| 線 | 格付け | この日の検証 |
|---|---|---|
| 二重井戸の摂動級数は非 Borel 可和（係数が同符号） | 教科書（Zinn-Justin 1981） | e₁…e₃₅ 全部負、比 ≈ 3k |
| 側方 Borel 和の虚部 ∝ e^{−1/(3g)}、インスタントン対と相殺 | 教科書（Zinn-Justin、Jentschura） | 傾き −0.313（予想 −0.333）、(π/4)ΔE² の 1.1 倍 |
| 一インスタントンの準位分裂 ΔE = (2/√(πg))e^{−1/(6g)} | 教科書 | 比 0.87〜0.62（O(g) 補正） |
| Moyal 方程式は四次ポテンシャルで厳密、ħ² 項は三階微分 | 教科書（Moyal 1949） | ⟨x⟩(t) が Schrödinger と一致 |
| Liouville は正値を保ち、ħ² 項だけが負の確率を作る | 教科書 | min W：Moyal −0.27、Liouville ≈ 0 |
| 三階微分 = カーネル [−1, 3, −3, 1] の畳み込み一層 | この地図の語り | — |
| 三つの曖昧さは同じ型 | この地図の語り | — |
第8回の非調和振動子では、g > 0 で級数は Borel 可和、g < 0 で曖昧になり、曖昧さが崩壊率だった。二重井戸 V = x²(1 − √g x)²/2 は g > 0 で安定だが、摂動級数の係数が全部同じ符号になる。
奇数次は厳密に 0（E は g の関数だから）。e_k = 0.5, −1, −4.5, −44.5, −626.6, −11031, …、e₃₅/e₃₄ = 105 ≈ 3k。全部負なので Borel 変換の特異点は t = +1/3 の正の実軸上にあり、ラプラス積分がそれを跨ぐ。安定な系なのに和が一意に決まらない。
積分路を特異点の上と下に避けた二つの側方 Borel 和は、虚部の符号が逆の複素数になる。真の基底エネルギーは実数なので、この虚部を打ち消す何かが要る。それがインスタントン対（インスタントンと反インスタントン）の寄与で、その実部は ln g を含み、虚部は級数の虚部とちょうど逆符号になる、というのが Zinn-Justin (1981) の主張である。
| g | ΔE = E₁ − E₀ | (E₀+E₁)/2 − Re Borel | \|Im Borel\| | Im / (π/4·ΔE²) | 実部 / Im |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.02 | 1.67×10⁻³ | 3.4×10⁻⁶ | 2.35×10⁻⁶ | 1.08 | 1.44 |
| 0.03 | 1.98×10⁻² | 4.7×10⁻⁴ | 3.49×10⁻⁴ | 1.13 | 1.36 |
| 0.04 | 6.09×10⁻² | 4.0×10⁻³ | 3.38×10⁻³ | 1.16 | 1.19 |
| 0.05 | 1.11×10⁻¹ | 1.25×10⁻² | 1.07×10⁻² | 1.10 | 1.17 |
前因子を除いた指数：ln(Im·g) の 1/g に対する傾き −0.313（二インスタントンの作用 2S = 1/(3g) → −0.333）、ln(ΔE·√g) の傾き −0.156（一インスタントン S = 1/(6g) → −0.167）。実部/Im は Zinn-Justin のインスタントン対の実部 [ln(2/g) + γ]/π = 1.65〜1.36 と同じ大きさ・同じ傾向。
第8回で、拡散が量子になれないのは負の確率を持てないからだと書いた。では負の確率はどこで生まれるか。Wigner 関数の時間発展は Moyal 方程式
$$\frac{\partial W}{\partial t} = -p\,\frac{\partial W}{\partial x} + V'(x)\frac{\partial W}{\partial p} - \frac{\hbar^2}{24}V'''(x)\frac{\partial^3 W}{\partial p^3} + O(\hbar^4)$$で、四次ポテンシャルでは ħ² で打ち切った形が厳密である。最初の二項は古典の Liouville 方程式（位相空間の流れ）で、正の分布を正に保つ。負の値を作れるのは三番目の項だけで、これは p 方向の三階微分、つまりカーネル [−1, 3, −3, 1]/dp³ の畳み込み一層である。
| t | ⟨x⟩ Schrödinger | ⟨x⟩ Moyal | ⟨x⟩ Liouville | min W Moyal | min W Liouville |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.500 | 1.500 | 1.500 | 0.000 | 0.000 |
| 4 | 0.897 | 0.937 | 0.877 | −0.151 | −0.006 |
| 8 | 0.002 | 0.061 | 0.038 | −0.210 | −0.005 |
| 12 | −0.188 | −0.164 | −0.124 | −0.252 | −0.014 |
| 18 | −0.133 | −0.145 | −0.034 | −0.184 | −0.037 |
| 24 | −0.236 | −0.274 | −0.031 | −0.216 | −0.048 |
第2回の「深さ = 時間の CNN」で言えば、量子と古典の違いは一層のカーネルの違いである。古典流のカーネル（一階微分）に三階微分のカーネルを一つ足すと、負の確率が生まれ、再帰が戻る。第8回の「節 = 負の確率」の、生成の側の話がこれになる。
| 不安定な級数（第8回） | 安定な級数（この回） | 拡散と量子（第8回・この回） | |
|---|---|---|---|
| 正の実数の範囲で閉じようとすると | Borel 和に虚部 | Borel 和に虚部 | 二時刻相関が出ない |
| 曖昧さの大きさ | e^{−S} | e^{−2S} | Wigner の負の体積 |
| それが運ぶ物理 | 崩壊率 Γ/2 | インスタントン対（準位の平均の補正） | 位相、干渉、再帰 |
| 作る操作 | 積分路を上下に避ける | 同じ | ħ² の三階微分の一層 |
| 確かめた精度 | 比 1.000 | 比 1.1、指数 −0.313/−0.333 | 符号つきで両立、古典流は潰れる |
どれも「正の実数で閉じない部分に、物理が入っている」という同じ形をしている。超準解析（第7回）の言い方なら、標準部分が一意に決まらないときの不定性が物理量である。
scripts/double_well_resurgence.py、scripts/moyal_cnn.py（出力 *_out.txt）