物理を簡単にする 第 13 回 ／ 第 IV 部 整数比の探し方
塩素 35.45 は、35 と 37 の混合だった
負けた整数比と、
プルーの復活
一つ一つは整数でした。意味不明だったのは混ぜた平均の方。
汚い比を見たら、まず混合を疑う。
前回は勝った歴史でした。この回は負けた歴史です ── ケプラーの正多面体、ボーデの法則、エディントンの 137。同じくらい大事なのは、負け方に型があることです。そしていちばん使える発想が、負けた例の中から出てきます ── プルーの仮説は 1815 年に破れて、1913 年に復活しました。
01負けた歴史
| いつ・誰 | 主張 | 結果 | 中身 |
|---|---|---|---|
| ケプラーの正多面体 (1596) | 惑星軌道の比 ＝ 正多面体 | 外れ | 軌道の数が合わない |
| ボーデの法則 (1772) | \(a = 0.4 + 0.3\cdot 2^n\) | 天王星まで当たり | 海王星で破綻 |
| プルーの仮説 (1815) | 原子量は水素の整数倍 | 一度外れ | → 04節で復活する |
| エディントン (1929) | \(1/\alpha = 136 \to 137\) | 外れ | 実測 137.035999 |
| \(6\pi^5 = 1836.12\) | \(m_p/m_e = 1836.15\) | 微妙 | → 03節で採点 |
ボーデの法則が示唆的です。天王星まで当たっていました。 当たっているうちは、誰も疑いません。そして海王星で外れた。
エディントンは、最初 \(1/\alpha = 136\) と主張し、測定が改善すると 137 に変更しました。この「一度調整した」という事実が、あとで効いてきます。
02負ける理由は、いつも同じ
整数式は、いくらでも作れます。だから「当たった」だけでは何も言えません。いくつ試したかを数えないと、驚けない。
候補が \(M\) 通りあるとき、そのうち一つが当たっても、驚きから \(\log_2 M\) ビットを引かなければなりません。
誕生日で言えば ── 23 人の部屋で「誕生日が同じ二人がいた」は驚けません（組が 253 通りあるから）。「先に一人を指名して、その人と一致した」なら驚けます。
03\(6\pi^5\) を、実際に採点する
陽子と電子の質量比 \(m_p/m_e = 1836.15267\) は、\(6\pi^5 = 1836.11811\) に非常に近い。有名な「近さ」です。採点します。
\(6\pi^5 = 1836.11811\)、実測 \(1836.15267\)、ずれ \(\mathbf{1.9\times10^{-5}}\)
→ 買い \(-\log_2(1.9\times10^{-5}) = \mathbf{15.7}\) ビット
払い（探索空間 \(M\) の見積もり）
\(a\pi^b/c\)（\(a,c\le10\)、\(b\le6\)）だけ数えて \(M=700\) → 払い 9.5 → 差引 \(+6.2\) ビット
指数・平方根・他の定数も入れると \(M=10^4\) → 払い 13.3 → 差引 \(+2.4\) ビット
探索空間の見積もり次第で、生き残ったり消えたりします。
しかも機構の説明がゼロ ── なぜ \(\pi^5\) なのかを言える人がいません。
これが「それっぽい整数式」の扱い方です。必ず \(\log_2 M\) を引いてから判断する。 引かずに喜ぶと、エディントンと同じ道を行きます。
04プルーの復活 ── いちばん使える発想
ここからがこの回の本題です。
1815 年、プルーは「すべての原子量は水素の整数倍だ」と主張しました。水素 1、炭素 12、酸素 16 ── みごとに当たっています。
ところが塩素が 35.45 でした。整数ではありません。半端でもない、35 でも 36 でもない中途半端な数。仮説は破れました。
そして 1913 年、同位体が発見されます。
\(0.7576 \times 34.96885 \;+\; 0.2424 \times 36.96590 = \mathbf{35.453}\)
実測 35.45 に対して、ずれ \(8.3\times10^{-5}\)
プルーの教訓
一つ一つは整数でした。意味不明だったのは「混ぜた平均」の方です。
塩素 35.45 は、\(^{35}\)Cl が 75.8 %、\(^{37}\)Cl が 24.2 % の混合でした。
05この発想は、いまでも使える
意味不明な比を見たら、まず「混合ではないか」を疑う。
実例があります。\(m_p/m_e = 1836.15\) が汚いのは、陽子が混合だからです。
クォーク質量 \(9.0\) MeV（1.0 %、ヒッグス起源）
＋ グルーオン場 \(929.3\) MeV（99.0 %、\(\Lambda\) 起源）
＝ 陽子 938.3 MeV
電子は 100 % がヒッグス起源です。陽子は 99 % が閉じ込めのエネルギー。起源の違う二つを足した数と、単一起源の数の比に、きれいな整数比を期待する理由がありません。
混合を疑うと、次の一手が具体的になります。「では何と何の混合か」「比率はいくつか」「片方だけを取り出せないか」── どれも実験や計算で答えが出る問いです。
一方「\(6\pi^5\) ではないか」には次の一手がありません。合っているか外れているかしか言えない。
06負けた歴史から取り出せる三つ
| 教訓 | 出どころ | 使い方 |
|---|---|---|
| 当たっているうちは疑えない | ボーデの法則 | 次の一点を予言させる |
| 調整したら、その分を引く | エディントン \(136\to137\) | \(\log_2 M\) を数える |
| 汚い数は、混合かもしれない | プルー → 同位体 | 分解を試す |
03節の探索空間 \(M\) は筆者の見積もりです。この一点で結論が変わります ── \(M=700\) なら \(6\pi^5\) は生き残り、\(M=10^4\) ならほぼ消える。「正しい \(M\)」を決める客観的な方法を、本シリーズは持っていません。
05節の「陽子は混合だから汚い」は説明であって証明ではありません。混合だから汚い、という因果を示したわけではなく、汚さと混合が同時に成り立っているだけです。
では実際に検定します。13 個のハドロンの質量比は、単純な有理数に寄っているのか。 同じ範囲から引いた「偽ハドロン」4000 組と比べて、統計的に判定します。
この文書は「物理を簡単にする」シリーズ第13回です。ケプラーの正多面体、ボーデの法則、プルーの仮説と同位体、エディントンの \(1/\alpha\)、\(6\pi^5\) の近さはいずれも歴史的事実です。陽子質量のクォーク質量寄与が約 1 % であることも標準的な内容です。「探索空間 \(\log_2 M\) を引いてから判断する」という採点法と、「汚い比は混合を疑う」という手順は本シリーズの整理です（kensho/calc06.py）。03節の \(M\) は筆者の見積もりで、この一点で結論が変わります。05節は説明であって因果の証明ではありません。