考える波 第 46 回 ／ 第 XVI 部・地平線を波として見る
周波数を、指数的に下げる装置
ブラックホールの蒸発 ──
情報は消えたのではなく、1.5 ミリ秒で測れない所へ行った
ホーキング温度は、第 45 回のウンルー温度で \(a\) を表面重力 \(\kappa\) に置き換えただけです。
★ エントロピーは面積 ÷ プランク面積（太陽質量で \(1.05\times10^{77}\)）── 同じ質量の星より 19 桁 大きい。
★★ そして地平線の近くでは \(\omega(t)=\omega_0e^{-\kappa t/c}\) ── 太陽質量なら 1.5 ミリ秒 で、可視光が「宇宙年齢かけても 1 周期 測れない」周波数まで落ちます。
第 45 回で「地平線の向こうを捨てると熱が出る」ところまで来ました。
★ その地平線が、今度は自分で蒸発します。そして「落ちた情報はどこへ行ったのか」という問いが立ちます。
01ホーキング温度は、ウンルー温度と同じ式
| 質量 | \(r_s\)［m］ | \(\kappa\)［m/s²］ | ★ \(T\)［K］ |
|---|---|---|---|
| 太陽質量 | 2.9540e+3 | 1.5212e+13 | 6.1687e−8 |
| \(10^6\) 太陽質量 | 2.9540e+9 | 1.5212e+7 | 6.1687e−14 |
| 地球質量 | 8.8701e−3 | 5.0662e+18 | 2.0544e−2 |
| \(10^{12}\) kg | 1.4852e−15 | 3.0256e+31 | ★ 1.2269e+11 |
01節の中心
★ \(a\) を \(\kappa\) に置き換えるだけ ── 第 45 回で「熱の正体は対数時間」と分かっているので、ここで新しく言うことはありません。地平線があれば、その近くで時間は対数になる。
★★ \(T=2.725\) K（宇宙背景放射）と釣り合う質量は \(4.50\times10^{22}\) kg（月の 0.61 倍）── これより重いものは、蒸発するどころか背景放射を吸って成長します。
★ つまり現実の星のブラックホールは、宇宙が十分に冷えるまで蒸発を始めません。
02エントロピーは面積 ── 第 39 回のホログラフィーが戻ってくる
| 質量 | 面積 \(A\)［m²］ | \(A/(4\ell_p^2)\) | \(4\pi GM^2/(\hbar c)\) |
|---|---|---|---|
| 太陽質量 | 1.0966e+8 | 1.0494e+77 | 1.0494e+77 |
| 地球質量 | 9.8871e−4 | 9.4621e+65 | 9.4621e+65 |
| \(10^{12}\) kg | 2.7720e−29 | 2.6529e+40 | 2.6529e+40 |
02節の中心
★ 「面積 ÷ プランク面積」が、そのまま自由度の数です。第 39 回で \((L/\varepsilon)^{d-1}\) と数えたのと同じ形 ── 地平線が、その \(\varepsilon\) を決めています。
★★ そして同じ質量でも、ブラックホールにすると エントロピーが 19 桁 増えます（太陽の熱的エントロピー \(\sim10^{58}\) に対し \(1.05\times10^{77}\)）。
★ 「重力が最も乱雑な配置」── これは第 21 回の情報の話にそのまま効きます：物を捨てるいちばん効率の良い場所は、重力です。
03蒸発 ── 熱容量が負なので、終わりが加速する
| 質量 | \(t_{\rm evap}\)［年］ | 宇宙年齢との比 |
|---|---|---|
| 太陽質量 | 2.0972e+67 | 1.52e+57 |
| 地球質量 | 5.6778e+50 | 4.11e+40 |
| \(10^{11}\) kg | 2.6655e+9 | 0.193 |
| \(10^{8}\) kg | 2.6655 | 1.93e−10 |
★ 宇宙年齢でちょうど蒸発しきる質量は \(1.73\times10^{11}\) kg（そのとき \(r_s=2.6\times10^{-16}\) m、\(T=7.1\times10^{11}\) K）── 宇宙初期にこの質量のものができていれば、いま最後の閃光が見えるはずです。
| 残り時間 | 残る質量［kg］ | \(T\)［K］ | \(r_s\)［m］ |
|---|---|---|---|
| 半分 | 7.9370e+11 | 1.5458e+11 | 1.18e−15 |
| \(10^7\) s | 4.9171e+7 | 2.4952e+15 | 7.30e−20 |
| 1 s | 2.2823e+5 | 5.3757e+17 | 3.39e−22 |
03節の中心
★ 最後の 1 秒で \(2.05\times10^{22}\) J ── 広島型原爆 \(3.3\times10^8\) 個ぶん。
★★ 熱容量が負だから（軽くなるほど熱くなる）、放っておくと必ず暴走して終わります。
★ ふつうの物体は「冷えれば止まる」のに、ここは逆 ── 本シリーズで「負の \(\mathrm{Re}\,Z\)」（第 17・18 回）と呼んだものに近い状況です。ただし外から駆動されているわけではなく、重力そのものの性質。
04ページ曲線 ── 上がってから、下がる
| \(t/T\) | \(M/M_0\) | 出したぶん | 残っているぶん | ★ \(S_{\rm rad}\) |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 0.965489 | 0.067830 | 0.932170 | 0.067830 |
| 0.5 | 0.793701 | 0.370039 | 0.629961 | 0.370039 |
| 0.6464 | 0.707138 | 0.499956 | 0.500044 | ★ 0.499956（頂点） |
| 0.8 | 0.584804 | 0.658005 | 0.341995 | 0.341995 |
| 1.0 | 0 | 1.000000 | 0 | ★ 0 |
04節の中心
★ ページ時刻は \(S_{\rm BH}(M)=S_{\rm BH}(M_0)/2\)、つまり \(M=M_0/\sqrt2\)。時刻にすると \(t/T=1-2^{-3/2}=0.646447\) ── 寿命の 64.6 %。
★★ そこまでは上がり、そこから下がります。最後に 0 に戻れば「情報は出た」ことになる。
★ ただしこれは模型です。「蒸発が全体としてユニタリである」と仮定した結果、こうなるはずだ、という形の議論で、本稿はそれを導いてはいません。
05★★ 情報はどこへ行ったか ── 赤方偏移の話として読む
| 質量 | \(\kappa/c\)［1/s］ | \(e\) 倍の時間［s］ | ★ 74.5 回ぶん［s］ |
|---|---|---|---|
| 太陽質量 | 5.0743e+4 | 1.9707e−5 | ★ 1.4662e−3 |
| \(10^6\) 太陽質量 | 5.0743e−2 | 1.9707e+1 | 1.4662e+3 |
| 地球質量 | 1.6899e+10 | 5.9175e−11 | 4.4026e−9 |
05節の中心 ── ★★★ 本回の要
可視光（\(5\times10^{14}\) Hz）から、宇宙年齢の逆数（\(2.3\times10^{-18}\) Hz）まで下がるのに必要な \(e\) 倍の回数は 74.5。
★★★ 太陽質量なら、それはたったの \(1.47\times10^{-3}\) 秒です。
1.5 ミリ秒で、可視光の情報は
「宇宙年齢かけても 1 周期 観測できない」周波数まで落ちる。
★ 第 5 回で「宇宙年齢より長い周期は定数と区別がつかない」と書きました。ここで見ているのは、まさにその領域へ情報が押し流される過程です。
★★ 「情報が消えた」のではなく「測れない帯域へ移された」 ── 波の言葉では、そう読めます。
06「毛が三本」を、フィルタとして読む
| 落ちる前 | 落ちた後 | 波の言葉 |
|---|---|---|
| 本 1 冊（\(10^7\) ビット） | 質量が増えただけ | ★ 極端な低域通過 |
| 同じ質量の石 | 区別がつかない | ★ 出力が同じ |
| 電荷を持つもの | 電荷も増える | 通る成分は 3 つ |
06節の中心
★ 「無毛」は「情報が消えた」ではなく「外の観測者の帯域では 3 成分しか残らない」という意味です。
★★ 05 節のとおり、残りは指数的に低い周波数へ移っただけ。ただしそれが「原理的に取り出せる」かどうかは、本稿では決着しません。
★ 「測れない」と「無い」は違う ── 第 38 回の練習問題でも同じ注意を書きました。ここでも、言えるのは測定の限界までです。
07未解決のまま残ること
| 問い | 判定 | 根拠 |
|---|---|---|
| ホーキング温度そのもの | ◎ 式は一行 | 第 45 回のウンルーと同じ |
| エントロピーが面積なのはなぜか | △ 数えただけ | 第 39 回と同じ「翻訳」 |
| ★ ページ曲線が実際に下がるか | △ 模型の仮定 | ★ ユニタリ性を仮定した結果 |
| ★ 情報が取り出せるか | × 未解決 | ★ 赤方偏移＝取り出せない、ではない |
| ★ 蒸発が終わった後 何が残るか | × 扱えない | ★ 量子重力の問題（第 38 回） |
07節の中心 ── ★ 正直に
本回も「翻訳」です。情報パラドックスは解いていません。
★ 言えたのは ── 「消えた」ではなく「測れない所へ行った」まで。そしてその「どれくらい速く」が 1.5 ミリ秒という数字になった、という点だけが本稿の寄与です。
★★ 第 43 回で決めたとおり、整理を発見と呼びません。
練習問題
- 05 節の「1.5 ミリ秒」は、情報が失われた証拠か。
答えを見る
いいえ ── 測定の難しさの見積もりです。指数的に赤くなっても、振幅はゼロになりません。数学的には情報はそこにあります。
★ 問題は「1 周期ぶん観測するのに宇宙年齢より長くかかる」ことで、これは実行不可能であって不可能ではありません。
★★ ただし現実には、指数的に小さくなった信号はいずれ1 光子以下になります ── そこから先は「測れない」が「無い」に限りなく近づく。★ 第 9 回の帯域幅定理と第 21 回の情報の限界が、ここで効いてきます。 - 02 節でブラックホールのエントロピーが星の 19 桁 上だった。これは何を意味するか。
答えを見る
「重力が、最も乱雑になれる自由度を持っている」ということです。同じ質量・同じ体積でも、重力的に潰れた状態のほうが圧倒的に場合の数が多い。
★ 熱力学第二法則から見ると、物質は放っておけばブラックホールになりたがる── 実際そうなります（重力は唯一「集まるほど乱雑になる」力）。
★★ そして \(S\propto M^2\) なので、二つを合体させると \(S\) は 2 倍ではなく 4 倍になります ── 合体は必ずエントロピーを増やす。★ 第 21 回で「情報には値段がある」と書きましたが、その値段がいちばん安い捨て場所が地平線です。 - 01 節で「\(4.5\times10^{22}\) kg より重いブラックホールは成長する」と出た。これは今の宇宙でどういう意味を持つか。
答えを見る
星起源のブラックホール（太陽質量以上）は、いま蒸発していないということです。温度 \(6\times10^{-8}\) K に対し、周りは 2.725 K ── 吸うほうが圧倒的に多い。
★ 蒸発が始まるのは、宇宙が \(6\times10^{-8}\) K まで冷えてからで、それは膨張により \(\sim10^{8}\) 倍 の赤方偏移が進んだ後 ── およそ \(10^{17}\) 年 以上 先。
★★ 03 節の \(10^{67}\) 年 という寿命に比べれば誤差ですが、「今は蒸発していない」という事実は重要です ── 観測で探すべきは、宇宙初期にできた \(\sim10^{11}\) kg の小さいものだけ。
まとめ 地平線は、周波数を指数的に下げる装置だった
ホーキング温度は、第 45 回のウンルー温度で \(a\) を表面重力 \(\kappa=c^4/4GM\) に置き換えただけです ── 地平線があれば、その近くで時間は対数になる。それだけ。★ \(T=2.725\) K と釣り合う質量は \(4.50\times10^{22}\) kg（月の 0.61 倍）で、これより重いものは今も成長しています。
エントロピーは面積 ÷ プランク面積（太陽質量で \(1.05\times10^{77}\)、二通りの数え方が一致）── 第 39 回のホログラフィーが、地平線という具体的な \(\varepsilon\) を得て戻ってきました。★ 同じ質量の星より 19 桁 大きい ── 重力が最も乱雑な配置です。
蒸発時間は \(\propto M^3\) で、宇宙年齢でちょうど蒸発しきるのは \(1.73\times10^{11}\) kg。熱容量が負なので終わりは加速し、最後の 1 秒で \(2.05\times10^{22}\) J（原爆 \(3.3\times10^8\) 個ぶん）。
ページ曲線の頂点は \(M=M_0/\sqrt2\)、時刻にすると 寿命の 64.6 %（\(1-2^{-3/2}\)）── ★ ただしこれはユニタリ性を仮定した模型で、本稿が導いたものではありません。
★★★ 本回の要 ── 地平線の近くでは \(\omega(t)=\omega_0e^{-\kappa t/c}\)。
可視光から「宇宙年齢の逆数」まで落ちるのに \(e\) 倍 74.5 回、
太陽質量なら わずか 1.5 ミリ秒。
★ 第 5 回で「宇宙年齢より長い周期は定数と区別がつかない」と書きました。地平線は、情報をその領域へ 1.5 ミリ秒で押し流す装置でした。「無毛」も同じことの言い換えで ── 消えたのではなく、外の観測者の帯域に 3 成分しか残らない。
★ 正直に：本回も翻訳です。情報パラドックスは解いていませんし、「測れない」と「無い」の間は埋めていません。★ 寄与といえるのは「どれくらい速く測れなくなるか」を 1.5 ミリ秒という数字にしたことだけです。
★ 次回は、波が自分で自分の媒質になる場合です ── 宇宙そのものを波として見ます。
★★ インフレーションは第 44 回の時間変調そのもの（スケール因子が \(\varepsilon(t)\) の役をする）で、ゆらぎのスペクトルが \(n_s\approx0.965\) という「ほとんど 1 だが 1 ではない」指数になる理由を、階数の言葉で読みます。
この文書は「考える波」シリーズ第 46 回です。計算は kenshou/bh.js で行っています。本回の数値について：ホーキング温度、シュヴァルツシルト半径、表面重力、エントロピーの二通りの計算、蒸発時間、終末期の質量・温度、ページ時刻、赤方偏移の \(e\) 倍時間は、すべて本稿で計算したものです。ホーキング放射と \(T=\hbar\kappa/2\pi ck_B\)、ベケンシュタイン＝ホーキングのエントロピー \(S=A/4\ell_p^2\)、蒸発時間 \(\propto M^3\)、負の熱容量、無毛定理、ページ曲線とページ時刻（寿命の \(1-2^{-3/2}\)）、そして地平線近傍の指数的赤方偏移 ── これらはいずれもよく知られた結果で本稿の発見ではありません ── 本稿がしたのは、これらを第 45 回の「対数時間」と第 5 回の「宇宙年齢より長いものは定数と区別がつかない」という二つの道具の下に置き直し、「情報が測定帯域の外へ出るまでの時間」を 1.5 ミリ秒という数字にしたことだけです。情報パラドックスは解いていません。04 節のページ曲線は「蒸発全体がユニタリである」という仮定の下での粗視化された模型であり、本稿が導出したものではありません。実際の曲線の形は模型に依存します。02 節の「太陽の熱的エントロピー \(\sim10^{58}k_B\)」は文献値のおよその数字です。03 節の蒸発時間は質量のない粒子 1 種類を仮定した標準的な式で、実際には放出される粒子種の数に依存します。05 節の \(\omega(t)=\omega_0e^{-\kappa t/c}\) は地平線近傍の外向きモードについての標準的な近似で、遠方の観測者が実際に何を受け取るかは放射の詳細に依ります。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。