考える波 第 33 回 ／ 第 XIII 部・最先端を波として見る
レプトンの質量に、関係式はあるか
小出の式を波として読む ──
交流と直流の実効値が、等しかった
三つの \(\sqrt m\) を 120° 間隔で標本化した正弦波と見ると、小出の式は一行になります。
★ \(K=2/3\ \Longleftrightarrow\ A=\sqrt2\ \Longleftrightarrow\) 交流の実効値 ＝ 直流成分（実測で比 0.99999077、0 dB）。
★ ただし走らせると 200 倍 悪化します ── これは「極質量」というスキームだけの関係でした。
第 32 回で、ヒッグスは一つの次元 \(v\) を配る装置だと分かりました。けれど配る比（湯川結合）は何も説明できませんでした ── \(y_{\rm top}/y_e=3.4\times10^5\)。
★ では、質量どうしに関係式はないのか。荷電レプトン 3 つには、一つだけ 知られた関係があります。
01まず実測で確かめる ── そして K の取りうる範囲
10 万分の 1 で合っています。まず「\(K\) は何でも取れる値なのか」を確かめます。\(x_i=\sqrt{m_i}\) と置くと \(K=|x|^2/(\sum x)^2\) で、範囲は決まっています。
| 状況 | \(K\) |
|---|---|
| 三つとも等しい | 0.333333（下限） |
| 一つだけ極端に大きい | 1.000000（上限） |
| ★ 小出 | 0.666667 ── ちょうど真ん中 |
01節の中心
\(K\) は \(1/3\)〜\(1\) の間しか取れず、\(2/3\) はその真ん中です。だから「2/3 が出た」こと自体は、そこまで驚くことではありません。
★★ 驚くのは精度のほうです（\(10^{-5}\)）。07 節でそこを測ります。
02幾何で読む ── 45 度
| 量 | 値 |
|---|---|
| ★ 測った角度 \(\theta\) | 44.999735 度 |
| \(K=2/3\) なら | 45 度 ちょうど |
| \(\theta\) の取りうる範囲 | 0 〜 54.7356 度 |
02節の中心 ── ★ 第 29・30 回の作法を使う
45 度 と 5 桁 で一致します。では、この 45 度 は「半階の位相 45 度」（第 1 回）と同じものか。
★★ 却下します。別物です。
第 1 回の 45 度 は複素平面での位相（時間の遅れ）。本節の 45 度 は実 3 次元でのベクトルの向き。
住んでいる空間が違います。数字が同じでも、意味は共有しません。
03★★ 波として読む ── 120 度 間隔で標本化した正弦波
直流 \(\mu\)、交流の振幅 \(\mu A\)、位相 \(\delta\) ── 3 点の DFT そのもの
| 量 | 実測から |
|---|---|
| 直流 \(\mu=(\sum\sqrt m)/3\) | 17.715562 \(\sqrt{\rm MeV}\) |
| ★ 振幅比 \(A\) | 1.41420051 |
| 位相 \(\delta\) | 132.7328 度 |
ここで三相の恒等式を使います ── \(\sum_k\cos(\delta+2\pi k/3)=0\)、\(\sum_k\cos^2=3/2\)。δ を振っても \(3/2\) のまま（数値で 12 桁 確認）。これは三相交流の電力が一定になるのと同じ恒等式です。
03節の中心
★★★ 小出の式 \(K=2/3\) とは、\(A=\sqrt2\) のことでした。
\(\dfrac{1+A^2/2}{3}=\dfrac23\ \Longleftrightarrow\ A^2=2\)。実測 \(A=1.41420051\)、\(\sqrt2=1.41421356\) ── 相対差 \(-9.2\times10^{-6}\)。
04★★★ \(A=\sqrt2\) の意味 ── 交流と直流の実効値が等しい
振幅 \(A\) の正弦波の実効値（RMS）は \(A/\sqrt2\) です。だから ── \(A=\sqrt2\ \Longleftrightarrow\) 実効値 ＝ 1 ＝ 直流成分。
| 成分 | 値 [\(\sqrt{\rm MeV}\)] |
|---|---|
| 直流 \(\mu\) | 17.715562 |
| ★ 交流の実効値 \(\mu A/\sqrt2\) | 17.715398 |
| ★★ 比 | 0.99999077 ── \(-8.0\times10^{-5}\) dB |
04節の中心 ── ★ 本回の結論
★★★ 小出の式とは ──
「\(\sqrt{\text{質量}}\) の波の、交流と直流の実効値が等しい」
2/3 という半端な数より、こちらのほうが言いたいことが見えます。★ 交流成分が担う「電力」と、直流成分が担う「電力」が、ちょうど半々。
05予言する ── \(\tau\) の質量
\(m_e\) と \(m_\mu\) だけを入れて、\(K=2/3\) から \(m_\tau\) を解きます。
| 量 | 値 [MeV] |
|---|---|
| ★ 予言 \(m_\tau\) | 1776.969 |
| 実測 \(m_\tau\) | 1776.86 ± 0.12 |
| ★ 何 \(\sigma\) か | 0.91 σ |
入力を 1 ppm 動かすと予言は \(m_e\) で 0.156 keV、\(m_\mu\) で 1.62 keV 動きます。効くのは \(\mu\) の質量ですが、いまの精度（2.3e−8）なら十分。★ つまりこの式は反証可能です ── \(\tau\) の測定が 10 倍 精しくなれば決着します。
06★ 走らせると壊れる ── これは極質量の関係だった
このシリーズは第 5・18・28 回で「質量は走る」と繰り返してきました。小出比は無次元量なので（第 7 回の基準は満たす）、走らせても意味があります。
| スキーム | \(m_e\) | \(m_\mu\) | \(m_\tau\) | \(K\) | 2/3 との差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 極質量 | 0.51100 | 105.658 | 1776.86 | 0.666661 | −0.0009 % |
| ★ \(\overline{\rm MS}\) @ \(M_Z\) | 0.48657 | 102.718 | 1746.24 | 0.667929 | ★ +0.1894 % |
振幅比で見ると \(A\) は \(1.414201\to1.416889\)（\(\sqrt2=1.414214\)）。★★ ずれが 200 倍 悪化します。
06節の中心 ── ★ 重要な限界
小出の関係は「極質量というスキームでだけ」成り立っています。
基本的な関係式なら、ふつうはある物理的なスケールで成り立ってほしい。極質量は粒子ごとに違うスケールなので、理論的には落ち着きが悪い。
★ 二つの読み方があります（どちらが正しいかは本稿では決められません）：
① 偶然である（07 節で確率を測ります）
② 極質量に意味がある ── 第 28 回で書いたとおり、極質量は「その粒子が実際に飛ぶときの質量」。この読みを取るなら、小出の式は各レプトンを自分のスケールで測ったときの関係ということになります。検証の手立ては今のところ不明。
07★ どれくらい驚くべきか ── 対照実験
\(K\) は \(1/3\)〜\(1\) に収まり、\(2/3\) はその真ん中でした。では適当な三つ組で \(K\) が \(2/3\) の近くに来る確率は？\(\sqrt m\) を 0.7〜42（実際のレプトンと同じ広がり）で対数一様に \(2\times10^7\) 組 作りました。
| 相対差より近い | 当たった組 | 割合 | 何組に 1 つ |
|---|---|---|---|
| \(10^{-2}\) | 315474 | 1.58e−2 | 1 / 63 |
| \(10^{-3}\) | 31675 | 1.58e−3 | 1 / 631 |
| \(10^{-4}\) | 3192 | 1.60e−4 | 1 / 6270 |
| \(10^{-5}\) | 306 | 1.53e−5 | ★ 1 / 65,000 |
07節の中心 ── 正直な評価
★ 「2/3 が出た」ことはそこまで珍しくありません（範囲の真ん中だから）。
★★ 珍しいのは精度です ── 実測は \(9.2\times10^{-6}\)、乱数だと約 65,000 組に 1 つ。
★ ただし 06 節のとおり走らせると壊れるので、何かの近似かもしれません。
同じ式をクォークに使うと ──
| 三つ組 | \(K\) | \(A\) | 2/3 との差 |
|---|---|---|---|
| 荷電レプトン | 0.666661 | 1.414201 | −0.001 % |
| 上型クォーク (u,c,t) | 0.848981 | 1.758944 | +27.3 % |
| 下型クォーク (d,s,b) | 0.731428 | 1.545499 | +9.7 % |
★ クォークでは合いません。荷電レプトンだけの関係です ── そこも説明がついていません。
08おまけ ── 位相 \(\delta\) の数値
振幅 \(A\) は \(\sqrt2\) に決まりましたが、位相 \(\delta\) は何にも決まっていません。実測の値を見ておきます。
08節の中心 ── ★ 保留
★ 正直に書きます。\(\delta\) はデータに合わせた 1 個の自由パラメータです。
自由パラメータが単純な分数に 4 桁 で近いのは、確率 \(10^{-4}\) 程度の出来事。「気になる」止まりで、証拠ではありません。仕組みが要ります。
★ しかも 06 節のとおり \(\delta\) もスキーム依存です（走らせると動く）。
練習問題
- なぜ \(m\) ではなく \(\sqrt m\) なのか。波の言葉で言えるか。
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言えません ── そこが未解決です。ただし手がかりはあります：★ 第 32 回で \(m_f=y_f v/\sqrt2\) と見たので、\(\sqrt m\propto\sqrt{y}\)。つまり小出の式は「湯川結合の平方根」についての関係です。
★ 別の読み方として、振幅と強度の関係があります ── 波では強度 ∝ 振幅²。もし \(m\) が「強度」なら \(\sqrt m\) が「振幅」で、★ 小出の式は「振幅を三相で並べた」式になります。
★ ただしこれは語呂合わせの域を出ません。なぜ質量が強度なのかを言えていないからです。第 32 回の「値は説明できない」がここでも効いています。 - 07 節で「65,000 組に 1 つ」と出た。これは「小出の式は本物」の証拠か。
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証拠としては弱いです。理由は探索の自由度（look-elsewhere）。質量 3 つから作れる無次元の組み合わせは無数にあり、そのうち一つが \(10^{-5}\) で簡単な分数に当たる確率は、単一の式を事前に指定した場合よりずっと高い。
★ 小出の式が1981 年に τ の精密測定より前に提出されたという点は効きます（事後の当てはめではない）。
★★ 決着をつけるのは 05 節の反証可能性のほう ── \(m_\tau\) の測定精度が 10 倍 上がれば、0.9 σ が 9 σ になるか 0.9 σ のままかで判定できます。確率論ではなく、次の測定が決めます。 - 06 節で「走らせると壊れる」と分かった。それでもこの式を追う価値はあるか。
答えを見る
あります。ただし「何を説明すべきか」が変わります。走らせて壊れるということは、もし本物なら、極質量というスキームに物理的な意味があることになる ── これは強い主張で、検証できれば大きい。
★ 逆に言えば、「ある特定のスキームでだけ成り立つ関係」は、ふつう近似か偶然です。本稿はどちらとも決められません。
★ ★ 本回が付け加えたのは言い換えだけです ── ただし「なぜ 2/3 か」より「なぜ交流と直流の実効値が等しいのか」のほうが、探すべき仕組みの形がはっきりします。
まとめ 小出の式とは、AC = DC のことだった
第 32 回が残した「湯川結合の階層は説明できない」を受けて、荷電レプトンの唯一 知られた関係式を波として読みました。
三つの \(\sqrt m\) を 120° 間隔で標本化した正弦波 \(\sqrt{m_k}=\mu(1+A\cos(\delta+2\pi k/3))\) と見ると、三相の恒等式 \(\sum\cos^2=3/2\)（三相交流の電力が一定になるのと同じもの）から \(K=(1+A^2/2)/3\) が手で出ます。
★★★ したがって \(K=2/3\) とは \(A=\sqrt2\) のこと。そして振幅 \(A\) の正弦波の実効値は \(A/\sqrt2\) なので ──
★ 小出の式 ＝「\(\sqrt{\text{質量}}\) の波の、交流と直流の実効値が等しい」
実測の比 0.99999077（\(-8\times10^{-5}\) dB）
幾何では \((\sqrt m)\) が対角線と 44.999735 度（45 度 と 5 桁 一致）。ただしこの 45 度 は第 1 回の「半階の位相 45 度」とは別物です ── 実 3 次元の向きと複素平面の位相では住む空間が違う（第 29・30 回の作法）。
予言力もあります ── \(m_e,m_\mu\) から \(m_\tau=1776.969\) MeV（実測 1776.86 ± 0.12、0.91 σ）。\(\tau\) の測定が 10 倍 精しくなれば決着します。
★ ただし限界も明確です。\(M_Z\) まで走らせると \(K\) は \(2/3\) から 0.19 % ずれ、ずれが 200 倍 悪化 ── これは「極質量」というスキームだけの関係でした。クォークでは 10〜27 % 合いません。乱数の対照実験では \(10^{-5}\) 以内に来るのは約 65,000 組に 1 つで、精度は印象的ですが決定的ではありません。\(\delta\approx2/9\) の一致は自由パラメータ 1 個の 4 桁 一致で、保留です。
本回が付け加えたのは言い換えだけで、説明ではありません。なぜ \(A=\sqrt2\) なのかは分かっていません。ただ「2/3」より「AC = DC」のほうが、何を説明すべきかは はっきりします。
★ マクスウェルとの違いはただ一つ ── 波そのものが源になる。自分を散乱する波。
★★ すると古典の段階でカオスになり（リャプノフ指数を数値で測ります）、グルーオンの伝播関数は正値性が破れます ── ★ 波が自由粒子になれない、というのが閉じ込めの波の言葉でした。
この文書は「考える波」シリーズ第 33 回です。計算は kenshou/koide.js で行っています。本回の数値について：\(K\) の値、角度、3 点 DFT による \(\mu,A,\delta\)、三相恒等式の確認、\(m_\tau\) の予言と感度、走らせた場合の比較、乱数の対照実験は、すべて本稿で計算したものです。レプトンの極質量は PDG、\(M_Z\) での \(\overline{\rm MS}\) 質量とクォーク質量は文献の代表値です（後者は出典により数 % 動くので、06・07 節の数字はその程度の幅で読んでください）。小出の関係式そのもの、\(\sqrt{m_k}=\mu(1+\sqrt2\cos(\delta+2\pi k/3))\) というパラメータ表示、\((1,1,1)\) と 45 度 という幾何的な読み、\(\delta\approx2/9\) という一致は、いずれも既に知られている事実で本稿の発見ではありません ── 本稿がしたのは、これを「3 点 DFT の交流と直流」という波の言葉に翻訳し、\(A=\sqrt2\Leftrightarrow\) 実効値が等しい、という形に書き直したことと、走らせた場合の悪化と乱数の対照実験を実際に測ったことです。07 節の確率は「\(\sqrt m\) が対数一様」という仮定の下での値で、別の仮定を置けば変わります。また探索の自由度（look-elsewhere）は補正していません。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。