考える波 第 56 回 ／ 第 XIX 部・道具を持って 物理へ戻る
いちばん桁の長い所へ、新しい道具で
\(1/f\) に戻る ──
「多数の時定数」には値段がついていた
第 2 回で「\(1/f\) は多数の時定数の重ね合わせ」と書きました。★ その「多数」は、いくつなのか。
★ 測ると ── \(1/f\) の桁数 ＝ \(\tau\) の桁数 \(-\ 2.2\)（傾き 0.9916、切片 \(-2.17\)）。端で必ず 2.2 桁 失います。
★★ そして「\(1/f\) に下端は無い」は、測れる主張ではありませんでした ── 折れ曲がりを見るには観測時間が \(\tau_{\max}\) を超える必要があるから（第 5 回）。
第 XVIII 部で「どこまで言えるか」の道具が揃いました。
★ その道具を持って、いちばん桁の長い所 ── 第 2 回の \(1/f\) ── へ戻ります。
01第 2 回の作り方を、そのまま使う
| \(\omega\) | 局所的な \(\beta\) | \(|\beta-1|\) |
|---|---|---|
| \(10^{-5}\) | 0.931017 | 6.9e−2 |
| \(10^{-3}\) | 0.999349 | 6.5e−4 |
| 1 | 1.000000 | ★ 2.7e−15 |
| \(10^{3}\) | 1.000651 | 6.5e−4 |
| \(10^{5}\) | 1.068983 | 6.9e−2 |
★ \(\tau\) が 12 桁（\(10^{-6}\sim10^{6}\)）にわたるとき、真ん中では \(\beta=1\) にきれいに乗り、端で外れます。
02★★★ 端でどれだけ失うか ── 「\(\tau\) の桁数 \(-\ c\)」
\(\tau\) が \(T\) 桁 にわたるとき、\(\beta=1\) が \(\pm0.05\) に入るのは何桁 か。
| \(\tau\) の桁数 \(T\) | ★ \(1/f\) の桁数 | ★ 失った分 |
|---|---|---|
| 3 | 0.862 | 2.138 |
| 4 | 1.761 | 2.239 |
| 6 | 3.748 | 2.252 |
| 8 | 5.745 | 2.255 |
| 10 | 7.746 | 2.254 |
| 12 | 9.751 | 2.249 |
02節の中心 ── ★★★ 本回の要
\(1/f\) の桁数 \(=0.9916\times T-2.17\)
── 傾きはほぼ 1、切片は \(-2.2\)。
★ つまり「\(\tau\) の桁数から 約 2.2 桁 引いたぶん」が \(1/f\) になります。端の 2.2 桁 は、どれだけ \(T\) を伸ばしても必ず失われます。
★★ 第 2 回は「多数の時定数の重ね合わせ」と書きましたが、その「多数」には値段がついていました ── 見たい桁数 ＋ 2.2 桁 の \(\tau\) が要る。
★ たとえば「\(1/f\) を 6 桁 見た」と報告するには、\(\tau\) が少なくとも 8.2 桁にわたっていなければなりません。
03第 27 回の「\(\beta\) を決める比」を測り直す
| \(\gamma\) | 予言 \(\beta=2-\gamma\) | ★ 実測 \(\beta\)（中央で） | 差 |
|---|---|---|---|
| 0.6 | 1.400000 | 1.399870 | 1.3e−4 |
| 0.8 | 1.200000 | 1.199990 | 9.7e−6 |
| 1.0 | 1.000000 | 1.000000 | 2.7e−15 |
| 1.2 | 0.800000 | 0.800010 | 9.7e−6 |
| 1.4 | 0.600000 | 0.600130 | 1.3e−4 |
03節の中心
★★ \(\beta=2-\gamma\) が数値でも確認できました。
★ 第 27 回の言い方に直すと ── \(D(E)\) が「\(\tau\) 1 桁 あたりどれだけ変わるか」が \(\gamma\) を決め、それがそのまま \(\beta\) を決めます。
★★★ そしてこれは反証可能です ── \(D(E)\)（活性化エネルギーの分布）を独立に測れば、\(\beta\) は予言できる。
04★ 「\(1/f\) はどこまでも続く」は、測れる主張か
低域の折れ曲がりは \(\tau_{\max}\) のところに出ます。それを見るには、観測時間が \(\tau_{\max}\) より長くなければなりません。
| 観測時間 | 見える下端［Hz］ | ★ 見える桁数（上端 1 kHz として） |
|---|---|---|
| 1 秒 | 1.0e+0 | 3.00 |
| 1 時間 | 2.8e−4 | 6.56 |
| 1 日 | 1.2e−5 | 7.94 |
| 1 年 | 3.2e−8 | 10.50 |
| 10 年 | 3.2e−9 | ★ 11.50 |
04節の中心
★ 10 年 測っても 11.5 桁。実験で報告されるのは、たいてい 6 桁 前後です。
★★★ つまり「\(1/f\) に下端は無い」という主張は、「観測時間より長い \(\tau\) は見えない」と言っているだけかもしれません。
★★ 第 55 回の言葉では ── これは「測れない」であって「無い」ではない。第 5 回の「宇宙年齢より長い周期は定数と区別がつかない」と、まったく同じ形です。
★ そして 02 節と合わせると ── 6 桁 の \(1/f\) を見たなら、\(\tau\) は 8.2 桁 以上。それは「見えている下端より 2 桁 以上 長い \(\tau\) がある」ということでもあります。
05では、何を測れば決着するか
| やること | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| ★ \(D(E)\) を独立に測る | ◎ 決着する | ★ \(\beta\) が予言できる（03 節） |
| 観測時間を伸ばす | △ 対数でしか伸びない | 第 53 回。10 倍 で 1 桁 |
| \(\tau_{\max}\) を別に見積もる | ◎ 有望 | 活性化エネルギーの上限から |
| ★ 温度を変える | ◎ 有望 | ★ \(\tau=\tau_0e^{E/kT}\) なので全体がずれる |
| 試料を小さくする | ◎ 有望 | ★ 欠陥の数が減り、離散的になるはず |
| \(E\)［eV］ | \(T=100\)K | \(T=200\)K | \(T=300\)K | \(T=400\)K |
|---|---|---|---|---|
| 0.3 | 1.3e+15 | 3.6e+7 | 1.1e+5 | 6.0e+3 |
| 0.5 | 1.6e+25 | 4.0e+12 | 2.5e+8 | 2.0e+6 |
| 1.0 | 2.5e+50 | 1.6e+25 | ★ 6.3e+16 | 4.0e+12 |
05節の中心（表は \(\tau/\tau_0\)）
★★★ 300 K で \(E=1.0\) eV の \(\tau\) は \(\tau_0\) の \(6\times10^{16}\) 倍 ── \(\tau_0=10^{-13}\) s なら \(\tau\approx6\times10^3\) s。観測できる範囲です。
★ 温度を下げるとこの \(\tau\) は急に長くなり、\(1/f\) の下端が下がるはず。
★★ そこが動くかどうかが、第 2 回の「活性化の重ね合わせ」のいちばん直接的な検証になります ── 観測時間を伸ばすより、温度を変えるほうが速い。第 53 回の「範囲は時間では買えない」がここでも効いています。
06波として言えること・言えないこと
| 項目 | 判定 | 根拠 |
|---|---|---|
| \(\beta=2-\gamma\) | ◎ 数値 | \(10^{-6}\) の精度で一致 |
| ★ \(1/f\) の桁数 \(=T-2.2\) | ◎ 数値 | ★ \(T=3\sim12\) で切片が一定 |
| 第 27 回の比を再確認 | ◎ 数値 | \(D(E)\) が \(\beta\) を決める |
| ★ 「下端が無い」は測れない主張 | ◎ 論理 | ★ 観測時間が \(\tau_{\max}\) を超えないと見えない |
| 10 年 測っても 11.5 桁 | ◎ 数値 | 実験の報告はたいてい 6 桁 前後 |
| ★ 温度を変えるのがいちばん強い | ○ 提案 | ★ \(\tau=\tau_0e^{E/kT}\) |
| ★ 実データでの検証 | × 未着手 | ★ 本稿も合成データのみ |
練習問題
- 02 節の「2.2 桁」はどこから来るのか。
答えを見る
ローレンツ関数の裾の広がりです。1 個のローレンツ \(\tau/(1+\omega^2\tau^2)\) は、\(\omega\tau=1\) の前後 1 桁 ほどかけて傾きが 0 から \(-2\) へ変わります（第 48 回 03 節で「各 5.36 桁」と測ったのと同じ構造）。
★ 重ね合わせの端では、その「まだ曲がりきっていない」ローレンツが効いてしまいます。
★★ つまり 2.2 桁 は「両端で 1.1 桁 ずつ」 ── 1 個のローレンツの曲がりの幅とほぼ同じです。
★ 判定基準を緩めれば（\(\pm0.1\) にすれば）この 2.2 は小さくなります ── 本稿の 2.2 は \(\pm0.05\) という基準での値です。★ 第 55 回のとおり、基準も一緒に書くべき数字でした。 - 04 節で「下端が無いは測れない」と書いた。では第 2 回の主張は無意味だったのか。
答えを見る
いいえ ── 第 2 回の主張は「下端が無い」ではありません。第 2 回が言ったのは「\(1/f\) は単一の時定数では作れず、多数の重ね合わせが要る」で、それは観測できた桁数の範囲で言えています（02 節：6 桁 見えたなら \(\tau\) は 8.2 桁）。
★ 測れないのは「その先も続くか」だけ ── 主張の本体は無事です。
★★ 第 49 回の手引きの言い方では ── 「\(1/f\) が \(N\) 桁 続く」と書けばよく、「どこまでも続く」と書いてはいけない。
★ 本シリーズも第 2 回で「どこまでも」とは書いていませんが、桁数を明記してもいませんでした ── そこが今回の改善点です。 - 05 節で「温度を変えるのがいちばん強い」と出た。第 54 回のどの買い方にあたるか。
答えを見る
③「系そのものを変える」です。温度を変えると \(\tau=\tau_0e^{E/kT}\) が全体としてずれるので、同じ試料・同じ装置のまま、見える \(\tau\) の窓が動きます。
★ しかも指数的に動く ── \(E=1.0\) eV なら 300 K → 200 K で \(\tau\) が \(6\times10^{16}\) → \(1.6\times10^{25}\)、8 桁 以上 動きます。
★★ 第 54 回で「\(Re\) を上げるのは \(\log Re\) でしか効かない」と書きましたが、ここは指数なので効きが桁違いです。
★★★ つまり「活性化」という機構そのものが、範囲を買う手段を与えている ── 第 28 回の「足し算 → 掛け算」が、測定の側でも効いています。
まとめ 「多数」には値段がついていた
第 XVIII 部で揃えた道具を持って、第 2 回の \(1/f\) に戻りました。
まず\(\beta=2-\gamma\) を \(10^{-6}\) の精度で確認（\(g(\tau)\propto\tau^{-\gamma}\)）。第 27 回の「\(D(E)\) が \(\beta\) を決める」は健在で、\(D(E)\) を独立に測れば \(\beta\) は予言できます ── 反証可能な形のままです。
★★★ 本回の要 ──
\(1/f\) の桁数 \(=0.9916\times(\tau\) の桁数\()-2.17\)。
端で必ず 2.2 桁 失う。
★ 第 2 回の「多数の時定数の重ね合わせ」には、値段がついていました ── 見たい桁数 ＋ 2.2 桁 の \(\tau\) が要る。「\(1/f\) を 6 桁 見た」と言うには、\(\tau\) が 8.2 桁 以上 にわたっていなければなりません。
★★ そして「\(1/f\) に下端は無い」は、測れる主張ではありませんでした ── 折れ曲がりを見るには観測時間が \(\tau_{\max}\) を超える必要があり、10 年 測っても 11.5 桁 です。第 5 回の「宇宙年齢より長い周期は定数と区別がつかない」と同じ形で、第 55 回の言葉では「測れない」であって「無い」ではありません。
★ ただし第 2 回の主張の本体は無事です ── 「単一の時定数では作れない」は、観測できた桁数の範囲で言えています。★ 直すべきは書き方だけ：「\(N\) 桁 続く」と書き、「どこまでも」とは書かない。
★★ 決着させる手として、温度を変えるのがいちばん強い ── \(\tau=\tau_0e^{E/kT}\) なので、300 K → 200 K で \(\tau\) が 8 桁 以上 動きます。第 54 回の「系そのものを変える」にあたり、しかも指数的に効く ── 観測時間を伸ばすより、はるかに速い。
★ 次回はその「端」を、もっと一般に見ます ── 重ね合わせの端では、必ず何が起きるのか。
★★ 第 16 回の分散、第 44 回のバンド端、第 51 回の窓の端 ── 「端」はこのシリーズに何度も出てきました。★ それらが同じものかどうかを調べます。
この文書は「考える波」シリーズ第 56 回です。計算は kenshou/ichif.js で行っています。本回の数値について：重ね合わせ積分の数値計算、局所的な \(\beta\) の測定（第 51 回の窓当てはめ）、\(1/f\) の桁数と \(\tau\) の桁数の関係、観測時間と見える桁数、活性化による \(\tau/\tau_0\) は、すべて本稿で計算したものです。デバイ緩和の重ね合わせが \(1/f\) を作ること、\(\beta=2-\gamma\)、および \(\tau=\tau_0e^{E/kT}\) の活性化型の時定数 ── これらはいずれもよく知られた結果で本稿の発見ではありません ── 本稿がしたのは、第 51〜55 回の道具で「何桁 と言えるか」を測り、\(1/f\) の桁数と \(\tau\) の桁数の関係を数字にしたことです。02 節の「2.2 桁」は \(\pm0.05\) という判定基準と、窓幅 0.2 桁 での測定に依存します。基準を \(\pm0.1\) にすればこの値は小さくなります（第 55 回のとおり、基準も一緒に書くべき数字です）。04 節の「実験の報告はたいてい 6 桁 前後」は代表的な状況を述べたもので、特定の文献の値ではありません。05 節の \(\tau_0=10^{-13}\) s は典型的な格子振動の周期からの見積もりです。本稿も合成データのみで、実際の測定データには当てていません。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。