数学①：作用が主役 → 数学②：その作用の対称性が、保存則を生む
数学①で「自然は作用 \(S\) を停留させる」と見ました。今回は、その作用が主役だからこそ言える、驚くほど深い定理 ── エミー・ネーターの定理。エネルギーは保存する、運動量は保存する ── 学校で“規則”として習うこれらは、実は天下りではありません。作用が、ある変換で変わらない（対称性を持つ）とき、必ずそれに対応する「保存量」が存在する。しかもどの対称性がどの保存量に対応するかまで、きっちり決まっている。第9回で「対称性が力を生む」と見ましたが、その兄弟 ── 「対称性が保存則を生む」です。
「対称性」とは、ある操作をしても物理（作用）が変わらないこと。ネーターの定理は、連続的な対称性のそれぞれに、保存量を一つずつ対応させます。目玉は次の三つ。
| 作用が変わらない操作（対称性） | 保存する量 |
|---|---|
| 時間をずらしても同じ（時間並進対称） | エネルギー |
| 場所をずらしても同じ（空間並進対称） | 運動量 |
| 向きを回しても同じ（回転対称） | 角運動量 |
読み替えると ── 「いつ実験しても結果が同じ」だからエネルギーが保存し、「どこで実験しても同じ」だから運動量が保存し、「どの向きでも同じ」だから角運動量が保存する。保存則は、宇宙が持つ「どこも・いつも・どの向きも同じ」という一様さ（対称性）の影だったのです。
直感で掴みましょう。空間並進対称（場所をずらしても同じ）とは、その向きにどこも“区別がない”ということ。区別がなければ、その向きに位置エネルギーの坂がない ── つまり力がない（第6回 \(F=-\nabla V\)、坂がなければ力ゼロ）。力がなければ、その向きの運動量は変わらない ＝ 保存。逆に、対称性を破って坂をつける（場所によって違う）と、力が生まれ、運動量は保存しなくなる。対称性の破れ＝力＝保存の破れ。下の図で確かめてください。
ここでシリーズが一つに束なります。第9回では「局所対称性（各点で自由に選び直す）を要求すると、力（ゲージ場）が生まれる」と見ました。今回のネーターは「（大域）対称性があると、保存則が生まれる」。同じ対称性という一つの発想から、力の“存在”（第9回）と、保存則（ネーター）の両方が出てくる。対称性は、力を生み、保存を生む ── このシリーズの背骨（力＝関係・対称性）が、いちばん深いところで力学の骨組みそのものになっていた、ということです。
力と数学②の結論。エネルギー・運動量・角運動量の保存は、天下りの規則ではなく、宇宙の対称性（いつも・どこも・どの向きも同じ）の影だった。対称性がある向きには区別がなく、力がなく、だからその量が保存する。対称性が破れれば、力が生まれ、保存も破れる。第9回「対称性→力」と合わせて、対称性こそが、力と保存則の共通の親だと見えました。
ネーターの定理（1918年）が保存則を与えるのは、作用が持つ連続的な対称性に対してです（鏡映のような離散対称性は別扱い）。ここで扱ったのは大域的対称性の「第一定理」で、第9回のような局所対称性は「第二定理」に対応し、保存則というより場の間の拘束（恒等式）を与えます ── 両者は関係するが同じではありません。「区別がない向きに力がない」は直感的な言い換えで、厳密には作用の不変性からラグランジュ方程式を経て導かれます。
図は「対称（平ら）なら運動量一定／破れ（傾き）で運動量が変化」という要点の模式で、一定の傾き（一様な力）による運動量の直線的変化を示しています。
ネーターの定理：作用がある連続変換で不変（対称）なら、必ず対応する保存量がある。時間並進対称→エネルギー、空間並進対称→運動量、回転対称→角運動量。保存則は天下りの規則ではなく、宇宙の「いつも・どこも・どの向きも同じ」という一様さの影。対称性のある向きには区別がなく力がなく、だからその量が保存する ── 対称性が破れれば力が生まれ、保存も破れる。
第9回「局所対称性→力の存在」と、ネーター「対称性→保存則」は兄弟。対称性こそが、力と保存則の共通の親だった。数学①の作用を土壌に、対称性が力学の骨組みを生んでいる ── 次回（数学③）は、その力を幾何として見る最終回。ゲージ＝接続、重力＝曲率、群が力を分類する。「力と数学」の締めです。
印刷 / PDF 化：⌘+P（Windows は Ctrl+P）。画面ではスライダーで、対称性を破ると運動量の保存が破れる様子が見えます。「答えを見る」で解答が開きます。