考える波 第 17 回 ／ 第 VIII 部・実効定数を微分する

質量 → 速度 → 質量

有効質量 ──
質量の逆数は、分散関係の曲率だった 分散関係 \(\omega(k)\) を \(k=0\) のまわりで展開すると、こうなります ──
0 次が質量、1 次が速度、そして 2 次がまた質量。
★ 同じ言葉が、同じ曲線の違う特徴を指していました。

必要な道具：第 6, 10, 16 回計算：kenshou/yukou.js

第 6 回で質量は遮断周波数でした。第 16 回で光速は傾きでした。
どちらも同じ曲線 \(\omega(k)\) の、違う場所を見ていただけです。ならば、続きを見ましょう。

01分散関係をテイラー展開する

これが本回の骨格 $$\omega(k)=\omega_0+\Bigl(\frac{d\omega}{dk}\Bigr)k+\frac12\Bigl(\frac{d^2\omega}{dk^2}\Bigr)k^2+\cdots$$
次数テイラー係数物理的な意味出てきた回
0 次\(\omega_0\)★ 静止質量（遮断周波数 \(mc^2/\hbar\)）第 6 回
1 次\(d\omega/dk\)★ 群速度（実効光速）第 16 回
2 次\(d^2\omega/dk^2\)★ 有効質量の逆数 \(\hbar/m^*\)本回
4 次\(d^4\omega/dk^4\)相対論的補正、非放物線性本回 02節

01節の中心

質量 → 速度 → 質量

展開の 0 次と 2 次が、どちらも「質量」と呼ばれています。同じ言葉が、曲線の違う特徴を指している。

有効質量の定義を書き下すと ──

$$\frac{1}{m^*}=\frac{1}{\hbar^2}\frac{d^2E}{dk^2}$$

★ 質量の逆数 ＝ 分散関係の曲率。

02まず相対論で確かめる ── 0 次と 2 次

おなじみの展開 $$E=\sqrt{(mc^2)^2+(pc)^2}=\underbrace{mc^2}_{0\text{ 次}}+\underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{2\text{ 次}}-\underbrace{\frac{p^4}{8m^3c^2}}_{4\text{ 次}}+\cdots$$
\(v/c\)厳密 \(E\) [keV]2 次まで誤差4 次まで誤差
0.001510.9992510.9992\(1.3\times10^{-13}\)510.9992\(0\)
0.01511.0245511.0245\(1.3\times10^{-9}\)511.0245\(6.3\times10^{-14}\)
0.1513.5733513.5798\(1.3\times10^{-5}\)513.5732\(6.4\times10^{-8}\)
0.3535.6725536.2681\(1.1\times10^{-3}\)535.6433\(5.4\times10^{-5}\)
0.5590.0508596.1654\(1.0\times10^{-2}\)589.0682\(1.7\times10^{-3}\)

02節の結論

\(v/c=0.1\) までは、2 次だけで \(10^{-5}\) の精度。
ふつうの物理が「質量は定数」で済むのは、この放物線近似がよく効くからでした。

★ 逆に言えば ── 有効質量が「定数でなくなる」のは、放物線から外れたとき。
半導体では、これが高い電界で実際に起きます（非放物線性）。

03固体の中の電子 ── 有効質量は「跳び移りにくさ」

いちばん簡単な固体（強束縛近似） $$E(k)=-2t\cos(ka)\quad\Longrightarrow\quad E\approx-2t+ta^2k^2\quad\Longrightarrow\quad m^*=\frac{\hbar^2}{2ta^2}$$

\(t\)：隣へ跳び移る強さ、\(a\)：格子間隔
★ 跳び移りやすいほど軽い ── 有効質量とは「動きにくさ」そのもの

\(t\) [eV]\(a\) [nm]\(m^*/m_e\)（解析）（数値微分）差
0.10.304.2333134.233313\(8.6\times10^{-9}\)
0.50.300.8466630.846663\(7.8\times10^{-9}\)
1.00.300.4233310.423331\(7.8\times10^{-9}\)
3.00.300.1411100.141110\(8.9\times10^{-9}\)

03節 ── バンドの頂上では、質量が負になる

同じ式を \(k=\pi/a\)（バンドの頂上）で展開すると：

バンド底 \(k=0\)：\(m^*/m_e=+0.4233\)　　／　　バンド頂 \(k=\pi/a\)：\(m^*/m_e=-0.4233\)

★ 押すと逆に戻る ── これが正孔（ホール）の正体です。半導体工学の「\(p\) 型」は、この負の曲率に名前をつけたもの。

第 10 回では「階数の偶奇が時間の矢を決める」でした。ここでは ── 二階微分の符号が力の向きを決める。

04実在の材料 ── 4 桁 にわたる質量

材料\(m^*/m_e\)サイクロトロン周波数 @1 T用途
自由電子（真空）128.0 GHz基準
シリコン（伝導帯）0.26108 GHz集積回路
ゲルマニウム0.12233 GHz初期のトランジスタ
ガリウムヒ素0.067418 GHz高速デバイス・レーザー
インジウムアンチモン0.0142.00 THz★ 自由電子の 1/70
重い電子系（\(\mathrm{UPt_3}\) など）\(\sim200\)140 MHz★ 自由電子の 200 倍

★ ここが第 4 回との対比

第 4 回では「\(c\) は定義値だから微分できない」でした。
ところが有効質量は、材料を変えれば 4 桁 変わります ── 微分どころか、自由に設計できる。

違いはどこにあるか。\(c\) は単位系の一部ですが、\(m^*/m_e\) は無次元の比です。
★ 第 7 回の結論がまた効いています ── 動かせるのは、いつでも無次元量のほう。

05グラフェン ── 質量ゼロ・光速 \(c/300\) の世界

原点で「円錐」になる $$E=\pm\hbar v_F|k|,\qquad v_F\approx1.0\times10^6\ \text{m/s}=\frac{c}{300}$$

★ 質量ゼロの粒子の分散関係そのもの（\(E=pc\) の \(c\) を \(v_F\) に置き換えた形）

ここで面白いことが起きます。この世界の微細構造定数を計算してみると ──

実効光速が小さいと、結合が強くなる $$\alpha_{\text{graphene}}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar v_F}=\alpha\cdot\frac{c}{v_F}=0.00729735\times299.8=\mathbf{2.19}$$

05節の中心 ── 机の上の強結合 QED

\(\alpha_{\text{graphene}}=2.2\) ── 1 より大きい。
第 5 回で走らせた \(\alpha\) は、真空では 1/137 から 1/129 まででした。ここでは 2.2 ── ★ 摂動論が使えない領域が、机の上にあります。

理由は式を見れば明らかです ── \(\alpha\propto1/c\) なので、実効光速を 300 分の 1 にすれば、結合は 300 倍 になる。
「光が遅い世界では、電磁気力が強い」。

質量ゼロなのに、サイクロトロン質量は定義できます ── \(m_c=E_F/v_F^2\)。

フェルミ準位 \(E_F\) [eV]\(m_c/m_e\)
0.010.00176
0.050.00879
0.100.01759（よくある実験条件）
0.300.05277

質量がエネルギーに比例する ── これは相対論的な分散関係の特徴です。静止質量ゼロの粒子に「質量」を感じさせているのは、運動エネルギーだけ。
★ 次回の主題（陽子の質量の 99 % は運動エネルギー）の、机上版になっています。

06光子に質量を持たせる ── 超伝導体の中

第 6 回では「質量＝遮断周波数」でした。逆をやります ── 遮断周波数を作ってやれば、光子に質量が生えます。

マイスナー効果は、エバネッセント減衰そのもの $$\lambda_L=\frac{\hbar}{m_\gamma c}\qquad\Longrightarrow\qquad m_\gamma=\frac{\hbar}{\lambda_L c}$$
物質\(\lambda_L\) [nm]光子の質量 [kg]エネルギー [eV]
アルミニウム16\(2.20\times10^{-35}\)12.33
鉛37\(9.51\times10^{-36}\)5.33
ニオブ39\(9.02\times10^{-36}\)5.06
YBCO（高温超伝導）150\(2.35\times10^{-36}\)1.32

06節の中心 ── ヒッグス機構の縮小版

ニオブの中では、光子は 5.06 eV の質量を持ちます。

これはヒッグス機構の、そのままの縮小版です ── 超伝導の凝縮体が光子に質量を与える／ヒッグス場が W・Z に質量を与える。同じ一本の式です。

確かめてみます：

W ボソン：質量 80.377 GeV、到達距離 \(\hbar/(M_Wc)=2.455\times10^{-18}\) m
ニオブの光子：質量 5.06 eV、到達距離 \(3.900\times10^{-8}\) m

質量の比 \(1.588\times10^{10}\)　／　長さの比 \(1.589\times10^{10}\)　／　比の比 \(=0.999934\)

★ 「弱い力が弱い」と「超伝導体が磁場を締め出す」が、まったく同じ式で結ばれている ── その確認です。

07真空の光子には、本当に質量がないのか

上限を「遮断周波数」に翻訳する $$m_\gamma<10^{-18}\ \text{eV}\quad\Longrightarrow\quad f_c<2.42\times10^{-4}\ \text{Hz}\quad\Longrightarrow\quad \text{周期}>69\ \text{分}$$ $$\text{到達距離}\ \lambda=c/\omega_c>1.97\times10^{11}\ \text{m}=1.3\ \text{AU}$$

07節 ── 第 3・4 回に戻ってくる

真空は「周期 1 時間 より長いところに遮断があるかもしれない導波管」という状態です。それ以上は分かりません。

★ つまり ── 「光子の質量はゼロ」という主張は、「遮断周波数が観測窓より下」という主張でした。
第 3 回の「物理定数 ＝ 周期が観測窓より長い成分」と、まったく同じ構造です。低周波側は、いつでも「まだ見えていない」。

08「質量」という言葉が指しているもの

呼び名定義正体出たところ
静止質量\(\omega_0=mc^2/\hbar\)分散関係の切片第 6 回
有効質量 \(m^*\)\(\hbar/(d^2\omega/dk^2)\)★ 分散関係の曲率本回
サイクロトロン質量\(\hbar k/(d\omega/dk)\)傾きと位置の比本回 05節
光子の質量（媒質中）\(\hbar/(\lambda c)\)減衰長の逆数本回 06節
縦質量・横質量方向ごとの曲率異方性のある結晶──

08節の結論

「質量」は一つの量ではなく、分散関係の読み方の名前だった。

切片を読めば静止質量、曲率を読めば有効質量、減衰長を読めば媒質中の光子質量。全部 同じ曲線 \(\omega(k)\) の特徴量です。

練習問題

  1. 「重い電子系」で電子の質量が 200 倍 になるのは、電子そのものが重くなったのか。
    答えを見る
    いいえ。電子は電子のままで、変わったのは分散関係の曲がり方です。
    \(f\) 電子と伝導電子が強く混じると、フェルミ準位のあたりでバンドが極端に平らになります ── 平らなバンド ＝ 曲率が小さい ＝ 有効質量が大きい。
    ★ 第 3 節の言葉では「跳び移りにくい」。\(m^*=\hbar^2/(2ta^2)\) の \(t\) が小さい状態です。重いのは電子ではなく、電子が置かれた環境のほう。
  2. グラフェンで \(\alpha=2.2\) になることの意味を、第 5 回の言葉で。
    答えを見る
    第 5 回で \(\alpha\) は \(\ln E\) について走りました。真空では 1/137 から 1/129 まで ── 常に 1 よりずっと小さく、摂動論が使えます。
    グラフェンでは \(\alpha_g=\alpha\,c/v_F=2.2\) なので、展開パラメータが 1 を超えています。ファインマン図を足しても収束しません。
    ★ ただし実際のグラフェンでは遮蔽によって実効的な \(\alpha_g\) は 1 以下に下がると考えられており、「真に強結合か」は議論があります。本稿が計算したのは遮蔽を入れない裸の値です。
  3. 「光子の質量ゼロ」は、どうすれば反証できるか。
    答えを見る
    遮断周波数を見つければよい。具体的には ──
    ① 低周波の電磁波が伝わらなくなる周波数を探す（真空の「導波管カットオフ」）
    ② クーロン則が \(1/r^2\) から外れる距離を探す（湯川型のずれ）
    ③ 惑星や銀河の磁場が、期待より速く減衰していないか調べる
    ★ どれも「もっと低い周波数／もっと長い距離」へ行くという一つの方向です ── 第 3 回の「\(\omega=0\) には手が届かない」の、具体的な形。だから上限は下がり続けても、ゼロは証明できません。

まとめ　質量 → 速度 → 質量

分散関係を \(k=0\) で展開すると、0 次が静止質量、1 次が群速度、2 次が有効質量の逆数でした。同じ言葉が、同じ曲線の違う特徴を指している。

相対論で確かめると、\(v/c=0.1\) までは 2 次だけで \(10^{-5}\) の精度 ── 「質量は定数」で済むのは、放物線近似がよく効くからでした。

固体では \(m^*=\hbar^2/(2ta^2)\)。跳び移りやすいほど軽く、バンドの頂上では負になります（正孔）。実在の材料では 0.014 から 200 まで 4 桁 ── 質量は設計できるパラメータでした。

グラフェンは 質量ゼロ・実効光速 \(c/300\) の世界で、そこでは \(\alpha_{\text{graphene}}=2.19\) ── 光が遅い世界では、電磁気力が強い。

超伝導体の中では光子に質量が生えます（ニオブで 5.06 eV）。W ボソンとの質量比と長さ比が \(10^{-4}\) の精度で一致 ── 「弱い力が弱い」と「磁場が締め出される」は同じ式でした。

★ 質量の逆数は、分散関係の曲率だった。
そして「光子の質量ゼロ」とは、「遮断周波数が観測窓より下」という主張だった。

この文書は「考える波」シリーズ第 17 回です。計算は kenshou/yukou.js で行っています。本回の数値について：強束縛近似の \(m^*\) は一次元・最近接のみの模型で、解析式と数値微分が \(10^{-8}\) で一致することを確認しています（模型の中での整合であって、実材料の値ではありません）。表の有効質量は代表値で、実際には方向やドーピングで変わります（シリコンは縦 0.98・横 0.19 の異方性があり、0.26 は伝導度有効質量）。重い電子系の 200 は物質と温度で大きく変わる目安です。ロンドン侵入長は温度と試料に強く依存し、文献値には幅があります ── 表の値は \(T\to0\) の代表値で、そこから計算した「光子の質量」は本稿の換算です。\(\alpha_{\text{graphene}}=2.19\) は遮蔽を入れない裸の値で、実効的な結合はこれより小さいと考えられています。光子質量の上限 \(10^{-18}\) eV は文献にある代表値で、測定方法によって \(10^{-14}\) から \(10^{-27}\) eV まで幅があります（仮定の強さと引き換えです）。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。

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