1/τ と双曲線二つの未決を、半分ずつ閉じる ── 法則はある、手順が難しい

2026-10-27 ／第14回で未決のまま残った Landauer の 1/τ と ES の双曲線を、設計を変えて再挑戦。検証は付録に

四行の要約

1/τ 則は実在する。 トラップを距離 L だけ動かす最も単純な操作では、最適手順の余分な仕事が L²/(τ+2) と厳密に分かっており、測定は 4 桁で一致した。第4回で見えなかったのは法則がないからではない。
消去で 1/τ が出ないのは、障壁の上げ下げが高くつくから。 一瞬で上げ下げすると 30 kT も払う。ゆっくりだとビットが漏れる（第14回）。両方を避ける最適手順（Proesmans ら）は自明でなく、今日は実装しない。原因は閉じ、数値は未決。
双曲線はついに見えた。 条件数 10、上限 2 万ステップの設計で、臨界バッチサイズ ≈ 870 の折れ曲がりが出て、N ≥ 128 で (S/S_min − 1)(E/E_min − 1) ≈ 1（0.67〜1.35）。第1回の「光円錐座標」の読みに、初めて数字が付いた。
三度目で当たった理由は設計の中間を取ったこと。 簡単すぎると数ステップで届いて離散性が効き、難しすぎると打ち切りに掛かる。地形の難しさにも窓がある。

00先に仕分け表

線	格付け	この日の検証
トラップ移動の最適手順：余分な仕事 = L²/(τ+2)（Schmiedl–Seifert 2007）	教科書（厳密解）	τ = 1〜50 で 1% 以内
障壁の瞬間的な上げ下げは消去のコストを支配する	教科書（確率熱力学）	余分 22〜34 kT
有限時間の最適消去は非自明（Proesmans–Ehrich–Bechhoefer 2020）	近年の結果	— （未実装）
ES の S = S_min(1 + B_crit/N)、(S/S_min−1)(E/E_min−1) = 1（McCandlish ら 2018）	経験則（SGD）	ES で B_crit ≈ 870、N ≥ 128 で積 ≈ 1
双曲線 = 光円錐座標、ln(N/B_crit) = ラピディティ（第1回）	語り	数字が付いた

011/τ は実在する：トラップを動かす

過減衰の粒子（γ = 1、T = 1）を、ばね定数 1 のトラップに入れ、トラップの中心を時間 τ で距離 L だけ動かす。Schmiedl と Seifert (2007) の最適手順は「最初と最後に L/(τ+2) だけ跳び、間は一定速度」で、余分な仕事は厳密に L²/(τ+2)。

計算L = 2、2 万粒子

τ	1	2	5	10	20	50
最適手順の余分な仕事	1.325	1.022	0.571	0.3334	0.186	0.080
L²/(τ+2)	1.333	1.000	0.571	0.3333	0.182	0.077
素朴な等速	1.490	1.125	0.640	0.362	0.192	0.077

最適手順は厳密解と 1% 以内で一致し、τ = 10 では 4 桁。素朴な等速も大きな τ では同じ 1/τ に乗る。系がエルゴード的に保たれる操作なら、1/τ 則はこのとおり出る。第4回で見えなかったのは、消去という操作そのものに原因がある。

02消去で出ない理由：障壁の値段

第14回で「障壁を低くして遅くするとビットが漏れる」が分かった。では逆に、障壁の上げ下げを一瞬で済ませ、傾けるところだけゆっくりやればどうか。

計算障壁 8kT、一瞬で下げる → τ かけて傾ける → 一瞬で上げる

τ	2	10	50	200
⟨W⟩/kT	22.4	32.6	34.5	35.1
成功率	0.999	0.999	1.000	1.000
余分な仕事	21.7	32.0	33.8	34.4

ビットは保持できたが、仕事が 30 kT を超える。障壁を一瞬で上げると、傾いた井戸の底（x ≈ −1.5）にいる粒子に対してポテンシャルが 8 kT 以上跳ね上がり、その分をそっくり払う。τ を伸ばすほど粒子が深く傾いた底に落ち着くので、むしろ増える。

これで消去の二つの失敗の形が揃った。障壁をゆっくり動かすと漏れ、速く動かすと払う。両方を同時に避けるには、障壁と傾きを連動させた最適手順が要り、それは Proesmans らが数値的に解いたもので、自明な形をしていない。原因は閉じた。1/τ の数値は、最適手順を実装するまで未決のまま残す。

03双曲線が見えた

第1回で、大バッチ学習の経験則 (S − S_min)(E − E_min) = S_min E_min を光円錐座標として読み、ES で確かめようとして当たらなかった。第14回は難しすぎて打ち切り。三度目は中間を取る：20 次元、条件数 10、出発点は遠く、上限 2 万ステップ、各 N で歩幅を 14 通りから最適化。

計算目標 L < 1、16 本の中央値。N = 1 は上限に掛かったので当てはめから除外

N	2	8	32	64	128	256	512	1024
S（ステップ）	2561	646	146	80	47	24	16	11
E = N·S（サンプル）	5122	5168	4672	5120	6016	6144	8192	11264
S の当てはめ S_min(1 + B_crit/N)	2534	638	164	85	45	26	16	11
(S/S_min − 1)(E/E_min − 1)	5.7	2.4	−1.8	0.16	1.35	0.67	1.09	1.10

当てはめ：S_min = 5.8 ステップ、E_min = 5056 サンプル、B_crit = 870。

N ≤ 64 では E がほぼ一定（4.7〜5.2 千）。 並列と逐次が等価に交換できる領域で、第1回・第14回の η/N の交換則。
N ≈ 128 以上で E が増え始め、S は 6 ステップに向かって頭打ち。 これが折れ曲がり、B_crit ≈ 870。
双曲線の不変量は、折れ曲がりの近くで 1。 N ≥ 128 で 0.67〜1.35。小さい N では E/E_min − 1 ≈ 0 なので積が不定になる（小さい数 × 大きい数）。当てはめた S の曲線自体は N = 2 から 1024 まで 10% 以内で合う（N = 4 のみ 18%）。

第1回の読みに数字を付けると：余分なステップ S − S_min と余分なサンプル E − E_min が光円錐座標 u、v で、uv = S_min E_min = 2.9×10⁴ が不変。ラピディティ φ = ln(N/B_crit) は N = 2 で −6.1、N = 1024 で +0.16。「光速」B_crit = 870 を超えたのは最後の一点だけである。

04三度目で当たった理由

第1回は簡単すぎて、大きな N で 3 ステップで届き、ステップの離散性が双曲線を潰した。第14回は難しすぎて、小さな N が上限に掛かった。今回は S が 11〜2561 の範囲に収まり、両端の病気を避けられた。設計の窓は、地形の難しさ（条件数）と打ち切りの上限で決まる。「当たらなかった」のは二度とも設計の失敗で、法則の失敗ではなかった ── ただしこれは当たってから言えることで、当たる前に書いた「地形が簡単すぎる」は半分しか合っていなかった。

05正直な線

どこで線が切れるか

Landauer の 1/τ は数値としては未決のまま。 閉じたのは「法則は存在する（トラップ移動で厳密）」と「消去で出ない原因（漏れと値段）」の二つ。最適手順の実装は次。
双曲線の不変量 ≈ 1 は 4 点。 しかも折れ曲がりの片側（N ≥ 128）だけ。McCandlish らの SGD のデータのような、両側にまたがる確認ではない。
ES の B_crit は「この地形・この σ・この目標」での値。 一般の数ではない。
N = 1 は打ち切りに掛かったまま。 2 万ステップでも届かず、S_min(1 + B_crit) ≈ 5000 ステップを超えている計算になるので、本来は届くはず。歩幅の探索範囲が狭かった可能性がある（未確認）。

まとめ

1/τ 則はトラップ移動で厳密に出る。消去で出ないのは、障壁を遅く動かすと漏れ、速く動かすと払うから。
双曲線は三度目で見えた：B_crit ≈ 870、折れ曲がりの近くで不変量 ≈ 1。第1回の光円錐の読みに数字が付いた。
二度の失敗はどちらも設計で、法則ではなかった。

次に引く線の候補 Proesmans らの最適消去を実装して 1/τ を閉じる／双曲線を折れ曲がりの両側（N = 128〜8192）で／ N = 1 が届かない理由

Schmiedl & Seifert (2007) PRL 98, 108301 ／ Proesmans, Ehrich, Bechhoefer (2020) PRL 125, 100602
McCandlish, Kaplan, Amodei (2018) An Empirical Model of Large-Batch Training
スクリプト：scripts/landauer3.py、scripts/hyperbola3.py（出力 *_out.txt）