考える波 第 34 回 ／ 第 XIII 部・最先端を波として見る
マクスウェルとの違いは、たった一行
ヤン＝ミルズを波として見る ──
自分を散乱する波が、自由粒子になれない
違いは一行だけ ── 源に \(A\) 自身が入る。それだけで、重ね合わせが壊れ、古典の段階でカオスになります。
★★ そして決定的なのはここです ── グルーオンの応答関数が負になる（0.31 fm で符号反転）。
★ 「波が自由粒子になれない」── それが閉じ込めの、波の言葉でした。
★ 源に \(A\) 自身が入る ── 波そのものが源になる
波の言葉で言えば ── ★ 自分を散乱する波。
第 23 回で「非線形はフィルタという言葉を壊す」と書きました。ヤン＝ミルズは、それが基本法則の側にある場合です。
01重ね合わせが壊れることを、直接 見る
一様（空間依存を落とした）SU(2) ヤン＝ミルズは、これだけになります ── \(V=\frac12g^2x^2y^2\)（\(x,y\) は二つの色の振幅）。一色だけなら力はゼロで、自由に飛びます。
| 初期条件 | \(t=20\) での \(x\) | \(t=20\) での \(y\) |
|---|---|---|
| (A) \(x\) だけ励起 | 0.046561 | 1.453494 |
| (B) \(y\) だけ励起 | 1.465245 | 0.105107 |
| (C) 両方 同時 | −2.973227 | −0.127884 |
| ★ 重ね合わせなら (A)+(B) | 1.511806 | 1.558601 |
| \(t\) | (C) の \(x\) | (A)+(B) の \(x\) | 差 |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 1.005336 | 1.142569 | 1.37e−1 |
| 2.0 | −0.223459 | 1.086197 | 1.31e+0 |
| 20.0 | −2.973227 | 1.511806 | 4.49e+0 |
01節の中心
電磁波なら、この差は常にゼロです（マクスウェルは線形）。ヤン＝ミルズでは最初から違い、時間とともに開きます。
★ エネルギーも二つの色の間を行き来します（運動エネルギーが入れ替わり、総量は 0.180000000 で保存）。
── 光は光を散乱しない（第 23 回）。★ グルーオンはグルーオンを散乱する。そこだけが違いです。
02★ 古典の段階で、もうカオス
同じ模型でリャプノフ指数を測ります（近い二つの初期条件がどれだけ速く離れるか）。比較のため可積分な系も同じ方法で測ります。
| 系 | ポテンシャル | リャプノフ指数 \(\lambda\) | 判定 |
|---|---|---|---|
| 調和振動子（可積分） | \(\frac12(x^2+y^2)\) | 2.4e−9 | ★ ゼロ |
| ★ ヤン＝ミルズ（一様 SU(2)） | \(\frac12x^2y^2\) | 0.179128 | ★★ 正 ＝ カオス |
02節の中心
予測可能な時間の目安は \(1/\lambda=5.58\)（模型の単位）。
★ 第 23 回では「非線形は重ね合わせを壊す」と書きました。★★ ヤン＝ミルズはもう一段 進んで、予測可能性そのものを壊します。
電磁波なら初期条件を \(10^{-8}\) ずらしても永久に \(10^{-8}\) のまま。ヤン＝ミルズでは指数で開きます。
03走る結合 ── 真空が「分散性の媒質」になっている
11 はグルーオンの自己相互作用から、\(-\frac23n_f\) はクォークのループから
| エネルギー \(\mu\) [GeV] | 波長 \(\hbar c/\mu\) [fm] | \(\alpha_s\)（一ループ） |
|---|---|---|
| 1 | 0.19733 | 0.52513 |
| 4.18 | 0.04721 | 0.27401 |
| 91.19 | 0.00216 | 0.13494 |
03節の中心
結合が波長で変わる ＝ 真空が分散性の媒質。第 16 回の「実効光速は分散関係の傾き」と同じ構図で、ここでは実効的な結合の強さが波長に依ります。
★★ そして符号が電磁気と逆です ── 電磁気は遮蔽（近づくと強くなる）、強い力は反遮蔽（近づくと弱くなる）。
★ 「反遮蔽」＝ 波が媒質を硬くする。ふつうの媒質は波のエネルギーを吸って柔らかくなりますが、グルーオンの海は遠ざかるほど張力が上がります（第 25 回の弦）。
04★★ 正値性が破れる ── 波が自由粒子になれない
ここが本回の中心です。伝播関数を「波の応答」として読みます。
グリボフ型は \(k=0\) でゼロになり、極が複素数（\(k^2=\pm iM^2\)）── 実の質量がない
シュウィンガー関数（時間方向の相関）\(C(t)=\frac1\pi\int_0^\infty D(k)\cos kt\,dk\) を数値で作ります（\(M=0.7\) GeV）。
| \(t\) [1/GeV] | \(t\) [fm] | 湯川型 \(C(t)\) | ★ グリボフ型 \(C(t)\) | 符号 |
|---|---|---|---|---|
| 1.00 | 0.1973 | 3.547e−1 | 1.247e−1 | 正 |
| 1.50 | 0.2960 | 2.500e−1 | 1.459e−2 | 正 |
| 1.60 | 0.3157 | 2.331e−1 | −2.125e−3 | ★★ 負 |
| 3.00 | 0.5920 | 8.747e−2 | −1.042e−1 | ★★ 負 |
| 4.00 | 0.7893 | 4.344e−2 | −9.173e−2 | ★★ 負 |
04節の中心 ── ★★★ 本回の核心
応答関数が負になります。
★ 応答関数が正であることは、「その波が自由粒子として存在できる」条件です（確率が正である、という要請から来ます）。
★★ 負になる ＝ グルーオンは単独の波としては存在できない。
★ 湯川型（ふつうの粒子）はどこまで行っても正のまま ── この違いが、閉じ込めの波の言葉での正体です。
第 19 回・第 21 回で「情報は虚軸に住む」と書きました。グルーオンの極は実軸になく、複素平面の斜めにあります。だから振動しながら減衰し、符号が変わる。
05質量ゼロなのに、低周波の遮断がある
第 6 回：質量 ＝ 遮断周波数。グルーオンの質量はゼロです。ところが観測される最軽量のグルーボールは 1.73 GeV（対応する長さ 0.114 fm）── 遮断がある。
| 系 | 中身の波 | 遮断の理由 |
|---|---|---|
| 導波管（第 6 回） | 光（質量ゼロ） | ★ 横方向の境界 |
| ニオブの光子（第 18 回） | 光（質量ゼロ） | ★ 凝縮体（背景場） |
| ★ グルーオン | グルーオン（質量ゼロ） | ★ 自己相互作用（非線形） |
05節の中心
「質量ゼロの波でできた媒質に、低周波の遮断がある」── これは導波管です。
★★ 遮断の作り方は三通りあることになります ── 境界で作る、背景場で作る、★ 自分で作る。
第 25 回で「切片の作り方は二通り」と書きましたが、本回で三つ目（自己相互作用）が加わりました。
06線形の語彙のうち、何が生き残るか
| 線形の語彙 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| 重ね合わせ | × 壊れる | ★ 波が源になるので足せない |
| 伝達関数 \(H(\omega)\) | × 壊れる | 入力によって応答が変わる（第 23 回） |
| ★ 予測可能性 | × 壊れる | リャプノフ指数が正（02 節） |
| ★ 正値性 | × 壊れる | ★★ 応答関数が負になる（04 節） |
| 因果律 | ◎ 生き残る | 前進波のみ。第 12 回の制約はそのまま |
| エネルギー保存 | ◎ 生き残る | 色間を移るが総量は不変 |
| ゲージ不変性 | ◎ 生き残る | ★ そもそもこれが非線形の出どころ |
| 無次元量が効く | ◎ 生き残る | \(\alpha_s\)、\(N_c=3\)、R 比（第 25 回） |
06節の中心
第 23 回で「壊れたのはフィルタという語彙だけ」と書きました。★★ ヤン＝ミルズではもう二つ壊れます ── 予測可能性と正値性。
そして正値性が壊れることが、閉じ込めでした。
練習問題
- 「光は光を散乱しない」と言ったが、量子効果では光子・光子散乱がある。矛盾しないか。
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矛盾しません ── 階が違います。古典マクスウェルは厳密に線形で、光は光をまったく散乱しません。量子効果（電子ループを介したオイラー＝ハイゼンベルク項）で初めて \(\alpha^4\) の小さな非線形が出ます。
★ 第 16 回で計算した真空複屈折 \(\Delta n=3.97\times10^{-24}B^2\) が、まさにその大きさです ── 地球の磁場なら \(10^{-33}\)。
★★ ヤン＝ミルズの非線形は「ループの補正」ではなく「基本法則そのもの」で、大きさも \(g^2\) の桁。そこが決定的に違います。 - 04 節の \(D(k)=k^2/(k^4+M^4)\) が \(k=0\) でゼロになることは、波としてどう読めるか。
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「無限に長い波長では応答がゼロ」── つまり遠くまで届かない。ふつうの伝播関数 \(1/(k^2+m^2)\) は \(k\to0\) で \(1/m^2\) と有限に残り、それが湯川ポテンシャル \(e^{-mr}/r\) の「届く範囲」を作ります。
★ グリボフ型はそこがゼロ ── 長距離の応答が消えている。
★★ そして 04 節で見たとおり、その代償が時間領域で符号が変わることでした。「長距離に出さない」と「自由粒子になれない」は、同じ一つの性質の二つの見え方です。 - 02 節でカオスだと分かった。では量子化すると、閉じ込めはカオスのせいか。
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そうとは言えません ── 本稿はそこを示していません。古典カオスと量子的な閉じ込めは別の現象で、両者を結ぶ議論は確立していません。
★ 言えるのは「同じ自己相互作用が、古典ではカオスを、量子では正値性の破れを生む」という並びだけです。
★★ 正直に書くべき境界です ── このシリーズの作法（第 29・30 回）に従えば、「同じ原因から出た二つの現象」と「一方が他方を引き起こす」は別の主張。後者を言うには、示していない中身が要ります。
まとめ 自分を散乱する波は、自由粒子になれない
マクスウェルとの違いは一行でした ── 源に \(A\) 自身が入る。波そのものが源になる。
その一行から重ね合わせが壊れます。一様 SU(2) の模型で、(A) \(x\) だけ・(B) \(y\) だけ・(C) 両方 を解き比べると、(C) と (A)+(B) の差は \(t=20\) で 4.5 ── 電磁波なら常にゼロです。二つの色の間でエネルギーが行き来し、総量は保存（9 桁）。
★ 古典の段階でもうカオスです。リャプノフ指数は \(\lambda=0.179\)（調和振動子は \(2\times10^{-9}\)）── 第 23 回の「重ね合わせが壊れる」から一段 進んで、★ 予測可能性そのものが壊れます。
結合が波長で変わるのは真空が分散性の媒質だから。しかも \(\beta_0=11-\frac23n_f\) の符号が電磁気と逆で、反遮蔽 ── 波が媒質を硬くします。
★★ そして決定的なのは、グルーオンの応答関数が負になることでした。
グリボフ型の \(C(t)\) は \(t_0=0.3131\) fm で符号が反転（解析の予言と一致）。
湯川型（ふつうの粒子）はどこまでも正のまま。
★ 応答関数が正 ＝ その波が自由粒子として存在できる、という条件です。負になるということは、グルーオンは単独の波としては存在できない ── これが閉じ込めの、波の言葉での正体でした。
おまけに、質量ゼロなのに遮断がある（グルーボール 1.73 GeV）── 遮断の作り方は三通り：境界で作る、背景場で作る、★ 自分で作る。第 25 回の「二通り」に三つ目が加わりました。線形の語彙のうち壊れたのは、重ね合わせ・伝達関数・予測可能性・正値性の四つ。因果律・エネルギー保存・ゲージ不変性・無次元量は生き残ります。
★ 次回は「位相が角度の関数になる」とき ── 光の軌道角運動量（\(e^{i\ell\varphi}\)）と、偏光の幾何学的位相。
★★ 位相の巻き数は整数しか取れず、その整数が保存量になります。そしてポアンカレ球の上では ── 位相が「面積」として現れます。
この文書は「考える波」シリーズ第 34 回です。計算は kenshou/yangmills.js で行っています。本回の数値について：重ね合わせの検証、エネルギーの移動、リャプノフ指数、\(\alpha_s\) の走り、シュウィンガー関数は、すべて本稿で計算したものです。一様ヤン＝ミルズ（\(x^2y^2\) 模型）が古典カオスであること、漸近的自由と \(\beta_0=11-2n_f/3\)、グリボフ＝ツヴァンツィガー型の伝播関数と正値性の破れ、グルーボールの質量は、いずれもよく知られた結果で本稿の発見ではありません ── 本稿がしたのは、これらを「自分を散乱する波」という一つの言葉に並べ、線形の語彙のどれが壊れるかを整理したことです。01〜02 節の模型は空間依存を落とした玩具模型で、実際のヤン＝ミルズ場の一部の振る舞いしか捉えていません。04 節のグリボフ型は赤外の伝播関数の一つの模型で、\(M=0.7\) GeV も代表値です（格子計算の結果は定式化に依存し、符号反転の時刻も 0.3〜1 fm 程度の幅で報告されています）。正値性の破れ自体は格子でも確認されていますが、「正値性の破れ ⇒ 閉じ込め」は必要条件の側の議論であり、閉じ込めの証明ではありません（ヤン＝ミルズの質量ギャップ問題は未解決です）。05 節の弦の張力からの見積もりは桁のみで、係数は模型依存です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。