考える波 第 35 回 ／ 第 XIII 部・最先端を波として見る
位相は、時間だけのものではなかった
光をもっと掘る ──
位相が「角度の関数」になるとき、そして「面積」になるとき
位相を方位角の関数にすると \(\ell\) は整数しか取れず、その整数は動かしても壊れません（トポロジー）。
★★ そして偏光の状態を球面上で一周させると ── 位相が「立体角の半分」として現れます（数値で \(10^{-16}\) 一致）。
★ 位相には少なくとも三つの出どころがありました ── 時間、角度、経路。
第 1 回から 34 回まで、位相はいつも時間の関数でした ── \(\varphi(t)=\omega t\)、階数 \(\alpha\) は「位相が \(90\alpha\) 度 回ること」。
★ 本回は位相に二つの新しい軸を足します。
01位相が角度の関数になる ── らせんの波面
波面はらせん階段になります
| \(\ell\) | \(r=0\) の強度 | ピーク半径（数値） | 予言 \(w\sqrt{|\ell|/2}\) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1.0000 | 0（中心） | ── |
| 1 | 0.0000 | 0.70710 | 0.70711 |
| 5 | 0.0000 | 1.58110 | 1.58114 |
| 10 | 0.0000 | 2.23610 | 2.23607 |
01節の中心
★ ① \(\ell\ne0\) では中心の強度がきっかりゼロ（位相が定義できないから）── ドーナツ形のビーム。ピーク半径は \(w\sqrt{|\ell|/2}\)。
★★ ② \(\ell\) は整数しか取れません ── 一周して元の値に戻る必要があるので \(e^{i\ell\cdot2\pi}=1\)。
これは第 5 回の「境界条件が離散モードを作る」の角度版です。導波管では横方向の壁が、ここでは「一周すると戻る」が離散化しています。
02巻き数は、動かしても壊れない
位相の巻き数を数値で数えます ── 閉じた経路を回って位相の増分を足すだけ（\(\frac{1}{2\pi}\oint d\varphi\)）。試験場は \(u=(x+iy)^2-a^2\)（\(x=\pm a\) に渦が二つ）。
| \(a\) | 大きな円 \(R=10\) | \(+a\) まわり \(R=0.1a\) | 原点まわり \(R=0.1a\) |
|---|---|---|---|
| 0.001 | 2.000000 | 1.000000 | 0.000000 |
| 0.1 | 2.000000 | 1.000000 | 0.000000 |
| 3.0 | 2.000000 | 1.000000 | 0.000000 |
02節の中心
大きな円ではいつもちょうど 2 ── 渦をどこへ動かしても変わりません。小さな円は、中に渦があれば 1、なければ 0 ── 整数しか出ません。
★★★ 巻き数は連続に変えられない量です（トポロジカルな保存量）。振幅や位相はいくらでも連続に動かせるのに、巻き数だけは飛びます。
★ 第 13 回の離散スケール不変性とは別の離散性です ── 第 13 回は対数軸で等間隔（連続対称性が離散に破れた）、本回は一周して戻るという条件（トポロジー）。どちらも「離散」ですが、出どころが違います。
03★★ 位相が「面積」になる ── 幾何学的位相
こんどは偏光です。偏光の状態はポアンカレ球の点で表せます ── \(|\psi(\theta,\phi)\rangle=(\cos\frac\theta2,\ \sin\frac\theta2 e^{i\phi})\)。北極が右円偏光、南極が左円偏光、赤道が直線偏光。
| 三角形 | \(\gamma\) [rad] | \(-\Omega/2\) [rad] | 差 |
|---|---|---|---|
| 八分の一球 | −0.78539816 | −0.78539816 | 1.1e−16 |
| 小さな三角形 | 0.01680306 | 0.01680306 | 6.9e−18 |
| 大きな三角形 | −2.13508004 | −2.13508004 | 0 |
| ほぼ潰れた三角形 | 0.00000022 | 0.00000022 | 3.3e−19 |
03節の中心
★★★ \(\gamma=-\Omega/2\) ── 位相が「面積（立体角）」として現れました。
★ 第 1 回の位相は時間の遅れでした。本節の位相は時間とまったく関係ありません ── 経路の形だけで決まります。
経路を細かくしても同じか。緯度 \(\theta\) の円を \(N\) 角形で近似します。
| \(\theta\) | \(N\) | 積み上げた \(\gamma\) | \(-\pi(1-\cos\theta)\) | 差 |
|---|---|---|---|---|
| 1.00 | 12 | −1.41629693 | −1.44418290 | 2.8e−2 |
| 1.00 | 100 | −1.44378740 | −1.44418290 | 4.0e−4 |
| 1.00 | 2000 | −1.44418191 | −1.44418290 | 9.9e−7 |
★ \(N\) を増やすと \(-\pi(1-\cos\theta)\) に収束します ── どんな速さで回っても、どんな刻み方でも同じ値。だから「幾何学的」位相と呼ばれます。
04★ 角度と \(\ell\) は、フーリエの対 ── ただし片方が周期的
位相が \(e^{i\ell\phi}\) なら、\(\phi\) と \(\ell\) はフーリエ変換の対です。ただし \(\phi\) は周期的（\(0\)〜\(2\pi\)）── だから \(\ell\) は離散（整数）。これは第 31 回で見た構造と同じです。
| 周期的なほう | 離散になるほう | 出てくる場所 |
|---|---|---|
| 時間を標本化（周期 \(T\)） | 周波数が \(2\pi/T\) で折り返す | 第 31 回・単位円 |
| ★ 角度 \(\phi\)（周期 \(2\pi\)） | ★ 軌道角運動量 \(\ell\) が整数 | ★ 本回 |
| 結晶の格子（周期 \(a\)） | 逆格子・ブリルアンゾーン | 固体物理 |
半径 \(r\) の円周上で \(e^{i\ell\phi}\) の縞を分解するには、縞の間隔が波長の半分より広い必要がある
| 開口半径 \(r\) | 波長 \(\lambda\) | ★ \(\ell\) の上限 | |
|---|---|---|---|
| 1 mm | 1.55 µm | 4054 | 光ファイバ級 |
| 1 cm | 1.55 µm | 40537 | 望遠鏡の小口径 |
| 1 m | 1.55 µm | 4.05e+6 | 大口径 |
| 1 cm | 1 cm（30 GHz） | 6.28 | マイクロ波 |
04節の中心
「使える \(\ell\) の本数 ＝ 円周が波長 何個 ぶんか」 ── 第 9 回の \(\Delta t\cdot\Delta\omega\ge1/2\) が \(\Delta\phi\cdot\Delta\ell\ge1/2\) になっただけ。情報を載せられる本数もここで決まります（第 21 回）。
05スピンと軌道の違いを、数で見る
| 種類 | 一光子あたり | 取りうる値 | 正体 |
|---|---|---|---|
| スピン（偏光） | \(\pm\hbar\) | ★ 2 通りだけ | 場のベクトルの向き |
| ★ 軌道（OAM） | \(\ell\hbar\) | ★ 整数 すべて | 位相のらせん |
05節の中心
スピンは 2 通りしかないのに、軌道は上限がありません（開口が許す限り）。だから情報を載せるなら軌道のほうが有利で、実験では \(\ell=10010\) まで作られたと報告されています。
★ 波の言葉で並べると ── 偏光 ＝ 場がどちらを向いているか（振幅側の自由度、2 個）、OAM ＝ 位相がどれだけ巻いているか（位相側の自由度、無限個）。
第 32 回で「ヒッグス＝AM、ゴールドストーン＝FM」と書きました。ここでも同じ分け方が効いています。
練習問題
- 渦を二つ持つビームを、連続に変形して渦を一つにできるか。
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外の巻き数を変えずには、できません。02 節のとおり大きな円での巻き数はいつも 2 で、渦をどこへ動かしても変わりませんでした。
★ 渦を減らすには逆向きの渦（\(\ell=-1\)）を外から持ち込んで対消滅させるしかありません ── そのとき外の巻き数も一緒に変わります。
★★ 「連続変形では変えられない量」＝ トポロジカルな量で、これが OAM が通信に使える理由でもあります（少々の乱れで整数が飛ばない）。 - 幾何学的位相は「時間に依らない」と言った。では待っている間の位相はどこへ行くのか。
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別勘定です。実際の位相は力学的位相（\(-Et/\hbar\)、時間に比例）と幾何学的位相（経路だけで決まる）の和になります。
★ 03 節で測ったのは後者だけで、ゆっくり回しても速く回しても同じ値でした（力学的位相は速さで変わるのに）。
★ 実験ではこの分離が要ります ── 同じ始点終点で経路だけ変えて差を取る、というのが定石です。
★★ このシリーズの言葉では ── 力学的位相は「時間軸の位相」、幾何学的位相は「状態空間の位相」。住む空間が違うので足せます（第 29・30 回の作法）。 - 04 節の \(\ell\le2\pi r/\lambda\) は、第 9 回の不確定性と同じものか。
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同じ定理の別の軸での言い方です。フーリエ対の一般則 \(\Delta x\cdot\Delta k\gtrsim1\) を、\(x\to\phi\)（角度）、\(k\to\ell\) に置き換えただけ。
★ ただし一つだけ違いがあります ── \(\phi\) は周期的なので \(\Delta\phi\le2\pi\) と上限があり、そのぶん \(\ell\) が離散になります。時間・周波数には周期性がないので、こうはなりません。
★★ 第 31 回で「標本化すると周波数が折り返す」と見たのは、同じ双対性を逆向きに使った場合でした。
まとめ 位相の出どころは、少なくとも三つある
第 1 回から 34 回まで、位相はいつも時間の関数でした。本回は二つの新しい軸を足しました。
★ ① 位相を方位角の関数にする（軌道角運動量）。\(u\propto r^{|\ell|}e^{-r^2/w^2}e^{i\ell\phi}\) の中心は強度きっかりゼロ、ピーク半径は \(w\sqrt{|\ell|/2}\)（\(\ell=10\) まで 5 桁 一致）。そして\(\ell\) は整数しか取れません ── 一周して戻る条件。第 5 回の「境界条件が離散モードを作る」の角度版です。
その整数は動かしても壊れません。\(u=(x+iy)^2-a^2\) で渦を動かしても、大きな円での巻き数はいつもちょうど 2。小さな円では 1 か 0 しか出ません。★ 巻き数は連続に変えられない ── トポロジカルな保存量で、第 13 回の離散スケール不変性とは出どころの違う離散性です。
★★ ② 偏光の状態を球面上で一周させると、位相が「立体角の半分」として残ります。
\(\gamma=-\Omega/2\)（数値で \(10^{-16}\) 一致）、そして \(N\) 角形で刻んでも \(-\pi(1-\cos\theta)\) に収束。
どんな速さで回っても、どんな刻み方でも同じ値 ── だから「幾何学的」位相。第 1 回の位相が「時間の遅れ」だったのに対し、こちらは時間とまったく関係ありません。
おまけに構造も見えました ── 角度と \(\ell\) はフーリエの対で、角度が周期的だから \(\ell\) が離散（第 31 回の単位円と同じ双対性）。帯域幅定理にも角度版があり、\(\ell\le2\pi r/\lambda\) ＝「円周が波長 何個 ぶんか」（1 cm の開口で通信波長なら 4 万本）。そしてスピンは 2 通り、軌道は無限 ── 振幅側の自由度と位相側の自由度という、第 32 回と同じ分け方でした。
★ 光の雑音には振幅の雑音と位相の雑音があり、その積に下限があります（第 9 回の不確定性）。
★★ ならば ── 片方を減らして、もう片方に押しつけられるはずです。それが圧搾光で、LIGO が実際に使っている技です。AM 雑音と FM 雑音を交換する ── 第 32 回の続きになります。
この文書は「考える波」シリーズ第 35 回です。計算は kenshou/hikari2.js で行っています。本回の数値について：ラゲール・ガウスの強度分布とピーク半径、巻き数の数値計算、パンチャラトナム位相と立体角の比較、\(N\) 角形近似の収束は、すべて本稿で計算したものです。ラゲール・ガウスビームと位相特異点、軌道角運動量が \(\ell\hbar\) であること、パンチャラトナム＝ベリー位相が立体角の半分であること、巻き数のトポロジカルな保存は、いずれもよく知られた結果で本稿の発見ではありません ── 本稿がしたのは、これらを「位相の出どころ」という一本の軸に並べ、時間・角度・経路の三つに整理したことです。01 節の式は動径方向のラゲール多項式（\(p=0\) 以外）を省いた最も簡単な形で、一般の LG モードには節がもう一本入ります。04 節の \(\ell\le2\pi r/\lambda\) は「円周上の縞をナイキストで分解する」という素朴な見積もりで、実際の通信路容量は開口の形・伝搬距離・大気の乱れに依存します。\(\ell=10010\) は報告値で、本稿が検証したものではありません。05 節の「スピン 2 通り」は自由空間の横波としての数え方です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。