考える波 第 45 回 ／ 第 XV 部・媒質を自分で作る
「何もない」を波として見る
真空を揺らす ──
熱の正体は、時間が対数になったことだった
ゼロ点エネルギーの和は発散しますが、発散する項は体積に比例するので引けます ── 残るのは \(-1/12\)（数値でも \(-0.0833333\)）。
★ 境界を揺らすと何もない所から光子が出ます（\(n=|\beta|^2\)）。そして \(|\alpha|^2-|\beta|^2=\det M=1\) ── 第 36 回そのものです。
★★ 加速した人が真空を熱く見る理由は ── ガンマ関数 → \(\sinh\) → \(1/(e^x-1)\)。時間を対数で測ったから、プランク分布が出た。
第 44 回で時間変調が波を育てるところまで来ました。
★ では、育てる元の波が一本も無いときはどうなるか ── それがこの回です。
01無限を引き算する ── 引けるのは、発散が体積に比例するから
間隔 \(a\) の壁の間のモードは \(\omega_n=n\pi c/a\)。\(E=\frac\hbar2\sum\omega_n\) は発散します。切断 \(e^{-\delta n}\) を入れて、何が発散しているのかを見ます。
| \(\delta\) | \(\sum n e^{-\delta n}\)（数値） | \(1/\delta^2\) | ★ 差 | \(-1/12\) |
|---|---|---|---|---|
| 0.1 | 99.91670832 | 100.00000000 | −0.08329168 | −0.08333333 |
| 0.01 | 9999.91666708 | 10000.00000000 | −0.08333292 | −0.08333333 |
| 0.003 | 111111.02777781 | 111111.11111111 | ★ −0.08333330 | −0.08333333 |
01節の中心
\(\sum n e^{-\delta n}=\dfrac1{4\sinh^2(\delta/2)}=\dfrac1{\delta^2}-\dfrac1{12}+O(\delta^2)\)。
★★ 発散する項 \(1/\delta^2\) は \(a\) に比例します ── 壁が無くても同じ「体積の項」。だから引ける。
★ 残るのは \(-1/12\) ── 有限で、しかも負。
★★ 「無限大を引いた」のではなく、「壁があるときと無いときの差を取った」 ── これが正しい読み方です。第 7 回の「無次元量だけが物理」と同じく、比べられる量だけが意味を持つ。
02三次元の電磁場 ── 実際の大きさ
| 間隔 \(a\) | \(|P|\)［Pa］ | 大気圧との比 | |
|---|---|---|---|
| 1 mm | 1.3001e−15 | 1.283e−20 | |
| 1 μm | 1.3001e−3 | 1.283e−8 | |
| 100 nm | 1.3001e+1 | 1.283e−4 | |
| 10 nm | 1.3001e+5 | 1.283 | ★ 大気圧を超える |
02節の中心
\(P=-\pi^2\hbar c/(240a^4)\)。★ 10 nm まで詰めると大気圧の 1.28 倍 ── 「何もない」が押す力です。
★ \(a^{-4}\) なので1 桁 縮めると 10000 倍。だから 1 mm ではまったく測れず、100 nm では MEMS の設計に効いてきます。
03★ 揺すると、何もない所から光子が出る
一周期の単値行列 \(M\) からボゴリューボフ係数を取ります ── \(\alpha=\frac{M_{11}+M_{22}}2-i\frac{M_{12}-M_{21}}2\)、\(\beta=\frac{M_{11}-M_{22}}2+i\frac{M_{12}+M_{21}}2\)。
| \(h\) | \(\det M\) | \(|\alpha|^2\) | \(|\beta|^2=n\) | \(|\alpha|^2-|\beta|^2\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.00000000 | 1.00000000 | ★ 0.00000000 | 1.00000000 |
| 0.05 | 1.00000000 | 1.00154271 | 0.00154271 | 1.00000000 |
| 0.10 | 1.00000000 | 1.00617788 | 0.00617788 | 1.00000000 |
| 0.40 | 1.00000000 | 1.10115948 | ★ 0.10115948 | 1.00000000 |
周期を重ねると、生成された光子は指数的に増えます（\(h=0.1\)）。
| 周期の数 | \(n=|\beta|^2\) | \(|\alpha|^2-|\beta|^2\) |
|---|---|---|
| 1 | 0.006178 | 1.000000000 |
| 10 | 0.754098 | 1.000000000 |
| 20 | 5.290934 | 1.000000000 |
| 60 | 3089.030869 | ★ 1.000000000 |
03節の中心 ── ★★★
\(|\alpha|^2-|\beta|^2=\det M=1\)。
光子が 3089 個 出ても、この 1 は動かない。
★ 第 36 回で「\(\det M=1\) は不確定性の保存」と見ましたが、これはその粒子数版です。
★★ \(h=0\) なら \(n=0\) ── 揺すらなければ何も出ません。出るのは、揺すった人の仕事です。
★ 第 44 回 06 節の「時間のギャップの中では育つ」を、光子の数で数え直したのが本節です。
04ウンルー ── 加速すると真空が温かく見える
| 加速度 \(a\)［m/s²］ | \(T\)［K］ | |
|---|---|---|
| 9.8 | 3.9739e−20 | 地上の重力 |
| \(10^{10}\) | 4.0550e−11 | 強い電場中の電子 |
| 2.47e+20 | 1.0016 | ★ \(T=1\) K |
| \(10^{26}\) | 4.0550e+5 | ★ 室温の 1350 倍 |
04節の中心
★ 1 K を出すのに \(2.5\times10^{20}\) m/s² ── だから直接は測られていません。
★ 逆に言えば、これは「日常では真空が冷たい」ことの定量的な理由です。第 5 回の「宇宙年齢より長い周期は定数と区別がつかない」と同じ構図 ── 効果が無いのではなく、届かない。
05★★ なぜ「熱」になるのか ── 対数時間と指数写像
これを \(\eta\) でフーリエ変換すると ── ガンマ関数が出ます。
| \(\Omega/a\) | \(|\beta/\alpha|^2=e^{-2\pi\Omega/a}\) | ★ \(n=1/(e^{2\pi\Omega/a}-1)\) |
|---|---|---|
| 0.1 | 5.334881e−1 | 1.143568 |
| 0.5 | 4.321392e−2 | 4.516571e−2 |
| 1.0 | 1.867443e−3 | 1.870937e−3 |
| 2.0 | 3.487342e−6 | 3.487355e−6 |
ガンマ関数の恒等式も数値で確かめます ── \(|\Gamma(iy)|^2=\pi/(y\sinh\pi y)\)。
| \(y\) | \(|\Gamma(iy)|^2\)（数値） | \(\pi/(y\sinh\pi y)\) | 比 |
|---|---|---|---|
| 0.1 | 9.83738115e+1 | 9.83738115e+1 | 1.000000 |
| 1.0 | 2.72029055e−1 | 2.72029055e−1 | 1.000000 |
| 2.0 | 5.86676483e−3 | 5.86676483e−3 | 1.000000 |
05節の中心 ── ★★★ 本回の要
時間が対数になる ⟹ 位相に指数が入る ⟹ ガンマ関数 ⟹ \(\sinh\) ⟹ \(1/(e^x-1)\)。
「熱」の正体は、時間の測り方だった。
★ 第 20 回で「\(c\cdot t=\)一定 の座標系は対数時間」と見ました。ここに出てくる \(at=e^{a\eta}\) はまったく同じ形です。
★★ 第 28 回で「指数関数が出る源は二つ、そのひとつは足し算が掛け算になること」と整理しました。加速は、時間の足し算を時間の掛け算に変える操作でした。
★ 温度 \(T=a/2\pi\) は、\(e^{-2\pi\Omega/a}\) の肩そのもの ── 温度という量が、ここでは「対数時間の目盛りの細かさ」でした。
06温度が「見る人による」ということ
| 立場 | 見える状態 | 本シリーズの言葉 |
|---|---|---|
| 静止している | 真空（\(n=0\)） | 第 9 回：ゼロ点だけ |
| ★ 一定加速している | 熱浴（\(T=a/2\pi\)） | ★ 対数時間で見ている |
| ★ 鏡を揺らしている | 光子が出る | ★ 第 40・44 回のパラメトリック |
06節の中心
★★ 「粒子が何個あるか」は、座標の取り方に依る量でした。
★ 波として見れば当たり前です ── どの基底で展開するかの問題だから。正弦波で展開するか、ウェーブレットで展開するか（第 22 回）で「成分の数」が変わるのと同じ。
★★ 第 7・15 回の「無次元量だけが物理」と同じ注意がここでも要ります ── 座標に依る量を、物理だと思ってはいけない。
07それでも、ただでは取り出せない
| 門番 | 本回での効き方 |
|---|---|
| 受動性（第 17・18 回） | 鏡を揺らす仕事が、そのまま光子のエネルギー源 |
| \(\det M=1\)（第 36 回） | ★ \(|\alpha|^2-|\beta|^2=1\) ── 増える分は必ず対で出る |
| 総和則（第 44 回） | ある周波数で得れば、別の周波数で損する |
07節の中心
★ カシミール力は「引き出せるエネルギー」ではなく、位置の関数の勾配です。一度 板をくっつけたら、離すのに同じだけの仕事が要ります。
★★ 動的カシミールの光子も、揺すった人の仕事がそのまま出ているだけ。
★ 「真空エネルギーを取り出す」という話を聞いたら、まずどこに仕事をしている人がいるかを探す ── 本シリーズの三つの門番が、必ずどれかで塞いでいます。
08波として言えること・言えないこと
| 項目 | 判定 | 根拠 |
|---|---|---|
| 発散は体積に比例（引ける） | ◎ 数値 | \(1/\delta^2\) を引くと \(-1/12\) |
| カシミール圧 \(\propto a^{-4}\) | ◎ 数値 | 10 nm で大気圧の 1.28 倍 |
| ★ 揺すると \(n=|\beta|^2\) | ◎ 数値 | ★ \(h=0\) では \(n=0\) |
| ★ \(|\alpha|^2-|\beta|^2=1\) | ◎ 数値 | ★ 第 36 回の粒子数版 |
| ウンルー温度 | ◎ 数値 | 1 K に \(2.5\times10^{20}\) m/s² |
| ★ 熱の正体は対数時間 | ◎ 解析 | ★ \(\Gamma\to\sinh\to1/(e^x-1)\) |
| \(|\Gamma(iy)|^2\) の恒等式 | ◎ 数値 | 比 1.000000 |
| ★ ただでエネルギーは出ない | ◎ 論理 | 受動性・\(\det M=1\)・総和則 |
| ★ 宇宙定数問題 | × 扱えない | ★ 引き算できない量だから |
08節の中心 ── ★ いちばん大事な但し書き
01 節で「発散は引ける」と書きましたが、それは「壁があるときと無いときの差」を取れたからです。
★★ 重力は差ではなく絶対値に応答します ── だから真空のエネルギー密度そのものを問うと、引き算する相手がありません。
★ これが宇宙定数問題で、本稿の道具ではまったく扱えません。★ 「カシミール効果が測れたのだから真空エネルギーは実在する」という論法は、ここで止まります ── 測れたのは差だけです。
練習問題
- 03 節で光子が 3089 個 出ても \(|\alpha|^2-|\beta|^2=1\) が動かなかった。これは何を守っているのか。
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交換関係、つまり不確定性です。ボゴリューボフ変換が正準変換であるための条件が \(|\alpha|^2-|\beta|^2=1\) で、これは古典的には \(\det M=1\)（位相空間の面積保存）。
★ 第 36 回で「スクイーズしても \(\Delta X_1\Delta X_2=1/4\) は動かない」と見たのと同じ式です。
★★ つまり動的カシミールで出る光子は、必ず対で出ます（\(\beta\) が増えれば \(\alpha\) も増える）── 片方だけ増やすことはできません。★ 実験で「相関した光子対」が見られるのは、この式の直接の帰結です。 - 05 節で「熱の正体は対数時間」と言った。では逆に、対数時間で測れば何でも熱く見えるのか。
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いいえ ── 「時間が対数になる」だけでは足りません。必要なのはその座標系が真空の一部しか見られないことです。加速する観測者には地平線があり、向こう側が見えません。
★ 見えない部分を「捨てる」（トレースアウトする）と、残った部分は混合状態になります ── それが熱に見える理由。対数時間は、その地平線を作る座標変換の形として現れています。
★★ だから第 20 回の「\(c\cdot t=\)一定 の座標系」で対数時間を使っても、それだけでは熱は出ません。★ 必要なのは「見えない領域があること」── 情報を捨てたぶんだけ、エントロピーが出る（第 21 回）。 - 02 節でカシミール圧は \(a^{-4}\) だった。この指数はどこから来るか。
答えを見る
次元解析だけで出ます。使える量は \(\hbar,c,a\) だけ。圧力の次元は［エネルギー］/［長さ］³ で、\(\hbar c\) は［エネルギー］×［長さ］。したがって \(P\propto\hbar c/a^4\) ── 係数以外は一行です。
★ 第 43 回の「階数の一枚の表」で言えば、\(a^{-4}\) は三次元の帰結です。\(d\) 次元なら \(P\propto\hbar c/a^{d+1}\)── 01 節の一次元では \(F\propto1/a^2\) でした（\(d=1\) で \(a^{-2}\)、合っています）。
★★ 係数（\(\pi^2/240\)）だけが「波の数え方」から出ます ── 指数は次元が決め、係数はモードの数え方が決める。第 30 回とまったく同じ分業です。
まとめ 熱の正体は、時間が対数になったこと
ゼロ点エネルギーの和は発散しますが、発散する項 \(1/\delta^2\) は体積に比例するので、壁があるときと無いときの差を取れば消えます ── 残るのは \(-1/12\)（数値でも \(-0.0833333\)）。「無限を引いた」のではなく「差を取った」というのが正しい読み方です。一次元では \(E=-\pi\hbar c/(24a)\)、力は引力。
三次元の電磁場では \(P=-\pi^2\hbar c/(240a^4)\) ── 10 nm で大気圧の 1.28 倍。\(a^{-4}\) なので 1 桁 縮めると 10000 倍です。
境界を揺らすと、何もない所から光子が出ます。\(h=0\) なら \(n=0\)、\(h=0.4\) なら \(n=0.101\)、60 周期 重ねれば \(n=3089\)。
★★★ そして光子が 3089 個 出ても \(|\alpha|^2-|\beta|^2=\det M=1\) は動きません ──
第 36 回の「\(\det M=1\) は不確定性の保存」の、粒子数版でした。
加速すると真空は熱く見えます（\(T=\hbar a/2\pi ck_B\)）。1 K を出すのに \(2.5\times10^{20}\) m/s² ── 日常では届きません。
★★★ その「熱」の正体は ──
加速する人の時間が対数になる（\(at=e^{a\eta}\)）⟹ 位相に指数が入る
⟹ ガンマ関数 ⟹ \(\sinh\) ⟹ \(1/(e^x-1)\)。
温度 \(T=a/2\pi\) は、\(e^{-2\pi\Omega/a}\) の肩そのものでした。
数値でも確かめました ── \(|\Gamma(iy)|^2=\pi/(y\sinh\pi y)\) が比 1.000000。★ 第 20 回の「対数時間」と第 28 回の「足し算→掛け算」が、ここで合流します。
★ そしてただでは取り出せません ── 受動性、\(\det M=1\)、総和則の三つが塞いでいます。カシミール力は勾配であって在庫ではなく、動的カシミールの光子は揺すった人の仕事です。
★★ いちばん大事な但し書き：01 節で引けたのは差だからで、重力は絶対値に応答します。だから「カシミールが測れたから真空エネルギーは実在する」という論法はここで止まり、宇宙定数問題は本稿の道具ではまったく扱えません。
★ 次回はその二つが正面からぶつかります ── ブラックホールの蒸発と、情報はどこへ行ったのか。
★★ ホーキング温度は 04 節のウンルー温度と同じ式で、表面重力を \(a\) に置くだけです。そして第 39 回のホログラフィーが、ここで「情報は面積で数える」という形で戻ってきます。
この文書は「考える波」シリーズ第 45 回です。計算は kenshou/shinku.js で行っています。本回の数値について：切断つきモード和と \(-1/12\) の抽出、カシミール圧の数値、単値行列からのボゴリューボフ係数と生成光子数、ウンルー温度、\(|\Gamma(iy)|^2\) の恒等式は、すべて本稿で計算したものです。カシミール効果とその \(a^{-4}\) 則、ゼータ関数正則化（\(\zeta(-1)=-1/12\)）、ボゴリューボフ変換と \(|\alpha|^2-|\beta|^2=1\)、動的カシミール効果、ウンルー効果と \(T=\hbar a/2\pi ck_B\)、リンドラー座標におけるガンマ関数からプランク分布が出る計算 ── これらはいずれもよく知られた結果で本稿の発見ではありません ── 本稿がしたのは、これらを「対数時間」（第 20 回）と「\(\det M=1\)」（第 36 回）という本シリーズの二つの道具の下に並べ直したことだけです。03 節は単一モードの最小模型であり、実際の動的カシミール効果は多モードの問題です（超伝導回路を用いた実験報告がありますが、本稿はそれを再現したものではありません）。01 節の \(-1/12\) は指数的な切断を用いた一つの正則化による値で、正則化の取り方に依らないことは本稿では確かめていません（文献では確かめられています）。08 節に書いたとおり、本稿が扱えたのはエネルギーの差だけで、真空のエネルギー密度そのもの（宇宙定数問題）は扱えていません。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。