わかる宇宙論第 8 回／ i の正体・前編 ── 曖昧さが力になる

第3回で残った i、第2回・第6回の α ── その二つが、ここで一本につながる

i の曖昧さが、力を生む波動関数の位相 i は「どうでもいい曖昧さ」に見える。でも、その曖昧さを
「各点で自由に選んでいい」と認めた瞬間 ── それを取りつくろうために、電磁気力が生まれる。

必要な道具：第3回の i、複素数の位相、微分（隣との差） ∂ → D = ∂ − iA

第3回で、シュレディンガー方程式には虚数単位 $i$ が残りました。$c\to\infty$ で相対論が消えても、$i$ だけは消えなかった。この $i$ は何なのか。よくある答えは「複素数を使うと計算が楽だから」。でも、それでは浅い。この回では、$i$ の持つ位相の曖昧さを突き詰めると ── 第2回・第6回で主役だった $\alpha\approx1/137$、つまり電磁気力そのものが、論理的な必然として生まれてくることを見ます。$i$・曖昧さ・$1/137$ が、一本の線でつながる。20世紀物理で最も深い洞察の一つ、ゲージ原理を、手を動かして体験します。

01位相の曖昧さ ── 全体で回すぶんには、何も起きない

波動関数 $\psi$ は複素数で、$\psi=|\psi|e^{i\theta}$ と大きさ(振幅)と向き(位相 $\theta$)を持ちます。観測に効くのは確率 $|\psi|^2$ だけ。だから全体の位相を $\theta$ だけ回しても ──

全体の位相回転（大域変換）── 観測に効かない

$$\psi \to e^{i\theta}\psi \qquad\Rightarrow\qquad |\psi|^2 \to |e^{i\theta}\psi|^2 = |\psi|^2$$

確率は寸分変わらない。位相の原点をどこに取るかは、私たちの帳簿の付け方にすぎず、宇宙は気にしない。これは番外編②「単位の取り替えは帳簿の問題」、番外編④「$\alpha$ 不変なら観測に跡を残さない」で見た、あの跡を残さない曖昧さです。$i$ の位相は、大域的に回すぶんには、まさにこの無害な曖昧さ。ここまでは「$i$ は曖昧さ」という直感が、そのまま正しい。

第9回との対比（先に一言）この「跡を残さない位相の曖昧さ」を虚時間の方向に回すと、第9回でやる「$i$ が温度を生む(ウィック回転)」に行きます。今回(第8回)は逆に、この曖昧さを各点で独立に許す(空間・時間方向に局所化する)とどうなるか。同じ $i$ の同じ曖昧さを、二つの方向に追うのが第8回・第9回です。

02各点で独立に回すと ── 方程式が壊れる

ここで決定的な問いを立てます。位相の原点は「宇宙のどこでも同じ」でなければいけないのか? 私がここで選ぶ原点と、遠くのあなたが選ぶ原点は、独立でいいはず。そこで $\theta$ を場所ごと・時刻ごとに自由な $\theta(x)$ にします(局所変換)。すると、方程式に入っている微分が問題を起こす。微分は「隣の点との差」を測る操作だからです。

やってみよう ── 局所位相を微分すると、余計な項が出る

積の微分（ライプニッツ則）で開く

$$\partial_x\!\left(e^{i\theta(x)}\psi\right) = e^{i\theta(x)}\Big(\partial_x\psi + i\,(\partial_x\theta)\,\psi\Big)$$

元の $\partial_x\psi$ のほかに、$i(\partial_x\theta)\psi$ という余計な項が出た。$\theta$ が定数なら $\partial_x\theta=0$ で消えるが、場所ごとに違う $\theta(x)$ だと消えない。この項のせいで、局所的に位相を変えると方程式の形が変わってしまう ── つまり物理法則が「私が各点で位相をどう選ぶか」という帳簿に依存してしまう。これは困る。

なぜ困るのか。番外編②④の背骨を思い出してください ── 帳簿の付け方(位相の原点の選び方)を変えても、物理は不変であるべき。大域的にはそれが成り立っていた(STEP 01)。局所的にも成り立たせたい。でも素朴にやると、余計な項 $i(\partial_x\theta)$ が邪魔をする。どうするか。

03余計な項を打ち消す「相棒」を導入する ── それが電磁場

方針は一つ。あの余計な項をちょうど打ち消してくれる相棒の場を、方程式に加える。微分 $\partial_x$ を、補正項つきの新しい微分(共変微分)に置き換えます。

共変微分 ── 相棒 A を連れた微分

$$\partial_x \;\longrightarrow\; D_x = \partial_x - i\,A_x$$

そして、位相を $\theta(x)$ 回すと同時に、相棒 $A_x$ もこう連動する、というルールを課す：

$$\theta \to \theta + \theta(x)\ \text{のとき}\quad A_x \to A_x + \partial_x\theta$$

すると魔法のように相殺します。局所位相から出た余計な項 $+i(\partial_x\theta)$ と、相棒 $A_x$ の変化分 $-i(\partial_x\theta)$ が、ちょうど打ち消し合う。共変微分 $D_x\psi$ は、$\psi$ と同じ位相の回り方をきれいに保つ ── 方程式が、局所的な帳簿の付け替えに対して不変になった。これがゲージ不変性です。

そして、いま導入した相棒 $A_x$ の正体こそ ── 電磁ポテンシャル。電場も磁場も、この $A_x$ から出てきます。つまり：

この回の核心

「$i$ の位相の曖昧さを、各点で独立に選んでよい」と要求した瞬間、それを取りつくろうために、電磁場が論理的必然として現れる。力は、曖昧さを整合させる相棒として、いわば宇宙に要求された。

順序が逆転していることに注目してください。ふつうは「電磁気力があるから電子が動く」と考える。でもゲージ原理では ── 位相の局所的な曖昧さを許したいから、電磁場が要らざるをえない。力が先で曖昧さが後、ではなく、曖昧さが先で力が後。あなたが $i$ に感じた「曖昧さ」は、この順序で、力の母親だったのです。

04動かしてみる ── 「跡を残さない曖昧さ」が、跡を残す瞬間

STEP 01 で「位相の曖昧さは跡を残さない」と言いました。ところが局所化して電磁場と結びつくと、位相の曖昧さは観測できる跡を残し始める。その最も鮮やかな実例がアハラノフ・ボーム効果です。

電子を二つの経路に分けて、その間に磁束 $\Phi$(磁場の束)を閉じ込める。驚くべきことに、電子が通る道には磁場がゼロでも、囲んだ磁束 $\Phi$ が二経路の位相差を生み、電子の干渉縞をずらす。位相差は、相棒 $A$ の一周積分で決まります。

アハラノフ・ボームの位相差

$$\Delta\varphi = \frac{e}{\hbar}\oint A\cdot dl = 2\pi\,\frac{\Phi}{\Phi_0},\qquad \Phi_0=\frac{h}{e}\ (\text{磁束量子})$$

下の図で、囲む磁束 $\Phi$(磁束量子 $\Phi_0$ を単位に)を動かしてみてください。磁場ゼロの領域を通っているのに、干渉縞が横にずれていく。$\Phi/\Phi_0$ が1増えるごとに、縞はちょうど1本ぶんずれて元に戻る ── 位相の曖昧さが、観測できる物理として顔を出す瞬間です。

図：アハラノフ・ボーム効果。囲む磁束 Φ（横スライダー）を変えると、電子が磁場ゼロの領域を通っていても干渉縞がずれる。Φ/Φ₀ が1増えるごとに縞が1本ぶんずれて復帰

囲む磁束 Φ / Φ₀ 0.00

電子の干渉縞（明＝電子が来やすい）縞の中心（Φ とともに動く）

種明かし ── これが「跡を残す曖昧さ」の実証アハラノフ・ボーム効果は、磁場そのもの($B$)がゼロの場所でも、相棒 $A$ の一周積分(位相の曖昧さの巻き数)が観測に効くことを示します。位相の曖昧さは、大域的には無害(STEP 01)でも、局所化して $A$ と結びつくと実在の物理になる。1959年に予言され、実験でも確認済み。「$i$ は単なる計算の便法」では、この実験を説明できません。$i$ の位相は、局所化されると消せない物理になる。

◇ ◇ ◇

05その力の強さが α ── そして三つの力へ

相棒 $A$ が波動関数とどれくらい強く結びつくか ── その結合の強さが、電気の量 $e$、無次元にすれば第2回の $\alpha$ です。

結合の強さ＝第2回の α

$$\alpha=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137}$$

第2回で「$\alpha$ は原子の中に隠れた1/137」、第6回で「$\alpha$ は見る細かさで走る」とやりました。この回はその手前 ── $\alpha$ が、そもそもどこから来るかに答えます。$i$ の位相の局所的曖昧さを整合させる、相棒 $A$ の結合の強さ。$i$・曖昧さ・1/137 が、ゲージ原理という一本の論理でつながった。あなたが「$i$ は曖昧さでは?」と感じた直感の、最も深い着地点がこれです。

さらに第6回の「三つの力が一点で出会う」も、この延長にあります。位相の曖昧さは1種類(円周上の回転)でしたが、もっと複雑な「内部の向きの曖昧さ」(球面上の回転のような)を局所化すると、まったく同じ論理で弱い力・強い力が生まれる。三つの力はすべて「何らかの内部的な曖昧さの局所化」から出ている ── 第6回で「走る力が三つ」と言った三つは、三種類の曖昧さの局所化だったのです。この回は、第6回の土台そのものでした。

正直な線 ── c·t=一定と結びつけると、どうなるか

ここまでは確立した標準物理(ゲージ原理)です。では、このシリーズの $c\cdot t=\text{一定}$ と結びつくとどうか。位相の回転速度は $E/\hbar$ で決まり、その比が $\alpha$。もし「$c\cdot t=\text{一定}$ のクロックダウンが、$i$ の位相回転を通じて $\alpha$ を時代とともに走らせる」と読むと ── 第7回で裁いた通り、$\alpha$ が観測可能なほど走れば原子時計($\dot\alpha/\alpha<10^{-19}$/年)とBBNが即座に棄却する(番外編③のVSLの罠)。

だから正しい位置づけはこう:ゲージ原理は$\alpha$ を「生む」論理としては完全に正しく、観測にも跡を残す(アハラノフ・ボーム)。でも $c\cdot t=\text{一定}$ で$\alpha$ を「走らせる」主張にすると棄却される。$c\cdot t=\text{一定}$ は $\alpha$ 不変のゲージとして読むぶんには、この $i$ の位相構造に一切触れない ── 番外編④の等価条件の通りです。

練習問題（今回の式だけで解けます）

全体の位相を $\theta$ だけ回したとき($\psi\to e^{i\theta}\psi$)、確率 $|\psi|^2$ はどう変わるか。
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$|e^{i\theta}\psi|^2=e^{i\theta}\psi\cdot\overline{e^{i\theta}\psi}=e^{i\theta}e^{-i\theta}|\psi|^2=|\psi|^2$。まったく変わらない。だから大域的な位相の曖昧さは観測に跡を残さない。
局所位相 $e^{i\theta(x)}$ を微分すると出る「余計な項」は何か。定数位相のときはなぜ消えるか。
答えを見る
余計な項は $i(\partial_x\theta)\psi$。$\theta$ が定数なら $\partial_x\theta=0$ なので消える。場所ごとに違う $\theta(x)$ のときだけ残り、それを打ち消すために相棒 $A$ が要る。
アハラノフ・ボーム効果で、囲む磁束が $\Phi=2\Phi_0$ のとき、位相差 $\Delta\varphi$ は何ラジアンか。干渉縞は元に戻るか。
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$\Delta\varphi=2\pi\times(\Phi/\Phi_0)=2\pi\times2=4\pi$。$2\pi$ の整数倍なので、干渉縞は元の位置に完全に戻る。$\Phi/\Phi_0$ が整数のたびに縞が復帰する。

第8回まとめ曖昧さが先、力が後 ── i は力の母親だった

波動関数の位相 $i\theta$ は、全体で回すぶんには観測に跡を残さない曖昧さ(STEP 01)。でも「各点で独立に選んでよい」と局所化すると、微分から余計な項 $i(\partial_x\theta)$ が出て方程式が壊れる(STEP 02)。それを打ち消す相棒 $A$ を要求すると ── 電磁場が論理的必然として現れる(STEP 03、ゲージ原理)。力は、曖昧さを整合させるために宇宙に要求された。

その曖昧さは、局所化されると観測に跡を残す(STEP 04、アハラノフ・ボーム)。そして相棒 $A$ の結合の強さが $\alpha\approx1/137$(STEP 05) ── 第2回・第6回の $\alpha$ の起源。同じ論理で三つの力すべてが「内部的な曖昧さの局所化」から生まれる。$i$ の曖昧さが先、力が後。あなたが $i$ に見た曖昧さは、局所化という一歩で、電磁気力とその強さ $1/137$ の母親でした。ただし $c\cdot t=\text{一定}$ で $\alpha$ を走らせると第7回に棄却 ── 生むのは論理、走らせるのは禁物。

次回予告 ── 第9回（i の正体・後編）「i を虚軸に回すと、温度が生まれる」。今回は $i$ の曖昧さを空間・各点に局所化して力を生みました。第9回は同じ $i$ を時間の虚軸に回す(ウィック回転)。すると振動が減衰に、量子が熱に化け、虚時間の周期がそのまま温度になる ── そして $c\cdot t=\text{一定}$ の膨張と重ねると、第7回のBBN(宇宙の冷却)につながります。$i$ は、局所化すれば力(第8回)、虚軸に回せば温度(第9回)を生む蝶番。その後半へ。

この文書は「わかる宇宙論」シリーズ第8回、物理好きの高校生・大学生向け読み物です。局所 $U(1)$ 位相変換に対する不変性(ゲージ不変性)を要求すると共変微分 $D_\mu=\partial_\mu-iA_\mu$ と電磁ポテンシャル $A_\mu$ が必然的に現れること、その結合定数が微細構造定数 $\alpha\approx1/137$ であること、アハラノフ・ボーム効果(磁場ゼロ領域でもベクトルポテンシャルの周回積分 $\oint A\cdot dl$ が位相差 $\Delta\varphi=2\pi\Phi/\Phi_0$ を与え干渉縞をずらす、$\Phi_0=h/e$)は、確立した標準物理です。非可換ゲージ群 $SU(2)\times SU(3)$ の局所化が弱い力・強い力を与えることも標準模型の内容です。図はアハラノフ・ボーム位相差 $\Delta\varphi=2\pi\Phi/\Phi_0$ による干渉縞シフトの模式図です。$c\cdot t=\text{一定}$ で $\alpha$ を走らせる解釈は原子時計($\dot\alpha/\alpha<10^{-19}$/年)およびBBNと矛盾し(第7回)、$\alpha$ 不変ゲージとしての解釈のみが観測と整合します(番外編④)。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。

印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面ではスライダーで磁束を動かすと、干渉縞がずれます。「答えを見る」で解答が開きます。

i の曖昧さが、力を生む 波動関数の位相 i は「どうでもいい曖昧さ」に見える。でも、その曖昧さを「各点で自由に選んでいい」と認めた瞬間 ── それを取りつくろうために、電磁気力が生まれる。

01位相の曖昧さ ── 全体で回すぶんには、何も起きない

02各点で独立に回すと ── 方程式が壊れる

03余計な項を打ち消す「相棒」を導入する ── それが電磁場

04動かしてみる ── 「跡を残さない曖昧さ」が、跡を残す瞬間

05その力の強さが α ── そして三つの力へ

第8回まとめ曖昧さが先、力が後 ── i は力の母親だった

i の曖昧さが、力を生む波動関数の位相 i は「どうでもいい曖昧さ」に見える。でも、その曖昧さを
「各点で自由に選んでいい」と認めた瞬間 ── それを取りつくろうために、電磁気力が生まれる。