考える波 第 24 回 ／ 第 X 部・仮定を壊す
この連載でまだ一度も扱っていなかった波
重力波 ──
階数が一つ上の放射
波打っているのが時空そのもの。そして測る量は長さの比 \(h=\Delta L/L\) ── 無次元です。
電磁波が「双極子の二階微分の二乗」なら、重力波は「四重極の三階微分の二乗」。
★ 第 12 回で見た階数の梯子が、ここで一段 上がります。
この連載はずっと「何かが波である」と言ってきました。重力波だけは、波打っているのが時空そのものです。
そして測る量が最初から無次元 ── 第 7 回の結論が、ここでは定義になっています。
01測るのは無次元量
| 事象 | \(h\) | 腕 4 km での \(\Delta L\) [m] | 比較 |
|---|---|---|---|
| GW150914（2015） | \(10^{-21}\) | \(4\times10^{-18}\) | ★ 陽子の 1/1000 |
| GW170817（中性子星） | \(10^{-22}\) | \(4\times10^{-19}\) | |
| 連続波（パルサー）の上限 | \(10^{-26}\) | \(4\times10^{-23}\) | |
| 地面の振動（1 Hz） | \(10^{-9}\) | \(4\times10^{-6}\) | ★ 防振がなければ 12 桁 上 |
腕が伸びた量は \(4\times10^{-18}\) m ── 陽子の直径の 1/1000 です。それを 4 km の腕で測った。相対精度 \(10^{-21}\)。
02なぜ四重極なのか ── 階数で数える
| 多重極 | モーメント | 効く保存則 | なぜ放射しないか |
|---|---|---|---|
| 単極子（質量） | \(\sum m\) | 質量保存 | 時間微分がゼロ → 放射しない |
| 双極子（質量中心） | \(\sum m\,\mathbf{r}\) | 運動量保存 | ★ 二階微分がゼロ → 放射しない |
| ★ 四重極 | \(\sum m\,r_ir_j\) | 保存則がない | ★ ここから放射が出る |
02節の中心 ── 階数が一段 上がる
電磁波では双極子が生き残ります（電荷保存はあるが「電荷中心の保存」はない）。
重力では質量中心の運動が保存されるので、双極子まで消える。
放射の式を並べると ──
電磁波（第 12 回）：\(P=\dfrac{1}{6\pi\varepsilon_0c^3}\bigl\langle(\ddot{\mathbf{p}})^2\bigr\rangle\) ★ 双極子の二階微分の二乗
重力波：\(P=\dfrac{G}{5c^5}\bigl\langle(\dddot{Q})^2\bigr\rangle\) ★ 四重極の三階微分の二乗
★★ 空間の次数が一つ上がった分、時間の階数も一つ上がっています。
03なぜこんなに弱いのか ── 基準になるパワー
質量も長さも時間も含まない ── \(G\) と \(c\) だけでできている
| 事象 | パワー [W] | \(c^5/G\) との比 | 比較 |
|---|---|---|---|
| GW150914 のピーク | \(3.6\times10^{49}\) | \(9.9\times10^{-4}\) | ★ 宇宙で最も明るい事象 |
| 太陽の光度 | \(3.8\times10^{26}\) | \(1.1\times10^{-26}\) | |
| 銀河系 全体の光 | \(5\times10^{36}\) | \(1.4\times10^{-16}\) | |
| 観測可能な宇宙の星 全部 | \(\sim10^{49}\) | \(2.8\times10^{-4}\) | ★ 合体はこれと同程度 |
| プランクパワー | \(3.6\times10^{52}\) | 1 | ★ 理論的な上限 |
03節の中心 ── 重力波の逆説
GW150914 は一瞬だけ「宇宙の星 全部」と同じ明るさで輝きました。それでも \(c^5/G\) の 1/1000 です。
★ そして地球には満月なみのエネルギー流束が降り注いだのに、腕は陽子の 1/1000 しか動かない。
流れているエネルギーは大きいのに、物質との結合が弱すぎる。
04チャープ ── 合体までの時間が周波数を決める
★ 効くのは「チャープ質量」\(M_c\) だけ
| 連星 | \(m_1\) [M☉] | \(m_2\) [M☉] | \(M_c\) [M☉] | 35 Hz から合体まで [s] |
|---|---|---|---|---|
| GW150914 | 36 | 29 | 28.10 | 0.190 |
| GW170817（中性子星） | 1.46 | 1.27 | 1.185 | 37.19 |
| 等質量 10+10 | 10 | 10 | 8.706 | 1.339 |
| 等質量 100+100 | 100 | 100 | 87.06 | 0.029 |
GW150914 は 35 Hz から 0.19 秒 で合体 ── 実際の観測（約 0.2 秒）と一致します。中性子星の合体は 37 秒 ── だから長く追跡でき、ガンマ線バーストとの同時観測ができました。
| 合体まで \(\tau\) [s] | \(f\) [Hz] | \(f\cdot\tau^{3/8}\) |
|---|---|---|
| 10 | 7.92 | 18.776939 |
| 1 | 18.78 | 18.776939 |
| 0.1 | 44.53 | 18.776939 |
| 0.01 | 105.59 | 18.776939 |
04節 ── 第 13 回のチャープとは違う
きっかり \(-3/8\) 乗です。第 13 回の双曲線チャープ（\(-1\) 乗）とは違う指数 ── 対数周期にはなりません。
★ 理由は明確です ── 「合体までの時間」という特別な時刻があるから。
スケール不変な世界（第 20 回）には特別な時刻がなく、だから \(1/t\) だった。
── ★ 特別な時刻があるかないかが、チャープの指数を決めています。
05重力波の速さ ── 分散があるか
05節 ── 第 6 回の言葉に翻訳する
重力波と光の速さは \(10^{-15}\) の精度で同じでした。これで「重力波が光より速い／遅い」とする多くの模型が一掃されました。
そして重力子の質量に上限がつきます ── \(\omega^2=c^2k^2+(m_gc^2/\hbar)^2\) の遮断周波数の上限として。
| 粒子 | 質量の上限 [eV] | 到達距離の下限 [m] | たとえ |
|---|---|---|---|
| 光子（第 17 回） | \(10^{-18}\) | \(2.0\times10^{11}\) | 1.3 AU |
| 重力子 | \(1.3\times10^{-23}\) | \(1.6\times10^{16}\) | 0.50 pc |
★ 長さで比べると、重力子の下限のほうが \(7.9\times10^{4}\) 倍 長い。第 6 回の「質量があると遮断ができる」が重力にも当てはまりますが、どちらの遮断もまだ見つかっていません。
06偏光が 45° ── スピンが階数を決める
| 波 | スピン \(s\) | 偏光の直交角 | 場の階数 |
|---|---|---|---|
| 音波（縦波） | 0 | ── | 偏光がない |
| 電磁波 | 1 | 90° | ベクトル場。双極子放射 |
| ★ 重力波 | 2 | 45° | ★ 二階テンソル場。四重極放射 |
06節の結論
一般に、スピン \(s\) の場では偏光が \(90°/s\) で直交し、放射の最低次数が \(2^s\) 重極になります。
★ 「スピン」「多重極の次数」「偏光の角度」は、
同じ一つのことの三つの言い方でした。
07検出の限界 ── 第 22 回と合流する
LIGO の設計感度（100 Hz）≈ \(4\times10^{-24}\)/√Hz ── ★ 同じ桁
07節の中心
LIGO はすでに標準量子限界の近くで動いています。だから 2019 年からスクイーズド光を常用しています（第 22 回）。
★ 「積は動かせないが、配分は選べる」を、重力波望遠鏡が実装している。
| 手立て | 何を変えるか | 中身 |
|---|---|---|
| 腕を長くする | \(L\) を増やす | \(h=\Delta x/L\)。LISA は 250 万 km |
| 鏡を重くする | \(m\) を増やす | ★ SQL は \(\sqrt{\hbar\tau/m}\) |
| 光を強くする | 散射雑音を下げる | ただし輻射圧雑音が増える |
| ★ スクイーズ | 配分を変える | ★ 6 dB で 2 倍（第 22 回） |
| 低周波へ行く | \(\tau\) を伸ばす | ★ 地面振動との戦い → 宇宙へ |
08周波数帯の梯子 ── 第 3 回の観測窓に重力波を載せる
| 手法 | 下限 [Hz] | 上限 [Hz] | 周期 | 対象 |
|---|---|---|---|---|
| 地上干渉計（LIGO） | 10 | 5000 | 0.1 秒 | 恒星質量のブラックホール合体 |
| 宇宙干渉計（LISA） | \(10^{-4}\) | \(10^{-1}\) | 0.1 日 | 超大質量ブラックホール |
| パルサータイミング | \(10^{-9}\) | \(10^{-7}\) | 32 年 | ★ 超大質量連星の背景 |
| 宇宙背景放射（B モード） | \(10^{-18}\) | \(10^{-16}\) | 320 億年 | ★ インフレーション起源 |
08節 ── 第 3 回がそのまま効く
一番下の帯は周期 320 億年 ── 宇宙年齢より長い。だから直接は測れず、「偏光の模様」として痕跡を探します。
★ 第 3 回の「\(\omega=0\) には手が届かない」が、そのまま重力波にも当てはまる。
そして 2023 年、パルサータイミングの帯（周期 数年）で背景重力波の兆候が報告されました ── 超大質量ブラックホール連星の合唱。判定：複数の観測チームが同様の結果を出していますが、起源はまだ確定していません。
練習問題
- なぜ重力波の周波数は軌道周波数の 2 倍なのか。
答えを見る
四重極だから。四重極モーメント \(\sum m\,r_ir_j\) は、連星が半周すると元の配置に戻ります（二つの星が入れ替わっただけで、質量が同じなら区別がつかない）。
だから四重極は軌道周期の半分で元に戻り、周波数は 2 倍になります。
★ 一般に \(2^s\) 重極放射では周波数が軌道周波数の \(s\) 倍 ── スピンが周波数の倍率を決めている。 - 「満月なみのエネルギーが降ってきたのに何も起きない」を、第 6 回の言葉で。
答えを見る
結合が弱いからです。エネルギー流束が大きくても、物質がそれを吸収できなければ何も起きません。
光は電荷に結合し、その強さは \(\alpha=1/137\)。重力は質量に結合し、その強さは \(Gm^2/(\hbar c)\) ── 陽子どうしなら \(5.9\times10^{-39}\)。
★ 36 桁 の差です。だから同じエネルギー流束でも、重力波はほとんど吸収されずに通り抜けます。
★ そして「吸収されない」ことは、逆に長所でもあります ── 宇宙のどこから来ても減衰しないので、ブラックホール合体の瞬間が見える。 - チャープの指数が \(-3/8\) で、第 13 回が \(-1\) だったことの意味は。
答えを見る
特別な時刻があるかどうかです。
第 13 回・第 20 回の \(1/t\) は、時刻の原点が意味を持たないスケール不変な世界のものでした（\(t\to\mu t\) で形が変わらない）。
連星合体には「合体の瞬間 \(t_c\)」という特別な時刻があり、\(\tau=t_c-t\) が意味を持つ。そのためスケール不変性が破れ、指数が \(-1\) からずれます。
★ 指数 \(-3/8\) の出どころは四重極公式（\(f^{11/3}\)）で、第 14 回の「次元と力学が指数を決める」の一例です。
まとめ 階数が一つ上の放射
重力波では、波打っているのが時空そのものです。測る量は \(h=\Delta L/L\) ── 最初から無次元で、第 7 回の結論がここでは定義になっています。GW150914 の \(h=10^{-21}\) は、4 km の腕が陽子の 1/1000 動いたということ。
単極子は質量保存で、双極子は運動量保存で消えるので、放射は四重極から出ます。式を並べると ── 電磁波は双極子の二階微分の二乗、重力波は四重極の三階微分の二乗。★ 階数が一つ上がっています。
基準になるパワーは \(c^5/G=3.6\times10^{52}\) W（\(G\) と \(c\) だけでできている）。GW150914 のピークはその 1/1000 で、一瞬だけ「宇宙の星 全部」と同じ明るさ。地球での流束は 3 mW/m² ── 満月の光と同じ桁なのに、腕は陽子の 1/1000 しか動かない。エネルギーは大きく、結合が弱すぎる。
チャープは \(f\propto\tau^{-3/8}\)（数値で確認）。第 13 回の \(1/t\) と違うのは、「合体の瞬間」という特別な時刻があるからです。GW150914 は 35 Hz から 0.19 秒、中性子星は 37 秒。
GW170817 で \(|\Delta v|/c<4\times10^{-16}\)。偏光が 45° なのはスピン 2 ＝ 二階テンソルだから ── スピン・多重極の次数・偏光角は同じことの三つの言い方。そして LIGO の感度はすでに標準量子限界の近くで、第 22 回のスクイーズド光がそこで使われています。
★ 電磁波が双極子の二階微分なら、重力波は四重極の三階微分。
そして測る量は長さの比 ── 無次元だけが物理、がここでは定義だった。
強い相互作用と素粒子を、波として見るとどうなるか。★ クォークが閉じ込められているのは「箱」ではなく「弦」で、そこには波の梯子があります ── レッジェ軌道。
そして質量の起源（第 18 回）が、ここで完成します。
この文書は「考える波」シリーズ第 24 回です。計算は kenshou/juryoku.js で行っています。本回の数値について：\(h\)、ピークパワー、質量などはいずれも LIGO-Virgo の公表値からの代表値で、本稿が解析したものではありません。チャープ質量からの「35 Hz から合体まで」は点粒子近似のニュートン的（0 次ポスト・ニュートン）計算で、実際の波形は高次補正とスピンを含みます ── 0.19 秒 という値はその近似での数字です。エネルギー流束 3 mW/m² は \(h=10^{-21}\)、\(f=100\) Hz を代入した瞬間値で、実際のピークは数十ミリ秒しか続きません（時間平均すればずっと小さい）。満月の放射照度は約 \(10^{-3}\) W/m² という代表値と比べています。重力子の質量上限はパラメータ化された分散関係による LIGO-Virgo の代表値で、模型依存性があります。「観測可能な宇宙の星 全部」の光度 \(10^{49}\) W は非常に粗い見積もりです。パルサータイミングアレイの結果（2023）は複数チームから報告されていますが、超大質量ブラックホール連星起源かどうかは確定していません。第 07 節の SQL は第 22 回と同じ自由質量の式で、実際の LIGO の雑音予算はもっと複雑です。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。