考える波 第 8 回 ／ 第 IV 部・波に課される制約
たった一行が、全部を縛る
因果律 ──
フィルタは、未来を知らない
「すべてはフィルタ」という見方に、物理が課す条件はただ一つ ── \(h(t)=0\)（\(t<0\)）。
入力より先に出力は出ない。それだけです。
ところがこの一言から、分散も、総和則も、理想フィルタの禁止も出ます。
ここまで「物理はフィルタの連なり」と見てきました。では、どんなフィルタでも許されるのか。
許されません。そして禁止の仕方が、驚くほど強い。
01まず、禁止されるものを見る
「遮断周波数までは全部 通し、その上は全部 止める」── 理想的な低域通過フィルタ。この伝達関数を逆フーリエ変換すると：
| \(t\) [ms] | \(h(t)/h(0)\) | 判定 |
|---|---|---|
| \(-2.00\) | 0.000000 | ★ 未来を使っている |
| \(-1.00\) | \(-0.000000\) | ★ 未来を使っている |
| \(-0.50\) | \(-0.000000\) | ★ 未来を使っている |
| \(-0.25\) | 0.636620 | ★ 未来を使っている |
| 0.00 | 1.000000 | |
| \(+0.25\) | 0.636620 |
01節の結論
理想フィルタは、物理的に実現できません。
\(t=-0.25\) ms で応答が 0.64 もある ── 入力が来る 0.25 ms 前に、もう出力が出ている。
「遷移帯域が要る」のは技術の限界ではなく、因果律の帰結でした。
02一般則 ── クラマース＝クローニッヒ関係
\(h(t)\) が片側なら、その変換 \(\chi(\omega)=\chi'+i\chi''\) は上半平面で解析的になります。コーシーの積分定理から：
★ 実部と虚部は独立ではない。片方から他方が決まる
実際に確かめます。ローレンツ振動子（減衰調和振動子）\(\chi(\omega)=1/(\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega)\) で、虚部だけを使って実部を再現します。
| \(\omega\) | \(\chi'\)（直接） | \(\chi'\)（K-K 積分） | 相対差 |
|---|---|---|---|
| 0.30 | 1.094145 | 1.094145 | \(6.1\times10^{-13}\) |
| 0.60 | 1.509434 | 1.509434 | \(4.1\times10^{-13}\) |
| 0.90 | 2.773723 | 2.773723 | \(2.0\times10^{-13}\) |
| 1.20 | \(-1.751592\) | \(-1.751592\) | \(3.8\times10^{-13}\) |
| 2.00 | \(-0.327511\) | \(-0.327511\) | \(2.0\times10^{-12}\) |
02節の中心
13 桁 一致しました。吸収（虚部）だけから、分散（実部）が完全に再現できる。
これは近似ではありません。因果律という一行から出る、厳密な関係です。
03物理的な意味 ── 吸収なしに、分散なし
| 条件 | 帰結 | 意味 |
|---|---|---|
| 吸収がゼロなら | \(\chi''\equiv0\Rightarrow\chi'=\)一定 | 屈折率が振動数によらない ＝ 分散なし |
| どこかで吸収があれば | \(\chi'\) が振動数依存 | 必ず分散する |
| 逆も真 | 分散があれば吸収がある | ★ 透明で分散する媒質は存在しない |
ガラスが色を分ける理由
プリズムが虹を作るのは、ガラスが紫外に吸収帯を持っているからです。可視光では完全に透明なのに、遠くの吸収線が分散を作っている ── それが因果律の要求です。
（この主題は姉妹シリーズ「わかる屈折」の「屈折と吸収は同じ関数」と同じ話です。）
そして第 5 回で使った \(\Delta\alpha_{\text{had}}\) も、この関係で得られていました ── \(e^+e^-\to\)ハドロンの断面積（虚部）を測り、分散関係で実部に変換する。計算できない量を、測定と因果律で埋めている。
04総和則 ── 積分すると、電子の数が出る
★ 吸収スペクトルを全周波数で積分すると、電子の数密度が出る
驚くべきなのは、これが振動子の位置にも幅にもよらないことです。振って確かめました。
| \(\omega_0\) | \(\gamma\) | \(\int\omega\varepsilon''d\omega\) | \(\pi/2\) からの相対差 |
|---|---|---|---|
| 0.5 | 0.10 | 1.570791 | \(3.2\times10^{-6}\) |
| 1.0 | 0.20 | 1.570786 | \(6.4\times10^{-6}\) |
| 2.0 | 0.50 | 1.570771 | \(1.6\times10^{-5}\) |
| 5.0 | 1.00 | 1.570746 | \(3.2\times10^{-5}\) |
04節の中心
位置も幅も変えたのに、全部 \(\pi/2\)。
総和則は「何個あるか」だけを数えていて、どんな形で吸収するかには依らない。
★ だから実測スペクトルの検算に使えます ── 積分が合わなければ、見落とした吸収帯がある。
05第 1〜2 回の操作を、因果律で採点する
| 操作 | 判定 | 理由 |
|---|---|---|
| 微分 \(d/dt\) | ○ ぎりぎり因果的 | \(h(t)=\delta'(t)\)。\(t=0\) に集中しており、\(t<0\) には無い |
| 積分 \(\int_0^t\) | ○ 因果的 | \(h(t)=\) ステップ関数。過去だけを見る |
| 分数階（前進） | ○ 因果的 | 記憶核 \((t-\tau)^{-\alpha}\) は過去のみ |
| 理想低域通過 | × 非因果的 | sinc が両側に広がる（01 節） |
| ヒルベルト変換 | × 非因果的 | ★ 位相を 90° 回すだけの操作も、未来が要る |
05節の中心
面白いのは最後の二つです。「振幅は変えず位相だけ 90° 回す」という、一見 無害な操作が非因果的。
因果律は「何を通すか」ではなく「実部と虚部の関係」を縛っています。
そして第 2 回の分数階微分は、ちゃんと因果的でした ── 記憶核が過去しか見ないから。あの「記憶」は、因果律と両立する形をしていたのです。
06どこまで急に切れるか ── ペイリー＝ウィーナー
これを満たさない ＝ 減衰が速すぎる ＝ 因果的に実現できない
| 減衰の形 | 可否 | 理由 |
|---|---|---|
| \(1/\omega\)（一次のフィルタ） | ○ | \(\ln\) は対数的にしか増えない |
| \(e^{-\omega/\omega_c}\) | ○ | \(\ln\) が線形。積分は収束する |
| \(e^{-\omega^2/\omega_c^2}\)（ガウス） | × | ★ \(\ln\) が \(\omega^2\) で増える。発散 ── 実現できない |
| ある周波数から厳密に 0 | × | \(\ln\) が \(-\infty\)。理想フィルタ |
ガウシアンフィルタは、厳密には因果的でない
画像処理で日常的に使えるのは、時間方向ではなく空間方向だからです。
空間には「未来」が無いので、因果律の制約がかかりません。── 同じ数式でも、どの軸に適用するかで可否が変わる。
練習問題
- 「吸収がゼロなら分散もゼロ」を、日常の例で説明せよ。
答えを見る
真空です。真空はどの振動数も吸収しないので、どの振動数も同じ速さ \(c\) で進みます（分散なし）。
一方ガラスや水は、紫外や赤外に吸収帯を持つので、可視光でも分散する ── 虹ができる。
「透明なのに虹を作らない物質」は、因果律により存在しません。 - 総和則が実験の検算に使える理由。
答えを見る
積分値が電子の数密度だけで決まり、スペクトルの形によらないから。
測ったスペクトルを積分して \(\pi\omega_p^2/2\) に足りなければ、見落とした吸収帯がどこかにあるということです。
「何を測り忘れたか」を、測る前に知ることができる── 強力な道具です。 - ヒルベルト変換が非因果的なのに、実際の信号処理で使われるのはなぜか。
答えを見る
遅延を入れるから。全体を \(T\) だけ遅らせれば、\(-T
「非因果的な操作＝遅延を許せば近似できる操作」── リアルタイム処理で遅延が許されない場面では、精度が落ちます。
まとめ 未来を使うな、それだけ
「すべてはフィルタ」という見方に、物理が課す条件はただ一つ ── \(h(t)=0\)（\(t<0\)）。
そこから理想フィルタの禁止が出ます（sinc が両側に広がる ── \(t=-0.25\) ms で応答 0.64）。遷移帯域が要るのは技術ではなく原理の限界でした。
そしてクラマース＝クローニッヒ関係。虚部（吸収）だけから実部（分散）が決まります ── ローレンツ振動子で 13 桁 一致を確認しました。帰結は「透明で分散する媒質は存在しない」── プリズムが虹を作るのは、ガラスが紫外に吸収帯を持つからです。
総和則はさらに強く、\(\int\omega\varepsilon''d\omega=\pi\omega_p^2/2\) が振動子の位置にも幅にもよらない（\(10^{-5}\) で確認）。何個あるかだけを数えている。
そして第 1〜2 回の操作を採点すると ── 分数階微分はちゃんと因果的でした（記憶核が過去しか見ない）。一方「位相だけ 90° 回す」ヒルベルト変換は非因果的。
因果律は「何を通すか」ではなく「実部と虚部の関係」を縛っている。
次回は、フィルタの時間幅と周波数幅を縛る定理を扱います ── \(\Delta\omega\,\Delta t\ge1/2\)。
これは純粋にフーリエの定理で、量子力学とは無関係です。ところが \(\hbar\) を掛けると、不確定性原理そのものになります。
この文書は「考える波」シリーズ第 8 回です。計算は kenshou/inga.js で行っています。本回の数値について：K-K の数値検証は、主値積分を「特異点を引き算して正則化する」方法で行いました（素朴に格子点を飛ばすと共鳴付近で 30 % ずれます ── 実際に一度 踏みました）。13 桁の一致は、被積分関数が有理関数で滑らかなためで、実測スペクトルに適用する際はこれほどの精度は出ません。総和則の数値積分は上限 \(\omega=2\times10^4\) で打ち切っており、相対差 \(10^{-5}\) はこの打ち切りによるものです（\(\gamma=0.02\) の細い共鳴では格子が足りず \(4\times10^{-3}\) まで悪化します）。クラマース＝クローニッヒ関係とペイリー＝ウィーナーの条件はいずれも確立した定理で、本稿で導出したものではありません ── 本稿がやったのは数値による確認です。ローレンツ振動子は単一振動子・振動子強度 1 の理想化で、実際の物質では多数の振動子の和になります。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。