α を動かすなら、
何を固定できるか「c=一定」も「c·t=一定」も、固定するものが違うだけで同じ物理だった。
ではその一段下 ── α 自身を動かすと決めたら、残りの自由はどれだけ残るのか。

必要な道具：番外編②の「無次元だけが物理」、割り算 4定数のうち固定できるのは3つまで

ここまでの番外編は「α は守るべきもの」という側から書いてきました。③ではVSLが α を守り損ねて失敗し、④では α 不変こそが等価条件の芯だと見た。今回は視点をひっくり返します ── もし本当に α を動かすと決めたら、私たちに残された「固定する自由」は、どこまであるのか。答えは意外なほどきっちり数えられて、しかもそれが「c=一定と c·t=一定は固定するものが違うだけで同じ」という、このシリーズの合言葉の一段下での再現になっています。三部作の一本目です。

01まず数える ── α を作る4定数は「3人分」しかない

微細構造定数を、第2回の形で書きます。

α を作る4つの次元付き定数

$$\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,\hbar\,c}\approx\frac{1}{137}$$

中身は $c,\ e,\ \varepsilon_0,\ \hbar$ の4つ。ところが、この4つを組み合わせて作れる「単位の消えた数」は $\alpha$ ただ1つしかありません。これは偶然ではなく、深い意味があります ── 長さ・時間・質量・電荷という4種類の単位に対して、この4定数は3種類ぶんの独立な情報しか持っていない。だから残り1本ぶんが「単位の消えた関係」＝ $\alpha$ として余る。

言いかえ ── なぜ「3人分」なのかもし4定数が本当にバラバラ(4種類ぶん独立)なら、無次元数は作れず $\alpha$ は存在しません。$\alpha$ が存在するのは、4定数のあいだに1本の縛り(次元がちょうど打ち消し合う組み合わせ)があるから。縛りが1本あるということは、自由に決めていいのは4−1＝3つまで、ということです。

ここから、固定の鉄則が出ます。

今回の核心（固定の鉄則）

$c,e,\varepsilon_0,\hbar$ のうち、便宜（単位・ゲージ）で自由に固定できるのは最大3つ。残る1つは必ず $\alpha$ に引きずられて動く。
だから「$\alpha$ を動かす」と決めた以上、この“動く1つ”は絶対に消せない。

02c はもう固定した ── だから残りは「2つまで」

このシリーズは、はじめから $c=\text{一定}$ の座標系で語ってきました。つまり固定枠を1つ、c で使い切っている。すると鉄則から、追加で固定できるのは $\{e,\varepsilon_0,\hbar\}$ のうち2つまで。3つ目は必ず動き、その“動く1つ”こそが「$\alpha$ が変化する」の帳簿上の姿です。誰を動かす係にするかで、同じ物理が三通りに書けます。

固定するもの（＝ものさし）	動く係	その中身
c, ε₀, ħ	e（∝√α）	「電荷が時代とともに変わる」理論。ベケンシュタイン型の varying-e はこれ。
c, e, ħ	ε₀（∝1/α）	「真空の応答（電気の通しにくさ）が変わる」描像。
c, e, ε₀	ħ（∝1/α）	「量子の刻みが変わる」描像。

どれを選んでも、原子の色も時計のリズムも ── つまり観測は完全に同一。違うのは「どれを動かす係にするか」という帳簿のつけ方だけです。下の図で、$\alpha$ が少し育つとき、三つの係がそれぞれどう動くか(なのに $\alpha$ は同じ)を動かして見てください。

図：α が育つとき、e は少し増え（∝√α）、ħ と ε₀ は減る（∝1/α）。三つの帳簿は姿が違うのに、組み直すと必ず同じ α になる

α をどれだけ動かすか（右ほど育つ）+0%

α（動かす対象・本物の物理） e = 係にすると ∝√α ħ ＝係にすると ∝1/α ε₀ ＝係にすると ∝1/α

正直に言うと ── ε₀ は“数え役”で、本命は e $\varepsilon_0$（真空の誘電率）は、実はSI単位系のブックキーピング用の量で、ガウス単位系で書くと $\alpha=e^2/\hbar c$ となって式から消えます。だから“実質的に動かす候補”は $e$ か $\hbar$。歴史的な varying-α 理論(ベケンシュタイン)は、いちばん素直に電荷 $e$ を動かす形をとりました。ε₀ を動かす描像は、e を動かすのと同じことを別の帳簿で言っているだけです。

03これは「c=一定と c·t=一定」の、一段下の再現

ここで気づいてほしいのは、いま起きたことが番外編③④で見た構図のそっくりな縮小コピーだということです。あのときは「$c$ を固定するか、$c\cdot t$ を固定するか ── 固定するものが違うだけで、同じ物理」でした。今回は一段下りて「$e$ を固定するか、$\hbar$ を固定するか、$\varepsilon_0$ を固定するか ── 固定するものが違うだけで、同じ物理」。“どれを動かす係にするかはゲージ(帳簿の付け替え)、観測に出るのは無次元の $\alpha$ だけ”という、同じ一つの原理が、階層を変えて何度も顔を出しているのです。

つなぐ声 ── ダフの「基本定数はゼロ個」この数え方を極限まで推し進めた物理学者がいます。マイケル・ダフは「次元付きの定数は本質的には1つも“基本”ではない(＝すべて単位の約束)、物理なのは無次元の比だけ」と主張しました(番外編末の読書案内も参照)。今回の「固定できるのは3つまで、動く1つは帳簿の選択」は、まさにその立場の、手を動かせる小さな実例です。

◇ ◇ ◇

04でも今回は“ゲージ”では済まない ── α が動くのは本物

ここが、③④との決定的な違いであり、いちばん外してはいけない点です。番外編④の $c\cdot t=\text{一定}$ では、$\alpha$ は不変でした。だからあれは完全なゲージ(見方の自由)で、観測差はゼロ ── 「同じ物理」だった。ところが今回は、$\alpha$ 自身が動く。$\alpha$ が動くことは、単位やゲージでは消せない、本物の物理変化です。観測に痕跡が残る ── 原子時計は「$\alpha$ は1年あたり $10^{-17}$ より小さくしか動いていない」と告げ、遠い宇宙のクエーサー吸収線でも $\dot\alpha/\alpha$ が探され続けている。

言葉づかいの訂正

「$\alpha$ が変化する座標系を考える」は、正確には ──
「新しい物理を1つ入れて（＝α を動かすと仮定して）、それをどの定数のせいにするかを選ぶ」。
座標系＝ゲージの自由が残っているのは“どの定数のせいにするか”だけで、「α が動く」という事実そのものは、どんな座標系でも消えません。

正直な線 ── 固定しすぎてはいけない／α だけとは限らない

まず、$\{c,e,\varepsilon_0,\hbar\}$ の4つ全部は固定できません。全部止めれば $\alpha=\text{一定}$ を強制することになり、「α を動かす」という前提と矛盾する。固定できるのは、あくまで3つまで。

また、$\alpha$ は無次元数の一つにすぎません。ほかにも陽子・電子の質量比 $m_p/m_e$、強い力の結合、重力の $\alpha_G=Gm^2/\hbar c$ …と、単位の消えた数はいくつもある。今回は「動くのは $\alpha$ だけ、ほかの比は固定」という仮定を置きましたが、無次元数を1つ余分に動かすたびに、独立した新しい物理を1つ足すことになり、それぞれに別個の観測制約がかかります。ただではもらえません。

練習問題（今回の式だけで解けます）

$c$ を固定した上で、$e$ と $\hbar$ も固定した。残る $\varepsilon_0$ は $\alpha$ とどんな関係で動くか。
答えを見る
$\alpha=e^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)$ で $e,\hbar,c$ が固定なら $\alpha\propto 1/\varepsilon_0$。つまり $\varepsilon_0\propto 1/\alpha$。α が増えれば ε₀ は減る。
「$c,e,\varepsilon_0,\hbar$ の4つすべてを固定する」のがなぜダメか、一文で。
答えを見る
4つ全部を固定すると $\alpha$ も自動的に一定に決まってしまい、「α を動かす」という今回の前提と矛盾するから。固定できるのは(縛りが1本ある以上)最大3つ。
番外編④の $c\cdot t=\text{一定}$ と、今回の「α を動かす」は、観測に出るか出ないかで何が違うか。
答えを見る
④は α が不変なので純粋なゲージ＝観測差ゼロ（同じ物理の言い換え）。今回は α 自身が動くので本物の物理変化＝観測（原子時計・クエーサー）に痕跡が残る。ゲージの自由は「どの定数のせいにするか」にしか残らない。

まとめ固定できるのは3つ、動く1つは帳簿の選択

$\alpha$ を作る4定数 $c,e,\varepsilon_0,\hbar$ は、次元の上では「3人分」しか独立でない(縛りが1本＝それが α)。だから便宜で固定できるのは最大3つ、残る1つは必ず α に連れて動く。c を固定済みの本シリーズでは、追加で固定できるのは $\{e,\varepsilon_0,\hbar\}$ のうち2つまで。どれを動かす係にするかはゲージ(帳簿)で、varying-e・varying-ε₀・varying-ħ はすべて同じ物理の言い換え ── これは「c=一定と c·t=一定」の一段下の再現でした。

ただし④と決定的に違うのは、$\alpha$ 自身が動くこと。それはゲージでは消せない本物の物理で、観測に出る。だから「α が動く座標系」ではなく「α を動かす物理を、どの定数のせいにするか選ぶ」が正しい。固定できる自由は3つ、でも α が動く事実は、どの座標系でも消せない ── これが三部作の出発点です。

次回予告 ── 番外編⑥ 「1/137 が 1/128 になる」と言う人たちがいます。あれは今回の“時間で動く α”とは別の軸の話 ── エネルギー（見る細かさ）で動く αです。⑥では、この二つの「α の動き方」を一枚に並べ、片方にはゲージの自由があり、もう片方には無いことを、はっきりさせます。

この文書は「わかる宇宙論」シリーズ番外編⑤、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。$\alpha=e^2/4\pi\varepsilon_0\hbar c$ を作る4つの次元付き定数が張る独立次元は3で、無次元の組み合わせが $\alpha$ 一つだけ生じること、したがって単位・ゲージの自由で固定できるのは最大3つであることは、次元解析の帰結です。$\varepsilon_0$ はSI単位系に固有の量でガウス単位系では現れません。次元付き定数の値は単位規約に依存し、物理的内容は無次元量にあるという立場は Duff・Okun・Veneziano「Trialogue on the number of fundamental constants」(2002) に整理されています。$\alpha$ の時間変化は原子時計等で $|\dot\alpha/\alpha|\lesssim 10^{-17}$/年程度に制約され、遠方クエーサーでの変動主張は議論が続いています。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面ではスライダーで、同じ α を三つの帳簿で書けることが見えます。「答えを見る」で解答が開きます。

α を動かすなら、何を固定できるか 「c=一定」も「c·t=一定」も、固定するものが違うだけで同じ物理だった。ではその一段下 ── α 自身を動かすと決めたら、残りの自由はどれだけ残るのか。

01まず数える ── α を作る4定数は「3人分」しかない

02c はもう固定した ── だから残りは「2つまで」

03これは「c=一定 と c·t=一定」の、一段下の再現

04でも今回は“ゲージ”では済まない ── α が動くのは本物

まとめ固定できるのは3つ、動く1つは帳簿の選択

α を動かすなら、
何を固定できるか「c=一定」も「c·t=一定」も、固定するものが違うだけで同じ物理だった。
ではその一段下 ── α 自身を動かすと決めたら、残りの自由はどれだけ残るのか。

03これは「c=一定と c·t=一定」の、一段下の再現