考える波 第 42 回 ／ 第 XIII 部・最先端を波として見る
階数が、ひとつの数ですらなくなる
乱流の間欠性 ──
階数は「分布」だった
コルモゴロフの \(-5/3\) を本シリーズの言葉に直すと ── 乱流は「5/6 階」の波、dB/oct = 5、位相 75°。1/f（1/2 階）とブラウン運動（1 階）の ちょうど 間です。
★★ ところが実測は そこから系統的にずれます。ずれの正体は ── 階数が一つの数ではなく、幅 1.222 の分布になっていること。
★ そして平均だけは動きません ── \(\zeta_3=1\) はどんな間欠性があっても厳密に 1。
第 14 回で「階数が整数から外れる理由は三つ」と整理し、第 39 回で四つめ（バルクの質量）を足しました。
★ この回で五つめが出ます ── いちばん厄介なもの、「階数が一つに決まらない」。
01\(-5/3\) を、階数として読む
| 量 | 値 | 本シリーズの言葉 |
|---|---|---|
| パワーの傾き \(\beta\) | 1.666667 | \(E(k)\propto k^{-\beta}\) |
| ★ 階数 \(\alpha=\beta/2\) | 0.833333 | ★ 振幅が \(k^{-\alpha}\) |
| dB/oct \(=6\alpha\) | 5.000000 | 第 1 回 |
| 位相 \(=90\alpha\)［度］ | 75.000000 | 第 1 回 |
| ★ ハースト \(H=\alpha-1/2\) | 0.333333 | ★ ちょうど \(1/3\) |
01節の中心
乱流は「5/6 階」の波。
1/f（1/2 階、第 2 回）とブラウン運動（1 階）の ちょうど 間。
★ そして \(H=1/3\) は、K41 の \(\zeta_p=p/3\) の \(p=1\) そのものです ── 「階数」「dB/oct」「ハースト指数」「構造関数の指数」が、全部ひとつの数の言い換えだということ。
★★ ただしそれは「階数がひとつなら」の話です。
02階数がひとつなら、どの指数も一致する
\(f^{-\beta}\) の雑音を合成して、構造関数 \(S_p(r)=\langle|\delta u|^p\rangle\propto r^{\zeta_p}\) の指数を \(p\) ごとに測ります。単一の階数なら \(\zeta_p/p\) は \(p\) によらないはず。
| \(\beta\) | \(H=(\beta-1)/2\) | \(\zeta_1\) | \(\zeta_2/2\) | \(\zeta_4/4\) | \(\zeta_6/6\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1.2 | 0.100000 | 0.15906 | 0.15932 | 0.15928 | 0.15833 |
| 5/3 | 0.333333 | 0.34639 | 0.34697 | 0.34732 | 0.34747 |
| 2.0 | 0.500000 | 0.50260 | 0.50269 | 0.50277 | 0.50352 |
| 2.5 | 0.750000 | 0.75138 | 0.74998 | 0.74798 | 0.74887 |
02節の中心
★ \(\zeta_p/p\) が \(p\) によらず一定 ── これが「階数がひとつ」ということです（単一フラクタル）。
★ \(\beta=1.2\) の行だけ 0.100 でなく 0.159 とずれています ── \(H<0.2\) では有限の刻み幅の影響が残るためで、本稿の合成法の限界です。他の三行は 0.3 % 以内。
03ところが実際の乱流は、掛け算で散逸を分ける
エネルギーは大きな渦から小さな渦へ渡されますが、均等には分かれません。各段で \(p\) と \(1-p\) に分ける模型（p 模型）で、測度の \(q\) 次モーメント \(Z(q,r)=\sum\mu_i^q\propto r^{\tau(q)}\) を測ります。
| \(q\) | \(\tau\)（実測） | \(\tau\)（厳密 \(-\log_2(p^q+(1-p)^q)\)） | 差 | もし単一なら \(q-1\) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | −1.000000 | −1.000000 | 0 | −1.000 |
| 1 | −0.000000 | 0.000000 | 1.7e−14 | 0.000 |
| 2 | 0.785875 | 0.785875 | 2.4e−14 | 1.000 |
| 4 | 2.010425 | 2.010425 | 4.4e−14 | 3.000 |
| 5 | 2.552156 | 2.552156 | 3.2e−14 | 4.000 |
03節の中心
実測は厳密解と \(10^{-14}\) で一致（\(p=0.7\)、18 段 ＝ 262144 箱）。
★ そして \(\tau(q)\) は \(q\) の一次式ではありません ── \(q=4\) で 2.010 に対し、単一なら 3.000。この「曲がり」が間欠性そのもの。
★★ \(p=0.5\)（均等に分ける）なら \(\tau(q)=q-1\) の直線に戻ります（数値でも 0, 1.000000, 3.000000 と確認）。曲がりは「不均等に分けること」から来ている。
04★★ ルジャンドル変換すると、分布が見える
| \(q\) | \(\alpha\)（局所指数） | \(f(\alpha)\) | 意味 |
|---|---|---|---|
| −4 | 1.697073 | 0.207439 | 弱い領域を拾う |
| 0 | 1.125769 | 1.000000 | ★ \(f=1\)＝台の次元 |
| 1 | 0.881291 | 0.881291 | ★ ここが「代表値」 |
| 4 | 0.554466 | 0.207439 | 強い領域を拾う |
| 8 | 0.515963 | 0.012758 | いちばん強い所 |
04節の中心 ── ★★★ 本回の要
\(\alpha\) は 0.514573 から 1.736966 まで動く（幅 1.222392）。
一つの数ではなく、幅のある集合。
厳密には \(-\log_2 p=0.514573\) から \(-\log_2(1-p)=1.736966\) まで ── 幅は \(\log_2\frac{1-p}{p}\)。
★ \(p=0.5\) なら幅はゼロ（\(\alpha=1\) の一点）。不均等さが、そのまま分布の幅になります。
★★ 本シリーズの言葉では ── 場所ごとに違う階数を持つ波。第 22 回のウェーブレットで局所的に測れば、測る場所ごとに違う dB/oct が出るということです。
05速度の構造関数へ ── \(p/3\) から曲がる
| \(p\) | K41: \(p/3\) | ★ p 模型（\(p=0.7\)） | ずれ | 文献の実測値 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.333333 | 0.360919 | +0.027586 | 0.37 |
| 2 | 0.666667 | 0.693721 | +0.027055 | 0.70 |
| 3 | 1.000000 | 1.000000 | ★ 0.000000 | 1.00 |
| 4 | 1.333333 | 1.282153 | −0.051180 | 1.28 |
| 5 | 1.666667 | 1.543081 | −0.123586 | 1.53 |
| 6 | 2.000000 | 1.785875 | −0.214125 | 1.78 |
05節の中心
★★ つまみ一つ（\(p=0.7\)）だけで、\(\zeta_1\) から \(\zeta_6\) までの文献値を 1〜2 % で再現できます。
★ \(p\) が大きいほど下に曲がる ── 高次のモーメントは「いちばん強い渦」を拾うが、それはまれだから。
★ 第 2 回で「1/f は多数の時定数の重ね合わせ」と見ました。ここは掛け算の重ね合わせです ── 足し算なら中心極限定理でガウス分布に、掛け算なら対数正規に近づく。間欠性は「掛け算だから」起きています。
06★ それでも \(\zeta_3=1\) は動かない
| \(p\) | ★ \(\zeta_3\) | \(\zeta_2\) | \(\zeta_6\) | \(\beta=1+\zeta_2\) | dB/oct |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.5 | 1.00000000 | 0.666667 | 2.000000 | 1.666667 | 5.0000 |
| 0.7 | 1.00000000 | 0.693721 | 1.785875 | 1.693721 | 5.0812 |
| 0.8 | 1.00000000 | 0.732441 | 1.556393 | 1.732441 | 5.1973 |
| 0.9 | 1.00000000 | 0.801364 | 1.286304 | 1.801364 | 5.4041 |
06節の中心
\(\tau_\varepsilon(1)=1-1+\tau(1)=0\) は \(p\) に依りません（平均散逸は保存される）── だから \(\zeta_3=1\) はどんな \(p\) でも厳密に 1。これが「4/5 の法則」です。
★★★ そして肝心なこと ── \(p=0.7\) でも \(\beta\) は 1.6937、K41 の 1.6667 との差は 0.0271。dB/oct にすると 0.081 dB/oct の差しかありません。
★ だからパワースペクトルだけ見ていると、間欠性はほとんど見えない。「−5/3 はよく合う」と言われるのは、2 次モーメントが たまたま鈍感だからでした。
07本シリーズの言葉に直すと ── 五つめの理由
| 階数が整数から外れる理由 | 回 |
|---|---|
| ① 多数の時定数の重ね合わせ | 第 2 回 |
| ② 次元（\(\alpha=(d-3)/2\)） | 第 30 回 |
| ③ 臨界点での連続変化 | 第 13 回 |
| ④ バルクの質量（\(\alpha=2\nu\)） | 第 39 回 |
| ★ ⑤ 階数が一つの数ではない（分布になる） | ★ 本回 |
| 測り方 | 得られる階数 | 第 1 回の量 |
|---|---|---|
| パワースペクトルの傾き | \(\zeta_2\) から一つ | dB/oct |
| 1 次の構造関数 | \(\zeta_1\) から一つ | — |
| ★ 高次モーメント | ★ \(p\) ごとに違う値 | ★ 一致しない |
| ★ 局所的に測る | ★ 場所ごとに違う値 | ★ 分布になる |
07節の中心
★★★ 「dB/oct を測る」という操作そのものが、どのモーメントで測るかに依ります。
★ 単一フラクタルなら、どれで測っても同じ値が出ます（02 節で確認）。乱流はそうではない。
★★ 第 1 回から続いてきた「階数」という一本の軸は、ここで一本ではなくなります。
08波として言えること・言えないこと
| 項目 | 判定 | 根拠 |
|---|---|---|
| \(-5/3\) は次元解析で一行 | ◎ 解析 | 階数 5/6、dB/oct 5、位相 75° |
| \(H=\alpha-1/2=1/3\) | ◎ 数値 | 合成雑音で確認 |
| 単一階数なら \(\zeta_p/p\) 一定 | ◎ 数値 | \(p=1,2,4,6\) で一致 |
| ★ \(\tau(q)\) が一次式でない | ◎ 数値 | ★ 厳密解と \(10^{-14}\) |
| ★ 階数が分布になる | ◎ 解析 | ★ 幅 \(=\log_2\frac{1-p}{p}\) |
| \(\zeta_p\) が下に曲がる | ◎ 解析 | \(p=0.7\) で文献値を 1〜2 % |
| \(\zeta_3=1\) は \(p\) によらない | ◎ 解析 | 4/5 の法則は生き残る |
| ★ 実際の乱流の \(p\) の値 | × 決められない | ★ 模型の当てはめ |
| ★ なぜカスケードが掛け算か | × 扱えない | ★ 本稿は仮定した |
練習問題
- 06 節で「\(-5/3\) はよく合う」の理由が分かった。これは K41 が正しいということか。
答えを見る
いいえ ── 「2 次モーメントが鈍感だった」ということです。\(\zeta_2\) のずれはたった 0.027、dB/oct では 0.081。測定誤差に埋もれます。
★ K41 が間違っていた所は、6 次モーメントではっきり出ます ── 予言 2.000 に対し実測 1.78、11 % のずれ。
★★ 教訓は「よく合う指数を一つ見ただけでは、理論を検証したことにならない」。本シリーズが毎回「どのモーメントで測ったか」を書くのは、このためです。★ 第 5 回の「宇宙年齢より長いものは定数と区別がつかない」と同じ構図 ── 感度のない量で見ている限り、違いは無いのと同じ。 - 04 節で \(\alpha\) が 0.51 から 1.74 まで分布した。負の \(\alpha\) や 2 を超える \(\alpha\) はなぜ出ないのか。
答えを見る
各段の分け方が \(p\) と \(1-p\) の二通りしかないからです。いちばん強い所は毎回 \(p\) を引き当てた場所で \(\mu=p^n\)、つまり \(\alpha=-\log_2p\)。いちばん弱い所は \(\alpha=-\log_2(1-p)\)。
★ つまり分布の端は「最も極端な経路」で決まります。模型を変えれば端も変わる── 対数正規カスケードなら形式的には端が無くなります。
★★ ただし現実の乱流では、粘性の効く長さ（コルモゴロフ長）で段数が止まるので、いくらでも極端にはなれません。★ 第 5 回・第 22 回と同じく ── 「どこまで細かく見るか」が答えを決めます。 - 第 2 回の 1/f も「重ね合わせ」だった。本回の間欠性とどう違うか。
答えを見る
足し算か、掛け算かの違いです。第 2 回は多数の緩和過程を足し合わせて \(1/f\) を作りました ── 足し算の重ね合わせは中心極限定理でガウス分布に向かい、階数は一つに決まります。
★ 本回は各段で掛け算。掛け算の重ね合わせは対数が足し算になるので、対数正規に向かう── 裾が重く、まれな大きい値が効く。だから高次モーメントが曲がる。
★★ 「階数が一つに決まるか、分布になるか」は、重ね合わせが足し算か掛け算かで決まっていました。★ 第 28 回で「指数関数が出る源は二つ」と整理しましたが、その一つ「足し算→掛け算」が、ここでも効いています。
まとめ 階数は「分布」だった
コルモゴロフの \(-5/3\) は次元解析で一行で出ます。本シリーズの言葉に直すと ── 乱流は「5/6 階」の波、dB/oct = 5、位相 75°、ハースト \(H=1/3\)。1/f（1/2 階）とブラウン運動（1 階）の ちょうど 間でした。
まず階数がひとつならどう見えるかを確かめました ── \(f^{-\beta}\) の合成雑音では \(\zeta_p/p\) が \(p\) によらず一定で、その値は \((\beta-1)/2\) に一致します。
ところが実際のカスケードは掛け算です。p 模型で測度の \(\tau(q)\) を測ると厳密解と \(10^{-14}\) で一致し、\(\tau(q)\) は \(q\) の一次式になりません（\(q=4\) で 2.010、単一なら 3.000）。\(p=0.5\) なら直線に戻ります ── 曲がりは「不均等に分けること」から来ている。
★★★ 本回の要 ── ルジャンドル変換すると \(\alpha\) は
0.514573 から 1.736966 まで分布する（幅 \(\log_2\frac{1-p}{p}=1.222\)）。
階数は一つの数ではなく、幅のある集合だった。
速度の構造関数に直すと \(\zeta_p\) は \(p/3\) から下に曲がり ── つまみ一つ（\(p=0.7\)）で \(\zeta_1\) から \(\zeta_6\) までの文献値を 1〜2 % で再現できます（0.361/0.37、0.694/0.70、1.000/1.00、1.282/1.28、1.543/1.53、1.786/1.78）。
★ それでも \(\zeta_3=1\) は動きません ── 平均散逸が保存されるので \(\tau_\varepsilon(1)=0\)、どんな \(p\) でも厳密に 1（4/5 の法則）。
★★★ そして肝心なこと：\(p=0.7\) でも \(\beta=1.6937\)、K41 との差は 0.081 dB/oct しかありません。「\(-5/3\) はよく合う」と言われるのは、2 次モーメントが たまたま鈍感だったからでした。
★ 第 14 回の三つ、第 39 回の四つめに続いて ── ⑤ 階数が一つの数ではない。「dB/oct を測る」という操作そのものが、どのモーメントで測るかに依ります。★ 第 1 回から続いてきた一本の軸は、ここで一本ではなくなりました。
★ 前回は整数（巻き数・チャーン数）という別種の量が出て、今回は階数が分布になりました。
★★ 次回は、いったん締めます ── 第 15 回でやったように、第 16 回から第 42 回までの 27 回ぶんを採点します。当たったのはどこか、外れたのはどこか、そして「翻訳しただけ」だったのはどこか。
この文書は「考える波」シリーズ第 42 回です。計算は kenshou/ranryu.js で行っています。本回の数値について：合成雑音の構造関数の指数、p 模型のカスケードと \(\tau(q)\) の実測、ルジャンドル変換、\(\zeta_p\) と \(\beta\) の計算は、すべて本稿で計算したものです。コルモゴロフの \(-5/3\) 則と \(\zeta_p=p/3\)、4/5 の法則（\(\zeta_3=1\)）、マンデルブロの掛け算カスケードと p 模型、\(\tau(q)=-\log_2(p^q+(1-p)^q)\)、マルチフラクタル形式（ルジャンドル変換）、精緻化された相似仮説、そして \(\zeta_p\) の実測値（\(\zeta_6\approx1.78\) など）は、いずれもよく知られた結果で本稿の発見ではありません ── 本稿がしたのは、これらを「階数」という本シリーズの軸に載せ、「階数が分布になる」を第 14 回の一覧に五つめとして加え、間欠性が dB/oct では 0.081 しか動かないことを数字で示したことです。05 節で \(p=0.7\) が文献値をよく再現しますが、これは一つのパラメータを当てはめた結果であり、p 模型が正しい模型だということではありません。実際の乱流の間欠性の模型は複数あり（対数正規、She–Lévêque など）、本稿はいちばん単純なものを一つ選んだだけです。02 節の \(\beta=1.2\) の行は合成法の限界により 0.06 ずれています。文献の \(\zeta_p\) の実測値は測定条件やレイノルズ数に依存し、ここに挙げたのは代表的な値です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。