つなぎ方から、次元を測る中心から $r$ 歩で届く点の数 $N(r)$ を実際に数える。$N(r)\sim r^{D}$ の傾き $D$ が測った次元。
次元は宣言するものでなく、つなぎ方（規則）から測って出てくる出力だった ── それをブラウザ上で確かめる。

道具：第1回の $D=d\ln N/d\ln r$、第2回の「幾何は創発」実測：中心からの BFS で $N(r)$ を数える

第1〜3回は言葉の話でした。今回は手を動かします。単純な「つなぎ方の規則」を選ぶと、コンピュータが中心から幅優先で歩数を数え、空間の次元がその場で測られて出てくる。次元を先に決めて置くのではなく、連結の仕方から測定値として現れる ── 第2回で「幾何は出力」と言ったことを、実物で見ます。

01空間を「作る」のでなく「測る」

次元の測り方は第1回の式そのまま。中心の点から$r$ 歩以内で届く点の数を $N(r)$ とすると、$d$ 次元的なつなぎなら体積のように $N(r)\sim r^{d}$ で増える。だから：

測る次元 ── 第1回の式を、グラフの上で $$N(r)\sim r^{D}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,D=\frac{d\ln N}{d\ln r}\,}$$

両対数に $N(r)$ を打つと、直線の傾きが測った次元 $D$。第1回の $F=1/(Cn)^D$ を「量が増える側」で読んだだけ。下の図は、この $N(r)$ を実際に幅優先探索（BFS）で数えています ── 数値はズルなしの実測。

図：つなぎ方の規則を選ぶ（鎖／格子2D／格子3D／格子4D／木）。コンピュータが中心から BFS で $N(r)$ を数え、両対数に打って傾き＝測った次元 $D$ を出す。灰の破線は次元 1・2・3・4 の参照傾き

つなぎ方の規則格子 4D（宇宙の目標）

スライダーで規則を選ぶと、その場で N(r) を数え直して次元を測ります。

実測した N(r) 最小二乗フィット（傾き＝D）

02何が起きたか ── 次元は宣言でなく測定で出た

規則を切り替えると、測った $D$ が変わります：鎖なら $\approx1$、格子2D なら $\approx2$、3D なら $\approx3$、4D なら $4$ に迫る（有限格子ゆえ実測はやや低めに出て、格子を大きくするほど $4$ へ収束 ── これ自体が離散→連続の縮み）。どこにも「次元は4」とは書いていない ── つなぎ方だけを与え、$N(r)$ を数えたら、次元が測定値として出てきた。

木（ツリー）だけ、次元が出ない

木を選ぶと $N(r)$ が指数的に増え、$r^D$ というべき則に乗らない（両対数で上に反っていく）。＝有限次元を持たない（"無限次元的"）。どんな規則でも良い次元が出るわけではない ── これも大事な実測です。

03正直に言うと、これは半分ズル

気持ちよく4が出ましたが、つなぎ方（格子）を手で入れています。格子4D は「次元4」を最初から配線に埋め込んでいて、それを測り返しただけ。本物の創発は、その配線自体を、点の情報を持たない局所的な書き換え規則から"生やす"必要があります。ここが第2回の③（更新規則＝穴）と直結する所です。

本物のレシピ（第2回の再掲＋この回での具体化） ① 状態をグラフで持つ（配列でなく）／② 可逆な局所書き換えで更新／③ 因果順序（半順序）を課す／④ そしてこの回の $D=d\ln N/d\ln r$ で創発次元を測り、$\to4$ に流れるか検算する。実際に Wolfram モデル・因果集合・CDT はこれをやっていて、CDT では 4次元の膨張宇宙が数値的に生えてくる ── ただし因果条件は手で入れ、連続極限は今も最前線。「配線を生やす規則」を当てるのが、埋まっていない穴。

正直な線

このトイが示せること：(1) 次元は連結の測定量で、宣言でなく出力。(2) 幾何の創発は原理的に可能。(3) 4次元的につながっていれば、測ると4が出る。(4) 木のように次元が定まらない規則も普通にある。

このトイが示せないこと：宇宙が4次元であること（つなぎ方を手で入れたから）。局所書き換え規則から4次元＋ローレンツ不変性を導くこと（＝第2回③の穴、埋まっていない）。図の $N(r)$ は有限サイズの格子の実測なので、$r$ が大きい端では境界で頭打ちになります（そこはフィットから外しています）。この文書に「解けた」はありません。

練習問題（この一枚＋図で解けます）

このデモで、次元は「宣言」されたか「測定」されたか。どうやって出たか。
答えを見る
測定。中心から BFS で「r 歩以内に届く点の数」N(r) を実際に数え、両対数プロットの傾き D=d ln N/d ln r として出した。次元を先に置いてはいない。
木（ツリー）で「次元」が出ないのはなぜか。
答えを見る
N(r) が指数的に増え（毎歩ほぼ倍）、べき則 r^D に乗らないから。両対数で直線にならず上に反る＝有限次元を持たない（無限次元的）。小世界的なつなぎも同様。
このトイが示せること／示せないことを、それぞれ一つ挙げよ。
答えを見る
示せる：次元は連結から測る出力量で、創発は可能（4Dのつなぎなら4が出る）。示せない：宇宙が4次元であること（つなぎを手で入れたから）と、局所規則からの4次元＋ローレンツの導出（＝穴）。

第4回まとめ次元は、つなぎ方から測って出た

手を動かした。つなぎ方の規則を選び、中心から BFS で $N(r)$ を数え、両対数の傾きとして次元を測定した ── 鎖1・格子2D→2・3D→3・4D→4、木は発散（次元なし）。次元は宣言でなく連結の測定量＝出力だと、実物で確かめた。第2回「幾何は創発」の、手触りのある証拠。

ただし格子は次元を配線に埋め込んだ半分ズル。本物は配線自体を局所書き換え規則から生やし、$D\to4$ を検算する（Wolfram／因果集合／CDT が実際にやっている）。その規則を当てる＝第2回③の穴で、そこは埋めない ── 掟どおり、旗は立てない。

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この文書は「宇宙は計算機」シリーズ第4回です。図はブラウザ上で d 次元格子グラフ（鎖・2D・3D・4D）および二分木を実際に生成し、中心から幅優先探索（BFS）で「距離 r 以内の頂点数 N(r)」を数え、両対数プロットの傾きを最小二乗で測って創発次元 D を出しています（数値はすべてその場の実測、境界飽和域はフィットから除外）。格子ボール体積 $N(r)\sim r^{d}$ と二分木の指数成長 $N(r)\sim2^{r}$、成長次元・スペクトル次元による次元の測定、Wolfram モデル・因果集合・CDT による離散幾何からの次元創発（CDT の 4次元 de Sitter 的宇宙の数値的創発を含む）は、確立した数学／活発な研究プログラムです。局所書き換え規則からの 4次元＋ローレンツ不変性の導出は現行の未解決問題で、本デモの格子は次元を配線に組み込んだ模式（＝創発の機構の例示であって、宇宙の次元の導出ではありません）。 ── 印刷する場合はブラウザの「印刷」から「PDF に保存」を（印刷版ではスライダーと解答は静止・非表示になります）。

印刷 / PDF 化：Ctrl+P（Mac は ⌘+P）。画面ではスライダーで規則を選ぶと、その場で N(r) を数え直し、両対数の傾き＝測った次元が出ます。「答えを見る」で解答が開きます。