的な相手です。
05★★★ 常温核融合 ── 何桁 足りないのかを 数える
電子が障壁を下げる効果は、実験では遮蔽エネルギー \(U_e\) ひとつで表されます（\(\sigma_{\text{遮蔽}}(E)=\sigma_{\text{裸}}(E+U_e)\)）。束縛した分子の中では \(E\approx0\) なので、実効的に \(E\to U_e\)。
★★ この模型は \(\mathrm{D_2}\) の 1 点だけを合わせると（\(U_e=36\) eV で Koonin–Nauenberg の \(3\times10^{-64}\,\mathrm{s^{-1}}\) に一致）、ミューオン分子の融合速度を自動的に \(10^{9.7}\,\mathrm{s^{-1}}\) と出します（文献 約 \(10^9\)）── 較正 1 点 で 73 桁 をまたいで 数倍 以内。だから使えます。
常温核融合 計算機 ── \(U_e\) を動かしてみてください
| 系 | \(U_e\)［eV］ | 出典 | \(G\) | \(\lambda\)［/s/対］ | 1 モルで［/s］ |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm{D_2}\) ガス標的（実測） | 25 | Raiola 2002 | 198.6 | \(10^{-78.3}\) | \(10^{-54.5}\) |
| 理論の断熱極限 | 27 | 教科書 | 191.1 | \(10^{-75.0}\) | \(10^{-51.3}\) |
| 重水素化 Ti | 36 | Raiola 2002 | 165.5 | \(10^{-63.9}\) | \(10^{-40.1}\) |
| 重水素化 Pd | 250 | Raiola 2002 | 62.8 | \(10^{-19.3}\) | \(10^{+4.5}\) |
| 重水素化 Ta | 309 | Kasagi 2002 | 56.5 | \(10^{-16.6}\) | \(10^{+7.2}\) |
| Au/Pd/PdO 多層 | 601 | Raiola 2002 | 40.5 | \(10^{-9.6}\) | \(10^{+14.1}\) |
05節の中心 ── ここが 本当に 面白いところ
★ 実験の上限は 1 対あたり \(10^{-24}\sim10^{-23}\,\mathrm{s^{-1}}\)（Jones 1989 ほか）。それに対応する \(U_e\) は 194 eV。
★★★ ところが重水素化 Pd で実測された \(U_e\) は 250 eV ── 上限を 超えています。
★★ この模型をそのまま信じれば「常温核融合は観測されるはず」という結論になります。実際には観測されない。
★★★ つまりこの計算の結論は「常温核融合は 無い」ではなく、「\(U_e\) を \(E\to0\) まで外挿する近似が 壊れている」 ── 第 55 回の言葉では、これは「仮定つきの値」を 仮定の外で 使っている状態です。
| どこが壊れているか | 中身 |
|---|---|
| ① 外挿 | \(U_e\) は \(E=5\sim20\) keV のビーム実験で測った量。「\(E\to E+U_e\)」は \(U_e\ll E\) のときだけ正しく、\(E\to0\) は保証の外 |
| ② 電子密度 | 250 eV を静的な遮蔽で作るには遮蔽長が 0.06 Å 程度 必要。金属の電子密度では桁が足りない |
| ③ 距離 | 金属中の d–d 距離は約 2.9 Å で、\(\mathrm{D_2}\) の 0.74 Å よりはるかに遠い。障壁は下がるどころか幅が広い |
06★★★「波として見ると 何か出るか」── 正直に 3 つ 数えた
先に前提を。核融合を波として扱うのは ガモフ 1928 年 がやったことそのもので、それ自体は新しくありません。トンネル効果＝古典的に入れない所へ波がしみ出すこと。その上で、波の言葉で数えられる形に落ちるものを 3 つ 出します。
(A) d+t が選ばれている理由は 障壁ではなく 共鳴
| 反応 | \(B_G\) | \(E_{cm}\) | ガモフ因子 | \(\sigma\)［mb］ | \(S(E)\)［keV·b］ |
|---|---|---|---|---|---|
| d + t | 34.38 | 50 keV | 7.73e−3 | 3970 | 25675 |
| d + d | 31.40 | 50 keV | 1.18e−2 | 33.2 | 141 |
★ \(B_G\) は d+t のほうが 2.99 大きい ── トンネルは d+t のほうが 1.53 倍 不利。
★★★ それなのに断面積は 120 倍。差は全部 \(S(E)\) の中（182 倍）。
★★ d+t の利点は 64 keV の ⁵He 共鳴 ── 核の側の「波の 定在状態」です。「炉が d+t を使うのは障壁が低いから」という説明は、正確には逆でした。
(B) ミューオンは「たまたま」足りているのか
質量比 \(x\) の粒子で電子を置き換えると、分子は \(1/x\) に縮み、\(U_e\) は \(x\) 倍、\(G\) は \(1/\sqrt{x}\) 倍。
| 質量比 \(x\) | 分子の大きさ | \(G\) | \(\lambda\)［/s］ | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.741 Å | 164.6 | \(10^{-63.5}\) | 電子（\(\mathrm{D_2}\)） |
| 30 | 0.0247 Å | 30.0 | \(10^{-0.7}\) | 遅すぎる |
| 85 | 0.0087 Å | 17.9 | \(10^{6.0}\) | ★ 閾値 |
| 195.7 | 0.0038 Å | 11.8 | \(10^{9.7}\) | ミューオン（\(\tau=2.2\,\mu\)s） |
| 273 | 0.0027 Å | 10.0 | \(10^{10.9}\) | パイ中間子（\(\tau=26\) ns） |
★★★ 触媒として使える閾値は 質量比 \(x\approx85\)。ミューオンは 195.7 で 2.3 倍 ── ぎりぎりではありません。
★★ ところが電子とミューオンの間に、荷電粒子は存在しません。閾値を超える荷電粒子はミューオンとパイ中間子だけで、パイは 26 ns で崩壊して触媒にならない。
★ つまりミューオン触媒核融合は「選択肢が 1 つしかない」 ── 質量と寿命の両方を満たす粒子が、自然界にミューオンしかないから。そしてその閾値を決めているのが \(x^{-1/2}\) というしみ出しの法則です。
(C) ★★★ 波なら コヒーレントに 足せるはず ── それで 埋まるか
これが本回でいちばん強く言えたことです。「常温核融合は波の集団効果で説明できる」という型の主張は、模型の中身を見ずに、数を数えるだけで判定できます。
| 値 | |
|---|---|
| 理論（\(U_e=27\) eV、\(\mathrm{D_2}\) の幾何） | \(10^{-75.0}\) /s/対 |
| 実験の上限（Jones 1989 ほか） | \(10^{-23.0}\) /s/対 |
| 埋めるべき差 | 52 桁 |
| 必要なコヒーレント数 \(N\)（\(N^2\) 超放射でも） | \(10^{52}\) |
| 1 モル | \(10^{23.8}\) ── 28 桁 足りない |
| 地球の海の重水素 全部 | \(\approx10^{43}\) ── 9 桁 足りない |
06節の中心
★★★ 考えうる最大のコヒーレンス（完全な超放射）を、地球の海の重水素すべてにかけても、まだ 9 桁 足りません。
★★ したがって「波だからコヒーレントに足せる」という救済は、どんな具体的な模型であれ成立しません ── 数を数えるだけで否定できます。
★ ただしこれは「常温核融合が無い」の証明ではありません。「コヒーレンス機構では説明できない」という限定的な主張で、残る道は 05 節の ①（遮蔽の外挿）だけです。
| つまみは 3 つ しかない | 必要な値 | 実際にあるもの | 判定 |
|---|---|---|---|
| ① 遮蔽 \(U_e\) を上げる | 194 eV | 理論 27 eV / 金属 実測 250 eV | ？ |
| ② 距離 \(R\) を縮める | 0.103 Å | \(\mathrm{D_2}\) 0.741 Å / PdD 約 2.9 Å | × |
| ③ エネルギー \(E\) を上げる | 194 eV ＝ 225 万 K | 常温 0.025 eV | × |
★★★ 残るのは ① だけ。だから常温核融合の議論は 必ず「\(U_e\) をどこまで信じるか」に収束します。
★★ そして ① は測れます：エネルギーを下げながら \(U_e\) の見かけの値が一定かどうかを見ればよい。一定なら模型が正しく、ずれるなら外挿が壊れている ── 第 55 回の手引きが要求する形の問いです。
07全部を 1 枚に ── 桁数 \(=G/\ln 10\)
| 現象 | 障壁 | \(G\) | 抑制の桁数 | 効かせ方 |
|---|---|---|---|---|
| d+t（20 keV・炉） | クーロン | 7.7 | 3.3 桁 | 温度 |
| STM（0.5 nm 真空） | 角形 4.5 eV | 10.9 | 4.7 桁 | 距離 |
| dd-μ 分子 | クーロン＋遮蔽 | 11.8 | 5.1 桁 | ミューオンの重さ |
| ジョセフソン（1 nm） | 角形 2 eV | 14.5 | 6.3 桁 | 酸化膜の厚さ |
| 電界放出（3 GV/m） | 三角 4.5 eV | 21.7 | 9.4 桁 | 電場 |
| d+d（太陽 1.35 keV） | クーロン | 27.0 | 11.7 桁 | 温度 |
| ²³⁸U の \(\alpha\) 崩壊 | クーロン | 88.0 | 38.2 桁 | ── 変えられない |
| \(\mathrm{D_2}\) 分子（常温） | クーロン＋遮蔽 | 191 | 83 桁 | ── 手がない |
07節の中心 ── この表が 全部
★★★ 上から下まで同じ一本の積分。違うのは \(V(r)\) の形だけ。
★★ 「使える」現象は 桁数が 10 前後、「使えない」現象は 80 桁。その間に つまみがあるかどうか ── それが全部の分かれ目です。
★ ミューオンは 実際に 桁数を 83 → 5 に落とします。だから 動く。（動くが、寿命 2.2 μs で 150 回 程度しか触媒できず採算に届かない ── これはトンネルではなく別の問題です。）
練習問題
- 04 節で「STM は距離を買えば桁が線形に買える」と書いた。第 53・54 回の言い方では何にあたるか。
答えを見る
いちばん良心的な「範囲の買い方」です。
★ 第 53 回：「範囲は対数でしか買えない」（観測時間 \(T\) を 10 倍 して 1 桁）。★★ ところが角形障壁は \(G\propto d\) なので、距離を線形に縮めれば 桁が線形に増えます ── 1 Å ごとに 1 桁。
★★★ クーロン障壁は \(G\propto E^{-1/2}\) なので、桁を 2 倍 買うにはエネルギーを 4 倍 に。こちらは第 53 回の「べきでしか買えない」側。
★★ つまり「何を買えば桁が来るか」は 障壁の形が決めています ── STM が原子分解能に届き、核融合が 1 億 K を要求するのは、同じ式の中の指数の違いだけ。 - 06 節 (C) で「数を数えるだけで否定できる」と書いた。これはなぜ強い論法なのか。
答えを見る
機構の中身に一切 依存しないからです。
★ 普通の反論は「その機構は成り立たない」と個別に潰していく形になり、新しい機構が出るたびにやり直しになります。
★★ ところがコヒーレンスによる増幅は、どんな機構でも上限が \(N\)（超放射でも \(N\) 倍）です。だから必要な \(N\) を数えて、手に入る \(N\) と比べれば それで終わる。
★★★ これは第 55 回の「仮定を数える」の一番強い形 ── 仮定の中身を問わず、仮定が使える上限だけで判定する。
★ ただし限界もはっきりしています：コヒーレンス以外の機構（遮蔽そのものが違う、など）には この論法は効きません。★★ 「何を否定して、何を否定していないか」を書かないと、この論法は乱用されます。 - 05 節で「実測 \(U_e\) が上限を超えている」と出た。これは矛盾か。
答えを見る
矛盾ではなく、外挿の破れです。
★ \(U_e\) は \(E=5\sim20\) keV で「\(\sigma\) の増え方」を測って出した量。★★ そこでは \(U_e/E\sim0.02\) で、\(E\to E+U_e\) というずらしは 1 次の近似として正しい。
★★★ ところが \(E\to0\) では \(U_e/E\to\infty\) ── 1 次の近似が使える範囲を、5 桁 ぶん 外れています。
★ 第 57 回の言い方では：これは「端」です。展開の最低次だけを持って、その展開が効く範囲の外へ出た。
★★ 第 60 回の言い方では：「どこで切ったか」を言わずに値を使った ── \(U_e\) は「\(E=5\sim20\) keV で測った \(U_e\)」であって、\(U_e\) という定数ではありません。
まとめ 同じ一本の積分で、83 桁 を 数える
「超伝導も核融合もみんなトンネル効果じゃん」── そのとおりでした。
★★★ \(G=\dfrac{2}{\hbar}\displaystyle\int\sqrt{2m(V-E)}\,dr\)、\(\;\)桁数 \(=G/\ln 10\)。
違うのは \(V(r)\) の形だけ。
★ 検算 18 件 すべて合格：\(B_G\) が文献と 4 桁一致、\(\langle\sigma v\rangle_{dt}\) が 1 % 以内、²³⁸U の \(\alpha\) 崩壊が \(\log_{10}(T/\mathrm{s})=17.16\) 対 実測 17.15、STM が「1 Å で 0.94 桁」、dd-μ が \(5.2\times10^9\) 対 文献 \(1.5\times10^9\)。
★★ 常温核融合は \(U_e\) ひとつの問題に帰着しました。\(\mathrm{D_2}\) の 1 点較正でミューオン分子まで 73 桁 を再現できる模型で数えると、実験上限に対応する \(U_e\) は 194 eV。ところが重水素化 Pd の実測は 250 eV。★★★ だから結論は「常温核融合は無い」ではなく、「\(U_e\) を \(E\to0\) へ外挿する近似が壊れている」 ── 測れる形の問いです。
★★★ そして波として見た収穫が 3 つ。(A) d+t の利点は障壁ではなく ⁵He 共鳴（\(B_G\) はむしろ 1.53 倍 不利で、差は全部 \(S(E)\)）。(B) 触媒の閾値は質量比 85 で、それを超える荷電粒子はミューオンとパイ中間子だけ、パイは 26 ns で崩壊 ── だから選択肢が 1 つしかない。(C) コヒーレンス機構は、地球の海の重水素すべてを完全な超放射にしても 9 桁 足りない。
★ (C) が本回いちばん強い言明です ── 機構の中身を一切 見ずに、数を数えるだけで、ある型の説明を まとめて否定できました。★★ ただし否定できたのは「コヒーレンス機構」だけで、「常温核融合」ではありません。そこを書き分けないと、この論法は乱用されます（練習問題 2）。
★ そして 06 節 (B) で、それが「自然界に 1 つしかない選択肢」だと分かりました。
★★ 次回はこの「1 つしかない」を掘ります ── 触媒とは何か。トンネルを助けるとは何をすることか。★ 第 45 回のボゴリューボフ、第 58 回の窓の裾、そして本回のミューオン ── 「外から手を入れて指数を変える」という同じ操作かどうかを調べます。
この文書は「考える波」シリーズ第 62 回、第 XX 部の開始です。計算は kenshou/tunnel.js で行っています（依存ライブラリ 0、乱数なし、検算 18 件）。本回は シリーズで初めて、読者が動かせる計算機を置きました（02・03・04・05 節のスライダー）。表示される値は すべて同じスクリプトと同じ式から その場で計算しています。本稿の発見ではないもの：WKB 近似とガモフ因子（Gamow 1928）、ガモフピーク、ファウラー＝ノルドハイム則、ガイガー＝ヌッタル則、遮蔽エネルギー \(U_e\) の枠組み、ミューオン触媒核融合、Koonin–Nauenberg の \(\mathrm{D_2}\) 融合速度 \(3\times10^{-64}\,\mathrm{s^{-1}}\)、d+t の ⁵He 共鳴 ── いずれも標準的な既知の結果です。本稿がしたのは、それらを \(G/\ln10\)（＝抑制の桁数）という一つの物差しに載せ直し、① \(\mathrm{D_2}\) の 1 点較正でミューオン分子まで 73 桁 を再現できることを確かめ、② 実験上限に対応する \(U_e\) を 194 eV と数え、③ コヒーレンス機構に必要な \(N\) を \(10^{52}\) と数えて地球の重水素全量でも 9 桁 不足することを示したことです。模型の限界：05・06 節の融合速度は \(\lambda=A_{dd}|\psi(0)|^2\)、\(|\psi(0)|^2\approx e^{-G}/V\) という粗い見積もりで、絶対値には数倍の不定性があります（\(\mathrm{D_2}\) の 1 点で較正）。桁数の議論はこの不定性に影響されませんが、「194 eV」のような境目の値は模型依存です。06 節 (B) の閾値 85 は \(\lambda>10^6\,\mathrm{s^{-1}}\) という便宜的な基準での値で、基準を変えれば動きます。03 節の \(\alpha\) 崩壊は試行頻度を \(v/2r_n\)、核半径を \(1.2(A^{1/3}+4^{1/3})\) fm とした粗い見積もりです。本稿も 合成・解析のみで、実測データには当てていません（すべて文献値と解析式からの計算です）。主な参照：Bosch & Hale, Nucl. Fusion 32, 611 (1992)／NRL Plasma Formulary／Kasagi et al., Eur. Phys. J. A (2002)／Raiola et al. (2002)／Koonin & Nauenberg, Nature 339, 690 (1989)／Jones et al., Nature 338, 737 (1989)／CODATA 2018。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。