考える波第 1 回／第 I 部・道具をつくる

音の話から始めて、物理定数まで行く

微分は高音、積分は低音 ──
まず、実測から音声を微分すると高音が強くなり、積分すると低音が強くなる。
これは比喩ではなく、1 オクターブあたりきっかり ±6.02 dB の厳密な事実です。
そして物理は、位置 → 速度 → 加速度と、この操作を繰り返しているだけ。

必要な道具：なし計算：kenshou/nami.js

このシリーズの出発点は一つの気づきです ── 音声は波で、微分は高周波を取り出す操作、積分は低周波を取り出す操作。
ならば物理の微積分も全部それだと見ると、何が見えるか。まず、その土台が本当に厳密なのかを測ります。

01試験信号を作って、微分する

48 kHz で 16384 点、2 オクターブおきに正弦波を 4 本重ねます。どれも FFT のビン中心に乗せてあるので、漏れは出ません。

試験信号 $$x(t)=\sin(2\pi\cdot93.75\,t)+\sin(2\pi\cdot375\,t)+\sin(2\pi\cdot1500\,t)+\sin(2\pi\cdot6000\,t)$$

周波数分解能 $\Delta f = 1/T = 2.93$ Hz

これを素朴に数値微分します（中心差分）。そしてスペクトルを見ます。

周波数	元の振幅	微分後の振幅	比	$\omega=2\pi f$	比 / $\omega$
93.75 Hz	1.0000	589.0	589.0	$5.890\times10^{2}$	0.99997
375 Hz	1.0000	2355.2	2355.2	$2.356\times10^{3}$	0.99960
1500 Hz	1.0000	9364.3	9364.3	$9.425\times10^{3}$	0.99359
6000 Hz	1.0000	33941.1	33941.1	$3.770\times10^{4}$	0.90032

01節の結論

最後の列が 1 に揃っています ── つまり

微分すると、振幅が $\omega$ 倍になる。

6000 Hz だけ 0.90 に落ちているのは、物理ではなく差分近似のせいです（04 節で正体を突き止めます）。

02積分は、その逆

周波数	積分後 / 元	$1/\omega$	比 × $\omega$
93.75 Hz	$1.698\times10^{-3}$	$1.698\times10^{-3}$	0.99999
375 Hz	$4.243\times10^{-4}$	$4.244\times10^{-4}$	0.99980
1500 Hz	$1.058\times10^{-4}$	$1.061\times10^{-4}$	0.99679
6000 Hz	$2.515\times10^{-5}$	$2.653\times10^{-5}$	0.94806

オクターブあたりの傾き（実測） $$\text{2 オクターブで}\quad \text{微分}:+12.04\ \text{dB},\qquad \text{積分}:-12.04\ \text{dB}$$ $$\Rightarrow\quad \boxed{\ \text{微分}=+6\ \text{dB/oct},\qquad \text{積分}=-6\ \text{dB/oct}\ }$$

音響の世界では、これは日常の道具です

一次のハイパスフィルタの傾きが +6 dB/oct、ローパスが −6 dB/oct。微分回路とハイパスは、同じものです。
レコードの RIAA イコライザも、録音時に高域を持ち上げ（微分寄り）、再生時に戻す（積分寄り）── その組み合わせでできています。

03位相も測る

振幅だけでは半分です。$i\omega$ の $i$ が効いているなら、位相が 90° 回るはずです。

周波数	微分による位相の変化	積分による位相の変化
93.75 Hz	$+90.0°$	$-90.0°$
375 Hz	$+90.0°$	$-90.0°$
1500 Hz	$+90.0°$	$-90.0°$
6000 Hz	$+90.0°$	$-90.0°$

03節の中心 ── これで全部説明できます

フーリエ変換の上では、微分も積分もただの掛け算です：

$$\frac{d}{dt}\ \longrightarrow\ \times(i\omega),\qquad \int dt\ \longrightarrow\ \times\frac{1}{i\omega}$$

$|i\omega|=\omega$ が振幅を、$\arg(i)=90°$ が位相を決めている。
振幅も位相も、予言どおりでした。

04ズレの正体 ── 物理ではなく、近似

6000 Hz で比が 0.90 に落ちました。中心差分の伝達関数を厳密に書くと、原因がわかります。

中心差分の厳密な伝達関数 $$\frac{e^{i\omega\Delta t}-e^{-i\omega\Delta t}}{2\Delta t}=i\,\frac{\sin(\omega\Delta t)}{\Delta t}=i\omega\cdot\underbrace{\frac{\sin(\omega\Delta t)}{\omega\Delta t}}_{\text{ズレの正体}}$$

周波数	$\omega\Delta t$	予言 $\mathrm{sinc}(\omega\Delta t)$	実測の比/$\omega$
93.75 Hz	0.0123	0.999975	0.999975
375 Hz	0.0491	0.999598	0.999598
1500 Hz	0.1963	0.993587	0.993587
6000 Hz	0.7854	0.900316	0.900316

小数点以下 6 桁まで一致しました。ズレは物理ではなく、差分という近似のせいです。

厳密にやる方法 ── スペクトル法 $$\text{FFT}\ \to\ \times(i\omega)^\alpha\ \to\ \text{逆 FFT}$$

この方法なら、比/$\omega$ が全周波数で 1.000000000（丸め誤差のみ）

05物理は、この操作の連なりでできている

量	位置からの階数	スペクトルの傾き
位置の積分（absement）	$-1$	$-6$ dB/oct
位置 $x$	0	$0$
速度 $v=dx/dt$	$+1$	$+6$ dB/oct
加速度 $a=d^2x/dt^2$	$+2$	$+12$ dB/oct
躍度（ジャーク）	$+3$	$+18$ dB/oct

この回の結論

物理で微分・積分を繰り返すとは、信号のスペクトルを傾け続けることでした。
ニュートンの法則 $F=ma$ は「入力を +12 dB/oct 傾けたものに比例する」と読める。
比喩ではなく、フーリエ変換の上では文字どおりそうなっています。

ここから先で使う、たった一つの引っかかり

スペクトル法のコードには、一行だけ特別な処理が要ります ──

if (ω === 0) { 出力 = 0; continue; } // DC は定義できない

$\omega=0$ では $1/\omega$ が発散するので、積分は DC 成分を決められない。微分のほうは逆に、DC 成分を 0 に潰してしまう。
この一行が、第 3 回の主題になります。

練習問題

なぜ「微分 = +6 dB/oct」なのか、1 行で。
答えを見る
微分は振幅を $\omega$ 倍にする。1 オクターブは $\omega$ が 2 倍。
$20\log_{10}2 = \mathbf{6.02}$ dB。それだけです。
加速度計の出力を 2 回積分すると位置が出るはずだが、実際にはドリフトする。なぜか。
答えを見る
積分が $1/\omega$ 倍だから、低周波ほど巨大に増幅される。2 回なら $1/\omega^2$。
センサの微小な直流オフセット（$\omega\approx0$ の成分）が、発散的に効いてしまいます。
実務ではハイパスを噛ませて DC を落としますが、それは「本当の位置」の一部も捨てているということです。
「微分するとノイズが乗る」と言われる理由は。
答えを見る
高周波を $\omega$ 倍に持ち上げるから。
測定ノイズは高周波まで広く分布している（白色に近い）ので、微分するとノイズだけが選択的に増幅されます。
逆に積分は平滑化になる ── どちらも「フィルタ」として理解すれば当たり前の性質です。

まとめ　微分も積分も、フィルタだった

48 kHz の合成音声を実際に微分・積分して測りました。微分すると振幅が $\omega$ 倍・位相が $+90°$、積分すると $1/\omega$ 倍・位相が $-90°$。オクターブあたり ±6.02 dB。

高周波でのわずかなズレも、中心差分の $\mathrm{sinc}(\omega\Delta t)$ で小数点以下 6 桁まで説明できました ── 物理ではなく近似のせいです。FFT で直接 $(i\omega)$ を掛ければ誤差は消えます。

そして物理は、位置 → 速度 → 加速度と、この操作を繰り返しているだけでした。$F=ma$ は「+12 dB/oct 傾けたもの」。

物理の微積分とは、スペクトルを傾け続ける操作である。

次回予告微分が $\times(i\omega)^1$、積分が $\times(i\omega)^{-1}$ なら ── 指数を整数に限る理由はありません。
次回は $\alpha$ を連続に動かします。「半分だけ微分する」に意味はあるのか。
結論を先に言うと ── あります。しかも電池の研究室で毎日測られています。

この文書は「考える波」シリーズ第 1 回です。計算は kenshou/nami.js で行っています（依存なしの素の Node）。本回の数値について：試験信号の周波数（93.75, 375, 1500, 6000 Hz）は $f_s/N=2.9297$ Hz の整数倍になるよう選んであり、窓関数なしでもスペクトル漏れが出ません。これを外すと振幅が数 % 揺れます（実際、最初は 100/400/1600/6400 Hz で試して漏れが出ました）。数値微分は中心差分、積分は台形則で、いずれも周期境界を仮定しています。積分後の信号からは平均値を引いています ── 引かないと台形則の累積でドリフトし、スペクトルの低域が汚れるためです。この「平均値を引く」操作こそが第 3 回の主題（積分定数）になります。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。「答えを見る」で解答が開きます。

周波数	微分による位相の変化	積分による位相の変化
93.75 Hz	\(+90.0°\)	\(-90.0°\)
375 Hz	\(+90.0°\)	\(-90.0°\)
1500 Hz	\(+90.0°\)	\(-90.0°\)
6000 Hz	\(+90.0°\)	\(-90.0°\)

量	位置からの階数	スペクトルの傾き
位置の積分（absement）	\(-1\)	\(-6\) dB/oct
位置 \(x\)	0	\(0\)
速度 \(v=dx/dt\)	\(+1\)	\(+6\) dB/oct
加速度 \(a=d^2x/dt^2\)	\(+2\)	\(+12\) dB/oct
躍度（ジャーク）	\(+3\)	\(+18\) dB/oct

周波数	積分後 / 元	\(1/\omega\)	比 × \(\omega\)
93.75 Hz	\(1.698\times10^{-3}\)	\(1.698\times10^{-3}\)	0.99999
375 Hz	\(4.243\times10^{-4}\)	\(4.244\times10^{-4}\)	0.99980
1500 Hz	\(1.058\times10^{-4}\)	\(1.061\times10^{-4}\)	0.99679
6000 Hz	\(2.515\times10^{-5}\)	\(2.653\times10^{-5}\)	0.94806

01試験信号を作って、微分する

02積分は、その逆

03位相も測る

04ズレの正体 ── 物理ではなく、近似

05物理は、この操作の連なりでできている

まとめ 微分も積分も、フィルタだった

まとめ　微分も積分も、フィルタだった