考える波 第 2 回 ／ 第 I 部・道具をつくる

微分と積分のあいだを、連続にする

半分だけ微分する ──
そして、それは実在した 微分が \(\times(i\omega)^1\)、積分が \(\times(i\omega)^{-1}\) なら、指数を整数に限る理由がありません。
\(\alpha\) を連続に動かすと dB/oct \(=6\alpha\)、位相 \(=90\alpha\) 度 ── きれいに繋がります。
そして \(\alpha=-1/2\) は、電池の研究室で毎日 測られている量でした。

必要な道具：第 1 回計算：kenshou/bunsuu.js

前回、微分と積分がフーリエ上での掛け算だと分かりました。ならば、その中間はあるのか。
あります。しかも数学の遊びではなく、測定される物理量です。

01指数を連続にする

分数階微分の定義（フーリエ側） $$D^\alpha\ \longrightarrow\ \times(i\omega)^\alpha=|\omega|^\alpha\exp\!\left(i\,\frac{\alpha\pi}{2}\,\mathrm{sgn}\,\omega\right)$$

実際に \(\alpha\) を動かして測ります。前回と同じ信号で、2 オクターブ差の 2 音を比べます。

\(\alpha\)振幅比（2 oct）dB/oct位相の進み
\(-1.00\)0.2500\(-6.02\)\(-90.0°\)積分
\(-0.50\)0.5000\(-3.01\)\(-45.0°\)★ 半積分
\(0.00\)1.0000\(0.00\)\(0.0°\)そのまま
\(+0.25\)1.4142\(+1.51\)\(+22.5°\)
\(+0.50\)2.0000\(+3.01\)\(+45.0°\)★ 半微分
\(+1.00\)4.0000\(+6.02\)\(+90.0°\)微分
\(+2.00\)16.0000\(+12.04\)\(180.0°\)二階微分

01節の結論

$$\text{dB/oct}=6\alpha,\qquad \text{位相の進み}=90\alpha\ \text{度}$$

整数の間が、まったく滑らかに繋がっています。
\(\alpha=1/2\) なら \(+3\) dB/oct、位相 \(+45°\)。

02半微分は実在する ── 毎日 測られています

「半分だけ微分する」は抽象的に見えますが、電気化学の実験室では日常です。

ワールブルグ・インピーダンス $$Z(\omega)\ \propto\ \frac{1}{\sqrt{i\omega}}\ =\ (i\omega)^{-1/2}$$

半無限の媒質に物質が拡散するときの、境界でのインピーダンス
これは「半積分」そのもの

電池・燃料電池・腐食の測定で必ず出てきます。ナイキスト線図に 45° の直線として現れるのが、この \(\alpha=-1/2\) です（位相 \(-45°\)、前節の表のとおり）。

現象階数 \(\alpha\)内容状況
ワールブルグ拡散\(-1/2\)半無限拡散の境界条件★ 日常的に測定される
異常拡散可変\(\langle x^2\rangle\propto t^\alpha\)、\(\alpha\ne1\)生体内・多孔質媒体
粘弾性（スプリングポット）\(0\sim1\)応力 \(\propto D^\alpha(\text{ひずみ})\)ゴム・生体組織・アスファルト
コール＝コール緩和\(0\sim1\)\(\varepsilon(\omega)=\varepsilon_\infty+\dfrac{\Delta\varepsilon}{1+(i\omega\tau)^\alpha}\)液体・高分子の誘電測定

共通点があります

分数階が出るのは、どれも「境界」か「乱れた媒質」です。
ワールブルグは媒質全体の拡散を境界の 1 点に押し込めた結果。粘弾性は高分子の内部自由度を消した結果。
── この観察が、次節の仮説につながります。

03なぜ物理は、ふつう整数階なのか

ここが深いところです。分数階微分を時間領域で書き下すと、正体が見えます。

分数階微分（リーマン＝リウヴィル） $$D^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dt}\int_0^t \frac{f(\tau)}{(t-\tau)^\alpha}\,d\tau$$

★ 積分が入っている ── 過去 全部を見ている

階数性質意味記憶核
整数階（\(\alpha=0,1,2\dots\)）局所その瞬間の値だけで決まるなし（マルコフ的）
分数階（非整数）非局所過去の重み付き和\((t-\tau)^{-\alpha}\)（べき乗）

【仮説】03節

物理法則がほぼ整数階なのは、自然が局所的（記憶を持たない）だからではないか。

逆に言えば ── 分数階が現れる場所は、必ず「自由度を積分で消した後」です。
ワールブルグなら媒質全体の拡散を境界に押し込めた結果、粘弾性なら高分子の内部自由度を消した結果。

※ これは本稿の推測です。ただし検証可能な形にはなっています ──
「分数階の系は、必ず隠れた自由度の粗視化で説明できるはず」。

04雑音のスペクトル ── 自然はどの階数を使っているか

白色雑音を作り、階数 \(\alpha\) で積分して、スペクトル指数 \(\beta\)（\(S(f)\propto f^{-\beta}\)）を測ります。

\(\alpha\)測定した \(\beta\)名前
\(0\)\(-0.032\)白色雑音
\(-0.25\)\(0.467\)
\(-0.50\)\(0.966\)★ ピンク雑音（1/f）＝ 半積分
\(-0.75\)\(1.466\)
\(-1.00\)\(1.965\)ブラウン雑音（1/f²）
\(-1.50\)\(2.965\)黒色雑音（1/f³）
関係は厳密 $$\beta=-2\alpha$$

整数階の積分は \(\beta\) を 2 ずつ動かす
★ \(\beta=1\)（1/f 雑音）には、整数階では到達できない

05【仮説】1/f 雑音は、自然の半積分ではないか

1/f 雑音は、あらゆる場所に現れます。

・
半導体素子の電流揺らぎあらゆる素子で観測される
・
水晶発振器の位相雑音時計の精度を最終的に制限する
・
心拍の間隔健康な心臓ほど 1/f に近いとされる
・
音楽の音量変化バッハもビートルズも 1/f
・
河川の流量・交通量・株価物理の外にも現れる

そして 1/f 雑音の起源には、いまだに統一的な説明がありません。白色（\(\beta=0\)）とブラウン（\(\beta=2\)）は素直に説明できるのに、ちょうど真ん中の \(\beta=1\) だけが謎として残っている。

【仮説】05節

\(\beta=1\) が特別なのは、それが「半積分」だからではないか。

現在の標準的な説明は「緩和時間の広い分布の重ね合わせ」です。時定数 \(\tau\) が \(1/\tau\) の密度で分布していれば、確かに 1/f が出ます ── 実際に検算しました：

周波数 [Hz]重ね合わせた \(S(f)\)\(f\cdot S(f)\)（一定なら 1/f）
0.01\(1.567\times10^{2}\)\(1.567\)
0.1\(1.567\times10^{1}\)\(1.567\)
1\(1.567\)\(1.567\)
10\(1.566\times10^{-1}\)\(1.566\)
100\(1.531\times10^{-2}\)\(1.531\)

正直に書きます

\(f\cdot S(f)\) はほぼ一定 ── 「時定数が対数一様に分布していれば 1/f」は正しい。
しかしそれは「なぜ \(1/\tau\) 分布なのか」を問い直しただけです。
本稿の立場は「半積分という見方を加えると、少なくとも問いの形が変わる」という程度のものです。解決したとは主張しません。

06【仮説】微分階数には、上限がある

力学の量を、位置からの微分階数で並べます。

階数 \(\alpha\)名前備考
\(-1\)absement名前はあるが、ほぼ使われない
\(0\)位置 \(x\)
\(1\)速度 \(v\)
\(2\)加速度 \(a\)★ ニュートンの法則はここ
\(3\)躍度（ジャーク）乗り心地の指標。実用はされる
\(4\)スナップほぼ使われない

物理が実際に使うのは \(\alpha=0,1,2\) にほぼ限られます。なぜ 2 で止まるのか ── これには答えがあります。

①
初期条件が足りない3 階なら位置・速度・加速度の 3 つを指定せねばならないが、実験では 2 つしか与えられない
②
オストログラツキー不安定性高階の運動方程式はエネルギーが下に非有界になる ── 系が壊れる（1850 年の定理）

06節の中心

「なぜ \(F=ma\) なのか（\(F=m\cdot\text{躍度}\) ではないのか）」の答えは、3 階以上は不安定で存在できないからでした。
微分階数のスペクトルには、上限があるのです。

※ オストログラツキーの定理は厳密な結果です。ただし「だから自然は 2 階まで」という推論は本稿の整理であり、高階理論を退ける議論には他の形もあります（縮退した高階理論には抜け道があることが知られています）。

練習問題

  1. 半積分の位相が \(-45°\) になる理由を、1 行で。
    答えを見る
    \((i\omega)^{-1/2}\) の偏角は \(-\frac12\cdot90°=\mathbf{-45°}\)。
    ナイキスト線図で 45° の直線に見えるのは、まさにこれです。
  2. \(\beta=-2\alpha\) を導け。
    答えを見る
    振幅が \(|\omega|^\alpha\) 倍になるので、パワー（振幅の 2 乗）は \(|\omega|^{2\alpha}\) 倍。
    白色雑音は \(S\propto f^0\) なので、積分後は \(S\propto f^{2\alpha}\)。\(\beta\) は \(S\propto f^{-\beta}\) の指数だから \(\beta=-2\alpha\)。
    \(\alpha=-1/2\) で \(\beta=1\) ── ちょうど 1/f です。
  3. 「分数階は記憶を持つ」ことが、なぜ物理でめったに出ないのか。
    答えを見る
    基本法則が局所的だから。場の理論も、ラグランジアンはその点の場と、その点での微分だけで書かれます（局所性）。
    記憶が現れるのは自由度を消したあと── 媒質を境界に押し込む、内部構造を粗視化する、といった操作の後です。
    だから分数階を見たら「何を消したのか」を探すのが筋、というのが本回の仮説です。

まとめ　微分階数という、もう一つの軸

\(\alpha\) を連続に動かすと dB/oct \(=6\alpha\)、位相 \(=90\alpha\) 度 ── 実測できれいに繋がりました。

そして \(\alpha=-1/2\)（半積分）は実在します ── ワールブルグ・インピーダンス \(Z\propto(i\omega)^{-1/2}\)。電池の研究室で毎日 測られ、ナイキスト線図の 45° 直線として見えている量です。

分数階が現れるのは、どれも境界か乱れた媒質でした。時間領域で書くと積分核が入る ── 分数階には「記憶」がある。逆に整数階は局所的です。【仮説】物理がほぼ整数階なのは、自然が局所的だから。

雑音では \(\beta=-2\alpha\) が厳密に成り立ち、\(\beta=1\)（1/f 雑音）は整数階では到達できないことが分かります。【仮説】1/f が謎として残り続けているのは、それが半積分だからではないか── ただし標準的な説明（時定数の対数一様分布）も検算して成立することを確認しており、本稿は解決を主張しません。

微分階数の下限は \(-1/2\)（拡散の境界）、上限は \(2\)（オストログラツキー）。
物理は、その帯域の中で書かれている。

この文書は「考える波」シリーズ第 2 回です。計算は kenshou/bunsuu.js で行っています。本回の数値について：分数階微分は FFT で \((i\omega)^\alpha\) を掛ける「スペクトル法」で実装しており、周期境界を仮定しています。時間領域のリーマン＝リウヴィル定義とは、初期条件の扱いが異なります（有限区間では端の効果が出ます）。雑音のスペクトル指数は線形合同法による擬似乱数 16384 点を対数ビンで平均して最小二乗で求めたもので、試行ごとに ±0.05 程度ばらつきます。ワールブルグ・インピーダンス、コール＝コール緩和、オストログラツキー不安定性はいずれも確立した結果で、本稿で導出したものではありません。第 03・05 節の「仮説」は本稿の推測であり、文献の主張ではありません ── とくに 1/f 雑音の起源は未解決問題で、本稿は新しい説明を与えていません。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。「答えを見る」で解答が開きます。